利用導(dǎo)數(shù)處理與不等式有關(guān)的問題

1、Page1of5利用導(dǎo)數(shù)處理與不等式有關(guān)的問題利用導(dǎo)數(shù)處理與不等式有關(guān)的問題關(guān)鍵詞：導(dǎo)數(shù)，不等式，單調(diào)性，最值。導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)性質(zhì)的一種重要工具。例如求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、求最大（?。┲?、求函數(shù)的值域等等。而在處理與不等式有關(guān)的綜合性問題時往往需要利用函數(shù)的性質(zhì)；因此，很多時侯可以利用導(dǎo)數(shù)作為工具得出函數(shù)性質(zhì)，從而解決不等式問題。下面具體討論導(dǎo)數(shù)在解決與不等式有關(guān)的問題時的作用。一、一、利用導(dǎo)數(shù)證明不等式利用導(dǎo)數(shù)證明不等式（一）（一）、利用

2、導(dǎo)數(shù)得出函數(shù)單調(diào)性來證明不等式、利用導(dǎo)數(shù)得出函數(shù)單調(diào)性來證明不等式我們知道函數(shù)在某個區(qū)間上的導(dǎo)數(shù)值大于（或小于）0時，則該函數(shù)在該區(qū)間上單調(diào)遞增（或遞減）。因而在證明不等式時，根據(jù)不等式的特點，有時可以構(gòu)造函數(shù)，用導(dǎo)數(shù)證明該函數(shù)的單調(diào)性然后再用函數(shù)單調(diào)性達到證明不等式的目的。即把證明不等式轉(zhuǎn)化為證明函數(shù)的單調(diào)性。具體有如下幾種形式：1、直接構(gòu)造函數(shù)，然后用導(dǎo)數(shù)證明該函數(shù)的增減性；再利用函數(shù)在它的同一單調(diào)遞增（減）區(qū)間，自變量越大，函數(shù)值

3、越大（?。瑏碜C明不等式成立。例1：x0時求證；x－ln(1x)＜02x2?證明：設(shè)f(x)=x－ln(1x)(x0)則f(x)=2x2?2x1x??∵x0∴f(x)0時f(x)ae求證:abba(e為自然對數(shù)的底)證：要證abba只需證lnablnba即證：blna－alnb0設(shè)f(x)=xlna－alnx(xae)；則f(x)=lna－ax∵aexa∴l(xiāng)na10因而f(x)在（e∞）上遞增ax∵ba∴f(b)f(a)；故blna－a

4、lnbalna－alna=0；即blnaalnb所以abba成立。（注意，此題若以a為自變量構(gòu)造函數(shù)f(x)=blnx－xlnb(e（k∈N）成立g(x)g(x)12IIkk1??4k(k1)?3、利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的值域，再證明不等式。例5：f(x)=x3－xx1x2∈[－11]時，求證：|f(x1)－f(x2)|≤1343證明：∵f(x)=x2－1x∈[－11]時f(x)≤0∴f(x)在[－11]上遞減.故f(x)在[－11]上的最大

5、值為f(－1)=23最小值為f(1)=即f(x)在[－11]上的值域為；23?22[]33?所以x1x2∈[－11]時，|f(x1)||f(x2)|23?23?即有|f(x1)－f(x2)|≤|f(x1)||f(x2)|224333???二、利用導(dǎo)數(shù)解決不等式恒成立問題不等式恒成立問題，一般都會涉及到求參數(shù)范圍，往往把變量分離后可以轉(zhuǎn)化為mf(x)(或mf(x))恒成立，于是m大于f(x)的最大值（或m小于f(x)的最小值），從而把不等