閉折線號(hào)心研究的進(jìn)展

1、1閉折線號(hào)心研究的進(jìn)展k曾建國(guó)（贛南師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院江西贛州341000）1993年，楊之先生提出了“一般折線研究”這一初等幾何研究新課題[1]1996年，中國(guó)“折線研究小組”成立。自課題提出至今，關(guān)于折線的“組合拓?fù)湫再|(zhì)”與“度量性質(zhì)”的研究取得了豐碩成果。十余年來(lái)的研究表明，“折線研究”是一個(gè)具有很強(qiáng)生命力、研究前景廣闊的初等數(shù)學(xué)研究課題。在閉折線的研究成果中，“度量性質(zhì)”的研究成果占絕大多數(shù)，這包括閉折線研究專著3部[

2、24]、發(fā)表論文已超過(guò)一百篇。2002年后，隨著閉折線“號(hào)心”的概念的提k出[5]，“號(hào)心”已成為閉折線研究的一大熱點(diǎn)，至今已發(fā)表的關(guān)于號(hào)心研究的論文kk已超過(guò)70篇。下面就近幾年來(lái)閉折線號(hào)心的研究的進(jìn)展情況作一簡(jiǎn)要的介紹。k1.閉折線號(hào)心的研究k1.1閉折線的號(hào)心概念的建立k在人們對(duì)圓內(nèi)接閉折線的重心、垂心、歐拉（Euler）圓心及圓外切閉折線的奈格爾（Nagel）點(diǎn)、斯俾克(Spieker)圓心等諸“心”性質(zhì)進(jìn)行廣泛深入研究的基礎(chǔ)上

3、，熊曾潤(rùn)教授于2002年提出了圓內(nèi)接閉折線的號(hào)心及圓外切閉折線的號(hào)心概念[2]，kk同年9月又將號(hào)心概念進(jìn)一步推廣至一般的閉折線[5]：k定義：設(shè)是閉折線所在平面內(nèi)的定點(diǎn)，是任一給定的正整數(shù)，則O121nAAAA?k滿足等式的點(diǎn)稱為閉折線（關(guān)于點(diǎn)）的號(hào)心。11niiOQOAk???????????Q121nAAAA?Ok在這一定義中，當(dāng)定點(diǎn)是圓內(nèi)接（圓外切）閉折線的外心（內(nèi)心）時(shí)，則垂心O（奈格爾點(diǎn)）、歐拉圓心（斯俾克圓心）、重心就依次

4、是該閉折線的1號(hào)心、2號(hào)心、n號(hào)心。由此可見(jiàn)，閉折線號(hào)心概念是上述諸“心”概念的統(tǒng)一推廣。而對(duì)統(tǒng)一推廣k后的一般閉折線的號(hào)心性質(zhì)的深入研究，其理論價(jià)值和學(xué)術(shù)意義不言而喻。k1.2閉折線號(hào)心性質(zhì)的研究k自閉折線號(hào)心概念提出至今，國(guó)內(nèi)作者已發(fā)表的有關(guān)閉折線號(hào)心研究的論文有kk60余篇[573]。《趣談閉折線的號(hào)心》[3]一書(shū)對(duì)閉折線號(hào)心的性質(zhì)進(jìn)行了較系統(tǒng)的研kk究，本書(shū)匯集了閉折線號(hào)心研究已取得的大部分成果，包括定理、推論、命題共122k個(gè)

5、。其研究范圍從該書(shū)目錄標(biāo)題可見(jiàn)一斑：3（3）當(dāng)，3，1，2時(shí)，可得3n?m?k?推論推論5圓內(nèi)接閉折線的垂心與任三頂點(diǎn)的垂心的連線，平行于外心與121nAAAA?其余個(gè)頂點(diǎn)的重心的連線(3)n?推論推論6圓內(nèi)接閉折線的歐拉圓心與任三頂點(diǎn)的歐拉圓心的連線，平行121nAAAA?于內(nèi)心與其余個(gè)頂點(diǎn)的重心的連線(3)n?以上推論都是之前未曾發(fā)現(xiàn)的新結(jié)論，而它們只不過(guò)是定理1的某些特例。2.空間有限點(diǎn)集的號(hào)心性質(zhì)的研究k從閉折線的號(hào)心定義可以看

6、出，號(hào)心的位置由閉折線的頂點(diǎn)121nAAAA?kk及定點(diǎn)的位置確定，而與閉折線的構(gòu)造方式（頂點(diǎn)之間連接的邊的順12nAAA?O序）無(wú)關(guān)。因此，閉折線的號(hào)心實(shí)質(zhì)上也就是“平面有限點(diǎn)集121nAAAA?k的號(hào)心”。將這一概念拓廣至三維空間，我們進(jìn)一步研究了“空間有限12nAAA?k點(diǎn)集的號(hào)心”，得到了關(guān)于四面體、多面體及一般的空間有限點(diǎn)集的號(hào)心的一些新kk性質(zhì)[74100]。此方面的研究大致可分為兩個(gè)方面：（1）將平面幾何有關(guān)定理推廣至三維

7、空間（2）將平面閉折線的號(hào)心的研究成果推廣至三維空間k由于“空間有限點(diǎn)集的號(hào)心”等概念的引入，使傳統(tǒng)立體幾何增添了新的研究k內(nèi)容，此方面的研究工作也因此取得了許多創(chuàng)新成果。例如，將三角形的某些“心”的優(yōu)美性質(zhì)加以推廣，揭示了球內(nèi)接多面體的偽垂心、歐拉球心、重心、號(hào)心及號(hào)kk球面……的一系列性質(zhì)；著名的三角形“九點(diǎn)圓定理”也被成功地推廣至四面體、球內(nèi)接多面體，發(fā)現(xiàn)了關(guān)于球內(nèi)接多面體的多點(diǎn)共球、多圓共球的性質(zhì)；還將某些平面幾何的軌跡定理推廣

8、至空間有限點(diǎn)集的號(hào)心……k受篇幅限制，這里僅以熊曾潤(rùn)先生在文[74]中的一個(gè)定理為例，說(shuō)明號(hào)心研究k帶來(lái)的創(chuàng)新發(fā)現(xiàn)：定理2：四面體的號(hào)球面必通過(guò)12個(gè)特殊點(diǎn)，即1234AAAA1k?（i）各頂點(diǎn)與號(hào)心連線的等分點(diǎn)（）；jAkP1k?jM1234j?（ii）各一級(jí)頂點(diǎn)子集的號(hào)心（）；jV1k?jQ1234j?（iii）自點(diǎn)引直線與直線垂直相交的垂足（）。jQjAPjH1234j?（注：四面體的外接球半徑為，號(hào)心為，四面體的號(hào)球面1234A