0第章 測量誤差及數(shù)據(jù)處理

1、March 31, 2024,第2章 測量誤差及數(shù)據(jù)處理,研究測量誤差的目的是要在認(rèn)識和掌握誤差規(guī)律的基礎(chǔ)上指導(dǎo)設(shè)計(jì)、制造和使用測量儀表。要解決一項(xiàng)測量任務(wù)，必須分析被測對象和被測量的特性，選用適當(dāng)?shù)臏y量儀表和測量方法，組成合理的測量系統(tǒng)，然后對測量結(jié)果進(jìn)行數(shù)據(jù)處理和作出恰當(dāng)?shù)脑u價(jià)。所有這些都離不開誤差理論的指導(dǎo)。,March 31, 2024,第2章 測量誤差及數(shù)據(jù)處理,2.1 誤差來源及其分類 2.2 誤差的表示方法2.

2、3 隨機(jī)誤差的估算2.4 粗大誤差的判斷準(zhǔn)則2.5 系統(tǒng)誤差及其減小方法2.6 測量數(shù)據(jù)的處理2.7 誤差的合成與分配2.8 最佳測量條件的確定,March 31, 2024,教學(xué)目標(biāo),掌握研究測量誤差的目的。熟悉測量誤差的來源及分類。掌握誤差的表示方法、儀表的等級確定和測量儀表選用。掌握隨機(jī)誤差、粗大誤差和系統(tǒng)誤差的估算、判斷和減小方法掌握測量數(shù)據(jù)的處理過程掌握常見的誤差合成和分解掌握如何確定最佳測量

3、條件,March 31, 2024,2.1 誤差來源及其分類,在科學(xué)實(shí)驗(yàn)和工程實(shí)踐中，任何測量結(jié)果都含有誤差。由于誤差存在的必然性和普通性，人們只能將它控制到盡量低的程度而無法消除它。因此我們根據(jù)需要對誤差的來源和測量誤差的性質(zhì)進(jìn)行分類，便于研究。2.1.1 誤差的來源 2.1.2 誤差的分類,March 31, 2024,2.1.1 誤差的來源,2.影響誤差 由于各種環(huán)境因素與儀器儀表所要求的使用條件不一致

4、而造成的誤差稱為影響誤差。例如，由于溫度、濕度、大氣壓、電磁場、電源電壓及頻率等波動所造成的誤差均屬于影響誤差。,1.儀器、儀表誤差 儀器儀表本身及其附件引起的誤差稱為儀器儀表誤差。例如，儀器儀表本身的電氣或機(jī)械性能不完善、零點(diǎn)和增益漂移、非線性、刻度不準(zhǔn)確以及標(biāo)準(zhǔn)量不穩(wěn)定等所引起的誤差均屬于儀器儀表誤差。,,3.方法誤差 由于測量方法不合理所造成的誤差。例如用低輸入電阻的儀表測量高內(nèi)阻回路的輸出電壓所引起的

5、誤差屬于方法誤差。,4.理論誤差 由于儀器儀表所依據(jù)的理論或公式本身不完善或者是近似的所引起的誤差稱為理論誤差。例如，用均值表測量非正弦信號電壓，須進(jìn)行波形換算，其定度系數(shù)為： 由于和均是無理數(shù)，所取得的1.11是個(gè)近似值所造成的誤差屬于理論誤差。,5.人身誤差 由于測量者的分辨力、視覺疲勞、習(xí)慣或缺乏責(zé)任心等因素引起的誤差稱為人身誤差。人身誤差是由于人為因素造成的，欲減小人身誤差必須加強(qiáng)責(zé)任心。

6、,March 31, 2024,2.1.2 誤差的分類,根據(jù)誤差的性質(zhì)及其產(chǎn)生的原因，可將誤差分為三類： 系統(tǒng)誤差（簡稱系差） 定義：在相同條件下多次測量同一量值時(shí)，誤差的絕對值和符號保持不變，或者改變測量條件時(shí)，按一定規(guī)律變化的誤差稱為系統(tǒng)誤差。前述儀器儀表誤差、方法誤差和理論誤差均屬于系統(tǒng)誤差。 系統(tǒng)誤差是有規(guī)律性的誤差。通過仔細(xì)分析和研究，產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的規(guī)律是可以掌握的。因此，可設(shè)法減小或消除系統(tǒng)誤差。 系統(tǒng)誤差表征

7、了測量結(jié)果的準(zhǔn)確度，系統(tǒng)誤差愈小，準(zhǔn)確度愈高，反之亦然。,March 31, 2024,2.1.2 誤差的分類,隨機(jī)誤差 在相同條件下多次重復(fù)測量同一被測量，其誤差的大小和符號均是無規(guī)律變化的誤差稱為隨機(jī)誤差。產(chǎn)生隨機(jī)誤差的原因是由于許多復(fù)雜的因素微小變化的總和引起的。例如，儀表內(nèi)部某些元件的熱噪聲和散粒噪聲、機(jī)械部件的間隙和摩擦、電源電壓、頻率和環(huán)境因素的頻繁而無規(guī)律的變化等引起的誤差均屬隨機(jī)誤差。隨機(jī)誤差表征了測量結(jié)果的精

8、密度，隨機(jī)誤差小，精密度高，反之，精密度低。,March 31, 2024,服從正態(tài)分布規(guī)律的隨機(jī)誤差,當(dāng)測量次數(shù)足夠多時(shí)，大多數(shù)隨機(jī)誤差是服從正態(tài)分布的。服從正態(tài)分布規(guī)律的隨機(jī)誤差具有下列特點(diǎn)（如下圖所示） ： 單峰性 絕對值小的誤差比絕對值大的誤差出現(xiàn)的概率大，在誤差 處，出現(xiàn)的概率最大。有界性 絕對值大于某一數(shù)值的誤差幾乎不出現(xiàn)，故可認(rèn)為隨機(jī)誤差有一定的界限。對稱性 大小相等符號相反的誤差出

9、現(xiàn)的概率大致相同。抵償性 正、負(fù)誤差是相互抵消的，因此隨機(jī)誤差的代數(shù)和趨于或者等于零。,,服從正態(tài)分布規(guī)律的隨機(jī)誤差的特點(diǎn)：單鋒性有界性對稱性抵償性,March 31, 2024,粗大誤差,粗大誤差（簡稱粗差） 定義：在相同 條件下多次測量同一被測量時(shí)，可能有某些測量值明顯偏離了被測量的真正值所形成的誤差稱為粗大誤差。前述的人身誤差是產(chǎn)生粗差的原因之一。此外，由于測量條件的突然變化，例如電源電壓突變、雷電、機(jī)械沖擊等

10、是造成粗差的客觀原因。凡是被確認(rèn)含有粗差的測量結(jié)果稱為壞值。在測量數(shù)據(jù)處理時(shí)，所有壞值都必須剔除。,March 31, 2024,測量結(jié)果的表征,準(zhǔn)確度，表示系統(tǒng)誤差的大小。系統(tǒng)誤差越小，則準(zhǔn)確度越高，即測量值與實(shí)際值負(fù)荷的程度越高。精密度，表示隨機(jī)誤差的影響。精密度越高，表示隨機(jī)誤差越小。隨機(jī)因素使測量值呈現(xiàn)分散而不確定，但總是分布在平均值附近。精確度，用來反映系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差的綜合影響。精確度越高，標(biāo)傲世正確度和精密度都高，

11、意味著系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差都小。,射擊誤差示意圖,March 31, 2024,2.2 誤差的表示方法,2.2.1 測量誤差的表示方法由于誤差是客觀存在的，因此在計(jì)量學(xué)上認(rèn)為被測量的真正值是無法得到的。討論被測量示值與真值的誤差是沒有應(yīng)用意義的。實(shí)際值絕對誤差、修正值被測量實(shí)際值取得的方法實(shí)際值相對誤差,March 31, 2024,實(shí)際值絕對誤差,定義：由測量所得之被測量的值 與被測量實(shí)際值 之差稱為實(shí)際值絕對

12、誤差，記為 。 （2-1）由此可見， 為可正可負(fù)和有量綱的數(shù)值，其大小和符號分別表示測量值偏離被測量實(shí)際值的程度和方向。被測量實(shí)際值可用下列兩種方法取得：用比所用儀表的精度等級高一級或數(shù)級的儀表的指示值作為被測量的實(shí)際值 。在測量此數(shù)足夠多時(shí)，儀表示值的算術(shù)平均值作為被測量的實(shí)際值 。,,,March 31, 2024,修正值,定義：與絕對誤差的數(shù)值相等而符號相反的量值稱為

13、修正值，用 來表示，則： 修正值 是通過檢定（或校準(zhǔn)）由上一級標(biāo)準(zhǔn)（或基準(zhǔn)）以表格、曲線、公式或數(shù)字等形式給出的。因此，用修正值與儀表的示值相加，可算出被測量的實(shí)際值，即： 可見，用修正值可以減小測量誤差，得到更接近于被測量真值的實(shí)際值。 應(yīng)該指出，使用修正值必須在儀表檢定的有效期內(nèi)。修正值本身也有誤差。,,,,March 31, 2024,實(shí)際值相對誤差,例

14、2-3 測量兩個(gè)電壓，實(shí)際值 ， ，儀表的示值分別為 ， 。其絕對誤差分別為：很顯然，雖然二者的絕對誤差相同，但是二者測量的精確度卻相差甚遠(yuǎn)，因此有必要引入相對誤差的概念。 定義：實(shí)際值絕對誤差與被測量實(shí)際值之比的百分?jǐn)?shù)稱為實(shí)際值相對誤差，即：,,,,,,March 31, 2024,2.

15、2.2 儀器儀表誤差的表示方法,誤差是儀器儀表的重要質(zhì)量指標(biāo)。按有關(guān)規(guī)定，可用工作誤差、固有誤差、影響誤差和穩(wěn)定誤差來表征儀器儀表的性能；也可以用基本誤差和附加誤差來表征儀器儀表的性能，本書采用后面一種表示方法。 1.基本誤差 它是儀器儀表在標(biāo)準(zhǔn)條件下使用時(shí)所具有的誤差。2.附加誤差 當(dāng)儀表在使用中偏離了標(biāo)準(zhǔn)工作條件，除了基本誤差外，還會產(chǎn)生附加誤差。,March 31, 2024,基本誤差,定義：它是儀器儀表在標(biāo)準(zhǔn)條件下使用

16、時(shí)所具有的誤差。標(biāo)準(zhǔn)條件一般是指儀器儀表在標(biāo)定刻度時(shí)所保持的工作條件。例如電源電壓交流(220±5%)V，環(huán)境溫度(20±5)℃；相對濕度(70±15)％；大氣壓(98.1±4.0)kPa等。對于相同的絕對誤差，相對誤差隨被測量 的增加而減小，相反，隨 的減小而增加，在整個(gè)測量范圍內(nèi)相對誤差不是一個(gè)定值。因此，相對誤差不能用于評價(jià)儀器儀表的精確度，也不便于用來劃分儀器儀表的精度等級。為此

17、提出最大滿度相對誤差稱為最大引用誤差的概念（在標(biāo)準(zhǔn)工作條件下）。,,,March 31, 2024,滿度相對誤差與引用誤差,最大滿度相對誤差是儀表基本誤差最大值 與儀器儀表量程之比的百分?jǐn)?shù)，即：最大引用誤差是儀表的絕對誤差最大值 與儀器儀表量程之比的百分?jǐn)?shù)，即：當(dāng)儀表是在標(biāo)準(zhǔn)條件下使用的，則：,March 31, 2024,儀表精度等級的確定,儀表的精度等級（精確度等級）是指儀表在規(guī)定的工作條件下允許的最大相對百

18、分誤差。按國家標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定，用最大引用誤差來定義和劃分儀器儀表的精度等級，將儀器儀表的精度等級分為： …… ， 0.05， 0.1，0.25，0.35，0.5，1.0，1.5，2.5，4.0，5.0……（以前只有七種）當(dāng)計(jì)算所得的與儀表精度等級的分檔不等時(shí)，應(yīng)取稍大的精度等級值。儀表的精度等級通常以S來表示。例如，S=1.0，說明該表的最大引用誤差不超過±1.0%。,March 31, 2024,儀表的精確度等級,儀表的精確度

19、等級：指儀表在規(guī)定的工作條件下允許的最大相對百分誤差。（把儀表允許的最大相對百分誤差去掉“±”號和“％”號，便可用來確定其精度等級）所謂的0.5級儀表，表示該儀表允許的最大相對百分誤差為±0.5％，以此類推。精度等級一般用一定的符號形式表示在儀表面板上（如右圖所示）：也有以±0.2％FS 等形式寫出精度等級數(shù)值小于等于0.05的儀表通常用來作為標(biāo)準(zhǔn)表，而工業(yè)用表的精度等級數(shù)值一般大于等于0.5。,

20、1.5,March 31, 2024,☆☆儀表的精確度等級☆☆,例：某壓力變送器測量范圍為0～400kPa，在校驗(yàn)該變送器時(shí)測得的最大絕對誤差為—5kPa，請確定該儀表的精度等級。解：先求最大相對百分誤差去掉?和%為1.25，因此該變送器精度等級為1.5級 。,例：根據(jù)工藝要求選擇一測量范圍為0~40m3/h的流量計(jì)，要求測量誤差不超過?0.5 m3/h，請確定該儀表的精度等級。 解：同樣，先求最大相對百分誤差因此該流量計(jì)必須選

21、擇1.0級的流量計(jì)。,結(jié)論：工藝要求的允許誤差 ≥ 儀表的允許誤差 ≥ 校驗(yàn)所得到的相對百分誤差,March 31, 2024,例：某被測溫度信號在70～80℃范圍內(nèi)變化，工藝要求測量誤差不超過±1％，現(xiàn)有兩臺溫度測量儀表，精度等級均為0.5級，其中一臺儀表的測量范圍是0～100℃，另一臺儀表的測量范圍是0～200℃，試問這兩臺儀表能否滿足上述測量要求。解：由題意可知，被測溫度的允許最大絕對誤差為：|△max|＝8

22、0×1％＝0.8℃ 測量范圍為0～100℃的儀表的最大允許絕對誤差為：|△max|1＝100×0.5％＝0.5℃ 測量范圍為0～200℃的儀表的最大允許絕對誤差為：|△max|2＝200×0.5％＝1.0℃,根據(jù)上述計(jì)算，雖然兩臺儀表的精度等級均為0.5級，但只有測量范圍是0～100℃的溫度測量儀表才滿足本題的測量要求。,March 31, 2024,附加誤差,當(dāng)儀表在使用中偏離了標(biāo)

23、準(zhǔn)工作條件，除了基本誤差外，還會產(chǎn)生附加誤差。附加誤差也用百分?jǐn)?shù)表示。例如，儀表使用時(shí)溫度超出(20±5)℃，則會產(chǎn)生溫度附加誤差；使用時(shí)電源電壓超出(220±5%)V，則會產(chǎn)生電壓附加誤差。此外，還有頻率附加誤差，濕度附加誤差，振動附加誤差等等。在使用儀表時(shí)，附加誤差和基本誤差要合理綜合，再估計(jì)出測量的總誤差。,March 31, 2024,2.2.3 數(shù)字儀表誤差的表示方法,數(shù)字儀表的基本誤差用下列兩種方

24、式表示： 式中， 為絕對誤差； 為誤差的相對項(xiàng)系數(shù)； 為被測量的指示值； 為誤差固定項(xiàng)的系數(shù)； 為儀表的滿度值。上述兩種方式實(shí)質(zhì)上是一致的，常用后一種，因較為方便。 是用示值相對誤差表示的，它與讀數(shù)成正比，稱為讀數(shù)誤差。它與儀表各單元電路的不穩(wěn)定性有關(guān)。 不隨讀數(shù)變化， 一定時(shí)，它是個(gè)固定值，稱為滿度誤差。它包括量化誤差和零點(diǎn)誤差等。,,,,,,,,March 31, 2024,2.2.4

25、 一次直接測量時(shí)最大誤差的估計(jì),在工程測量中，通常只做一次直接測量而取得測量結(jié)果，此時(shí)如何從儀器儀表的精度等級來確定測量誤差呢？設(shè)只有基本誤差的情況下，儀器儀表的最大絕對誤差為： 與 示值之比，即為最大示值相對誤差：,,,,March 31, 2024,一次直接測量時(shí)最大誤差的估計(jì),可見， 不僅與儀器儀表的精度 有關(guān)， 而且與滿度值 和示值 之比值有關(guān)。示值 大時(shí)，相對誤差

26、 小。當(dāng) 時(shí)， ?？梢姡瑑x器儀表給出的精度 是相對誤差的最小值。 離開滿度 愈遠(yuǎn)， 愈大。 因此，當(dāng)儀器儀表的精度等級已知時(shí)，示值 愈接近滿度值 ，測量示值的精度愈高。在使用正向刻度的模擬式儀表時(shí)，應(yīng)盡量使指示值 靠近滿度值 ，至少應(yīng)在 左右。反之選擇儀表量程時(shí)，

27、 應(yīng)該使其滿度值盡量接近被測量的數(shù)值，至少不應(yīng)比被測值大得太多。,,,,,,March 31, 2024,例2-7,測量一個(gè)約80V的電壓?，F(xiàn)有二塊電壓表，一塊量程為300V，0.5級，另一塊量程100V，1.0級，問選擇哪一塊為好？解：根據(jù)式（2-9），求其最大相對誤差。1） 使用300V，0.5級電壓表時(shí)2） 使用100V，1.0級電壓表時(shí) 可見，用100V，1.0級電壓表測量該電壓時(shí)，精度比較高，故選用100V，

28、1.0級電壓表較好。,,,March 31, 2024,例2-9,用一臺4位的數(shù)字電壓表的5V量程分別測量5V和0.1V電壓，已知該儀表的基本誤差為 個(gè)字，求由于該表的基本誤差引起的測量誤差。解：①測量5V電壓時(shí)的絕對誤差。 因?yàn)樵摫硎?位，用5V量程時(shí)，±1個(gè)字相當(dāng)于±0.001V，所以絕對誤差為：=±0.01%×5V±1個(gè)字=(±0.00

29、05±0.001)V=±0.0015V因此其示值相對誤差為： ②測量0.1V電壓時(shí)的絕對誤差。 =±0.01%×0.1V±1個(gè)字 =(±0.00001±0.001)V ≈±0.001V其示值相對誤差為：,,,,,,March 31, 2024,結(jié)論,可見，當(dāng)不在接

30、近滿量程顯示時(shí)，誤差是很大的。因此，當(dāng)測量小電壓時(shí)，應(yīng)當(dāng)用較小的量程。同時(shí)還可看出，“±1個(gè)字”的誤差對測量結(jié)果的影響也是比較大的，不可忽視。,March 31, 2024,2.3 隨機(jī)誤差的估算,2.3.1 測量值的算術(shù)平均值與數(shù)學(xué)期望 2.3.2 標(biāo)準(zhǔn)差2.3.3 隨機(jī)誤差的正態(tài)分布2.3.4 貝塞爾公式2.3.5 算術(shù)平均值標(biāo)準(zhǔn)差,March 31, 2024,2.3.1 測量值的算術(shù)平均值與數(shù)學(xué)期

31、望,由同一測量者用同一儀器和方法，以同樣的精細(xì)程度在短時(shí)間內(nèi)對同一被測量進(jìn)行多次重復(fù)測量，稱為等精密度測量。設(shè)對被測量 進(jìn)行 次等精密度測量，得測量值數(shù)列為： 這里為隨機(jī)變量，測量值的算術(shù)平均值為： 也稱為樣本平均值。當(dāng)測量次數(shù) 時(shí)，樣本平均值的極限稱為測量值的數(shù)學(xué)期望 ： 也稱為總體平均值。,,,,,,,,March 31, 2024,隨機(jī)誤差是精密度的反映，表征了各次測量值的分散程度，故隨機(jī)誤差

32、 為： ，即而系統(tǒng)誤差是準(zhǔn)確度的反映，則系統(tǒng)誤差 為：，即式中， 是被測量真值。真值絕對誤差 是測量示值 與真值之差： 由上式可見，絕對誤差等于隨機(jī)誤差和系統(tǒng)誤差的代數(shù)和。 若系差和粗差等于零，故 則：,,,,,,,,,,,,March 31, 2024,隨機(jī)誤差的算術(shù)平均值為：由上式可知，當(dāng) 時(shí)， 則由

33、此可見，當(dāng) 時(shí)，隨機(jī)誤差的算術(shù)平均值為零。對于有限次等精密度測量，當(dāng) 足夠多時(shí)，可近似認(rèn)為 。由上式得： 由此可見，若僅存在隨機(jī)誤差，可用多次測量的算術(shù)平均值 作為最后測量結(jié)果。（常在實(shí)驗(yàn)里用到）,,,,,,,,,March 31, 2024,2.3.2 標(biāo)準(zhǔn)差,測量值的算術(shù)平均值是被測量的最可信賴值。但是僅知道測量值的算術(shù)平均值仍無法知道測量值的分散程度。被測量的分散程度可以用測量值數(shù)列的標(biāo)準(zhǔn)差來表

34、示。其定義為：當(dāng) 時(shí)，隨機(jī)誤差 的平方的算術(shù)平均值再開平方后，只取正值，即標(biāo)準(zhǔn)差 是表征精密度的重要參數(shù)。 小表示測量值集中； 大，表示測量分散。 取平方的目的是，不論 是正是負(fù)，其平方總是正的，其平方和不會等于零，給計(jì)算帶來方便。,,,,,March 31, 2024,2.3.3 隨機(jī)誤差的正態(tài)分布,由概述論中的討論可知，測量中隨機(jī)誤差 的分布和在 影響下的測量數(shù)據(jù)的分布大多數(shù)是服從正態(tài)

35、分布的。服從正態(tài)分布的隨機(jī)誤差，其概率密度函數(shù) 為： 式中， 為隨機(jī)誤差； 為標(biāo)準(zhǔn)差。 與 的曲線見圖2-1。 由圖可見，標(biāo)準(zhǔn)差 一經(jīng)確定， 就是 的單值函數(shù)。,,,圖2-1 隨機(jī)誤差的正態(tài)分布曲線,March 31, 2024,2.3.3 隨機(jī)誤差的正態(tài)分布,圖2-2 示出了三個(gè)不同的 對應(yīng)的三條正態(tài)分布曲線。由圖可見， 愈小，曲線愈高愈陡，

36、小誤差出現(xiàn)的概率愈大，表示測量值集中，精密度高；反之， 愈大，曲線平坦，測量值分散，精密度低。,,圖2-2 標(biāo)準(zhǔn)差 的意義,March 31, 2024,2.3.4 貝塞爾公式,在實(shí)際測量中，測量次數(shù)不可能無窮大。當(dāng)測量次數(shù) 為有限次時(shí)，可用剩余誤差 來計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差 ，同時(shí)用標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值 代替 。在有限次測量中，標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)值 可用貝塞爾公式計(jì)算，即： 式中，（ ）稱為自由度，常用

37、表示， 。 由上式可見，當(dāng) 時(shí)， 值不定，故僅做一次測量的數(shù)據(jù)是不可靠的。,,,,,,,,,March 31, 2024,2.3.5 算術(shù)平均值標(biāo)準(zhǔn)差,在有限次等精密度測量中，以測量值的算術(shù)平均值作為測量結(jié)果。如果在相同條件下對同一量值作 組，每一組作 次測量，通過計(jì)算可得到 個(gè)算術(shù)平均值。由于隨機(jī)誤差的存在，這 個(gè)算術(shù)平均值并不相同，而圍繞著真值 有一定的分散性。這說明了算術(shù)平均值還存在

38、著誤差。當(dāng)需要更精密考慮時(shí)，可用算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差 來評定測量結(jié)果的分散程度。算術(shù)平均值標(biāo)準(zhǔn)差與標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)值的關(guān)系為：,,,,,March 31, 2024,算術(shù)平均值標(biāo)準(zhǔn)差,由上式可見， 隨 的增加而減小，測量次數(shù)愈多，測量結(jié)果的精密度愈高。但由于 與 成反比，精密度的提高隨 的增加而越來越慢。一般取 次即可。不能單靠增加 來減小 ，而應(yīng)該在增加 的同時(shí)，設(shè)法減小 。這就意味著要

39、改善測量方法，采用精確度等級較高的儀器儀表，才能進(jìn)一步提高測量的精密度。,,,,,March 31, 2024,2.4 粗大誤差的判斷準(zhǔn)則,2.4.1 置信概率與置信區(qū)間2.4.2 有限次測量的置信度2.4.3 隨機(jī)不確定度與壞值剔除,March 31, 2024,2.4.1 置信概率與置信區(qū)間,由概率積分可知，隨機(jī)誤差的正態(tài)分布曲線所包含的全部面積相當(dāng)于全部誤差出現(xiàn)的概率，對式（2-18）從-∞到+∞積分，并令其等于1，即：

40、對式（2-18）從 到 積分，便可得 誤差出現(xiàn)的概率：將積分變換成 ，設(shè) ，則 ，故上式變?yōu)椋菏街校?稱為概率積分， 與 的關(guān)系見表2-1。,,,,,,,,March 31, 2024,由寫出隨機(jī)誤差的表達(dá)式，并取絕對值，即：可得出超出的概率為：由表2-1查出不同的 對應(yīng)的 值，便可由式算出 ，見表2-2,,,,圖2-3 置信概率與置信區(qū)間的關(guān)系,

41、March 31, 2024,表2-1 正態(tài)分布下的置信概率數(shù)值表,,,,,,,March 31, 2024,,,,,,表2-2 正態(tài)分布的置信系數(shù),總而言之，不超出 的概率為 ，可由式（2-24）求得：,,March 31, 2024,置信區(qū)間,取不同值時(shí)，隨機(jī)誤差 出現(xiàn)的概率為 ： 當(dāng) 時(shí)， 時(shí)， 時(shí)， 上述結(jié)果表明，對于正態(tài)分布規(guī)律的隨機(jī)誤差，不超出 的隨

42、機(jī)誤差出現(xiàn)的概率為95.44%；不超出 的隨機(jī)誤差出現(xiàn)的概率為99.73%。上述用于描述測量結(jié)果的誤差處于某一范圍內(nèi)的可靠程度的量稱為置信程度或者置信概率。所選擇的極限誤差范圍稱為置信區(qū)間。,,,,,,,,,March 31, 2024,2.4.2 有限次測量的置信度,圖2-4所示的置信概率與置信區(qū)間的關(guān)系，是在測量次數(shù) 足夠多，誤差服從正態(tài)分布，以標(biāo)準(zhǔn)差為條件得出的結(jié)論。當(dāng)測量次數(shù) 足夠多（ ）時(shí)，應(yīng)用這一

43、結(jié)論是合適的。因?yàn)殡S機(jī)誤差的分布接近正態(tài)分布。若測量次數(shù) 較?。?），隨機(jī)誤差的分布曲線與正態(tài)分布曲線差別較大，而服從 分布（也稱學(xué)生分布），正態(tài)分布曲線與 分布曲線的不同見圖2-4。為區(qū)別于正態(tài)分布， 分布用置信系數(shù) 表示。自由度 、置信概率 與置信系數(shù) 的關(guān)系見表2-3。若已知 和置信概率 ，可由表2-3查出置信系數(shù) 。,,,,,March 31, 2024,表2-3 學(xué)生

44、分布的置信系數(shù),,,,,March 31, 2024,2.4.3 隨機(jī)不確定度與壞值剔除,由表2-2可見，若取置信系數(shù) ，在22個(gè)隨機(jī)誤差中，至多僅有一個(gè)的誤差大于 ；若取 ，在370個(gè)誤差中，至多僅有一個(gè)誤差大于 。在實(shí)際測量中，可以認(rèn)為大于 的誤差出現(xiàn)的可能性極小，所以通常把大于 的誤差稱為極限誤差或隨機(jī)不確定度，用表示 或用估計(jì)值 這個(gè)數(shù)值說明測量結(jié)果在數(shù)學(xué)期望附

45、近某一確定范圍內(nèi)的可能性有多大，由測量值的分散程度來決定，所以用標(biāo)準(zhǔn)差的若干倍來表示。,,,,,,March 31, 2024,萊特準(zhǔn)則,根據(jù)上述理由，在測量數(shù)據(jù)中，如果出現(xiàn)大于 的剩余誤差 ，可以認(rèn)為該次測量值 為壞值，應(yīng)予剔除，即： 上式稱為萊特準(zhǔn)則（亦稱為 準(zhǔn)則）。在測量次數(shù)足夠多（ ）時(shí)，按萊特準(zhǔn)則剔除壞值是客觀的和合理的。但是，若測量次數(shù)較少（ ），按萊特

46、準(zhǔn)則剔除壞值就不一定可靠，這時(shí)應(yīng)采用格拉布斯（Grubss）準(zhǔn)則。,,,,,,March 31, 2024,格拉布斯準(zhǔn)則,在等精密度測量數(shù)據(jù)中，若有剩余誤差 的絕對值滿足下式： 則認(rèn)為 與該相對應(yīng)的測量數(shù)據(jù) 是壞值，應(yīng)予剔除。式中是 格拉布斯系數(shù)，見表2-4。算術(shù)平均值的不確定度可以表示為： 當(dāng) 足夠大時(shí) 當(dāng) 較小時(shí) 或者

47、剔除壞值后，對剩余的測量數(shù)據(jù)重新計(jì)算算術(shù)平均值和標(biāo)準(zhǔn)估計(jì)值，再次作判斷，直到測量數(shù)據(jù)中無壞值為止。,,,,,March 31, 2024,2.5 系統(tǒng)誤差及其減小方法,如前所述絕對誤差是系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差的代數(shù)和，即 。此式說明測量結(jié)果的精確度不僅取決于隨機(jī)誤差，也取決于系統(tǒng)誤差。由于系差不具有抵償性，不能用求算術(shù)平均值的方法加以消除。但是，系差是有規(guī)律性的誤差，經(jīng)過仔細(xì)的分析和研究，其產(chǎn)生的規(guī)律是可以掌握的

48、，因此可以采取一些技術(shù)措施削弱或消除其對測量結(jié)果的精確度的影響。 2.5.1 系統(tǒng)誤差的分類2.5.2 系統(tǒng)誤差的判斷2.5.3 減小系統(tǒng)誤差的方法,,March 31, 2024,2.5.1 系統(tǒng)誤差的分類,按照系差變化的征性，可將系差分為兩種類型。恒值系統(tǒng)誤差 在測量過程中誤差的大小和符號是不變的誤差稱為恒值系差。例如，儀器儀表的基本誤差、儀表的零點(diǎn)偏高或低、標(biāo)尺刻度不準(zhǔn)確等均屬于恒值系差，見圖2-5曲線a。變

49、值系統(tǒng)誤差 誤差的絕對值和符號按照一定規(guī)律變化的誤差稱為變值系差。線性系統(tǒng)誤差 在測量過程中誤差的數(shù)值隨差時(shí)間線性增加或者減小的誤差稱為線性系差。例如由于晶體管老化過程引起放大倍數(shù)下降引起的誤差；標(biāo)準(zhǔn)電池的電動勢隨時(shí)間而減小引起的誤差等均屬此類系誤。見圖2-5曲線b。 周期性變化的系統(tǒng)誤差 在測量過程中誤差值作周期性變化，見圖2-5曲線c。復(fù)雜變化的系統(tǒng)誤差 在測量過程中誤差的變化規(guī)律很復(fù)雜，見圖2-5曲線d。通常它是

50、由幾個(gè)影響因素同時(shí)變化引起的。,圖2-5 系統(tǒng)誤差的特征,March 31, 2024,2.5.2 系統(tǒng)誤差的判斷,由于產(chǎn)生系差的原因很多，所以發(fā)現(xiàn)它或判斷它的方法也很多，這里僅介紹幾種常用的判斷方法。實(shí)驗(yàn)對比法 改變測量條件、測量儀器儀表或測量方法進(jìn)行重復(fù)測量，然后將測量結(jié)果進(jìn)行對比，從而發(fā)現(xiàn)系差。剩余誤差觀察法 用儀器儀表對某一被測量進(jìn)行一系列等精密度測量，得示值 ，然后求算術(shù)平

51、均值 ，并求出各示值的剩余誤差 ，最后將剩余誤差數(shù)列按測量先后制成表格或畫成曲線進(jìn)行觀察，從而判斷是否存在系差。,,,,March 31, 2024,馬利科夫判據(jù),馬利科夫判據(jù) 該判據(jù)用于判斷是否存在線性系差。首先將測量數(shù)據(jù)按測量先后排列起來，分別求剩余誤差 。把剩余誤差數(shù)列分為前后兩組，分別求前后兩組 的代數(shù)和，然后求前后兩組代數(shù)和之差 ：

52、 當(dāng) 為偶數(shù)時(shí)， 當(dāng) 為奇數(shù)時(shí)， 如果滿足： 則認(rèn)為不存在線性系差。 如果滿足： 則認(rèn)為存在線性系差。 式中 是最大剩余誤差。,,,,,,,,,March 31, 2024,阿卑—赫梅特判據(jù),阿卑—赫梅特判據(jù) 該判據(jù)用于判斷是否存在周期性系差。首先按測量數(shù)據(jù)的測量先后求剩余誤差列

53、 。然后用下式判斷： 若上式成立，則認(rèn)為存在周期性系差，否則不存在周期性系差。,,,對于存在變值系差的測量數(shù)據(jù)，原則上應(yīng)舍去不用。但是，若明顯小于測量允許的誤差范圍或者儀器儀表的基本誤差，也可以考慮使用。,March 31, 2024,2.5.3 減小系統(tǒng)誤差的方法,對于測量者，善于找出產(chǎn)生系差的原因并采取有效措施以減小誤差是極為重要的。它與被測對象、測量方法、儀器儀表的選擇以及測量人員的

54、實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)密切有關(guān)。下面介紹幾種常用的減小系差的方法。從產(chǎn)生系差的原因采取措施 定期校正減小緩變系差 用加修正值方法減小系差 零位測量法 微差法 替代法,March 31, 2024,從產(chǎn)生系差的原因采取措施,接受一項(xiàng)測量任務(wù)后，首先要研究被測對象的特性，選擇適當(dāng)?shù)臏y量方法和測量儀表、所用儀表的精度等級和量程上限；測量工作環(huán)境（如溫度、濕度、大氣壓、交流電源電壓、頻率、振動、電磁場干擾等）是否符合儀表的標(biāo)準(zhǔn)工作條件。必要時(shí)可采

55、用穩(wěn)壓、穩(wěn)頻、恒溫、散熱、防振和屏蔽接地措施。測量者應(yīng)提高測量技術(shù)水平，增強(qiáng)責(zé)任心，克服主觀原因所造成的誤差。為避免讀數(shù)或記錄出錯(cuò)，可用數(shù)字儀表代替指針式儀表，用自動打印代替人工抄寫等?？傊跍y量工作開始前，盡量消除產(chǎn)生誤差的根源，從而減小系差的影響。,March 31, 2024,定期校正減小緩變系差,緩變系差的特點(diǎn)是隨時(shí)間平穩(wěn)變化。例如，儀表的零點(diǎn)和靈敏度過一段時(shí)間后可能會發(fā)生變化，見圖2-6。原來儀表的輸入輸出特性見圖2-

56、6直線1，經(jīng)過一段時(shí)間后可能變成直線2。顯然儀表的零點(diǎn)和靈敏度（或滿度值）已發(fā)生變化、產(chǎn)生了系差。應(yīng)調(diào)整儀表的零點(diǎn)和滿度值機(jī)構(gòu)使直線2回復(fù)至直線1，恢復(fù)儀表原來的輸入輸出特性，從而減小系差。為了不斷消除儀表的緩變（或線性變化）的誤差，應(yīng)定期對儀表進(jìn)行校正，校正周期愈短，緩變誤差愈小。,圖2-6 校正儀表零點(diǎn)和靈敏度,March 31, 2024,微差法,設(shè)標(biāo)準(zhǔn)量為 ，被測量為 ，微差為 ，則微差法的絕對誤差為：

57、式中， 為標(biāo)準(zhǔn)量的絕對誤差； 為測量 的絕對誤差。 相對誤差為： 因?yàn)?。故 ，并令 ，得： 式中， 為標(biāo)準(zhǔn)量的相對誤差，即為標(biāo)準(zhǔn)量的精度等級； 為測量微差 的示值相對誤差。由于標(biāo)準(zhǔn)量的精度等級很高，故上式第一項(xiàng)誤差很??；第二項(xiàng)是兩

58、個(gè)小于1的數(shù)之乘積也很小。所以用微差法可以減小系差。,,,,,,,,,,,,,March 31, 2024,設(shè)標(biāo)準(zhǔn)電壓 ， 級。已知微差 ， 用 ， 級電壓表測量 。求 測量的相對誤差。 解：測量 的相對誤差為： 測量 的相對誤差為： 可見，測量誤差主要取決于標(biāo)準(zhǔn)量的精確度，而儀表引起的測量誤差僅為0.06%。在測量微差時(shí)

59、誤差達(dá)±3.0%，但它在總誤差中僅占0.06%。用 級儀表，可達(dá)到0.06%的精度。,,,,,,,,,,March 31, 2024,替代法,替代法是在測量過程中將被測量以等值的標(biāo)準(zhǔn)量來替換。替換時(shí)，要使儀器的工作狀態(tài)前后不變，這樣就能消除由儀器產(chǎn)生的恒值系差?？梢?，測量 的誤差與橋路參數(shù)的精度無關(guān)，僅取決于標(biāo)準(zhǔn)電阻 的精度，因此可減小系差。,,圖2-7 替代法減小系差,March 31, 2024

60、,2.6 測量數(shù)據(jù)的處理,測量數(shù)據(jù)的處理是指從原始的測量數(shù)據(jù)中經(jīng)過加工、整理求出被測量的最佳估計(jì)值，并計(jì)算其精確度。2.6.1 測量數(shù)據(jù)的舍入法則2.6.2 有效數(shù)字的位數(shù)2.6.3 有效數(shù)字的運(yùn)算規(guī)則2.6.4 有效數(shù)字位數(shù)的確定2.6.5 等精密度測量結(jié)果的處理步驟,March 31, 2024,2.6.1 測量數(shù)據(jù)的舍入法則,由于測量數(shù)據(jù)是由0，1，2，3，…，9十個(gè)數(shù)組成的近似數(shù)，因此在進(jìn)行數(shù)據(jù)處理時(shí)會遇到數(shù)

61、據(jù)的舍入問題。通常的“四舍五入”規(guī)則中，對5只入不舍是不合理的，它也應(yīng)當(dāng)有舍有入。所以在測量技術(shù)中規(guī)定：“小于5舍，大于5入，等于5時(shí)采取偶數(shù)法則”。也就是說，保留數(shù)字末位為位，第位大于5，第位數(shù)字加1；第位小于5，第位數(shù)字不變；若第位恰好是5，則將第為湊成偶數(shù)，即第位為奇數(shù)時(shí)，第位加1，第位為偶數(shù)時(shí)，則第位不變。,例2-10 將下列數(shù)字保留三位： 12.34→12.3（45） 12.35→12.4（

62、因第三位是3為奇數(shù)，5入） 12.45→12.4（因第三位是4為偶數(shù)，5舍）當(dāng)舍入足夠多時(shí)，舍和入的概率相同，從而舍入誤差基本抵消，又考慮到末位是偶數(shù)容易被除盡，減小計(jì)算誤差。由此可見，每個(gè)數(shù)據(jù)經(jīng)舍入后，末位是欠準(zhǔn)數(shù)字，末位以前的數(shù)字是準(zhǔn)確數(shù)字。其舍入誤差不會大于末位單位的一半，這是最大舍入誤差，故稱該舍入法則為“0.5”誤差法則。,March 31, 2024,2.6.2 有效數(shù)字的位數(shù),所謂有效數(shù)字的位數(shù)，是指在

63、一個(gè)數(shù)值中，從第一個(gè)非零的數(shù)算起，到最末一位數(shù)為止，都叫有效數(shù)字的位數(shù)。例如，0.27是兩位有效數(shù)字；10.30和2.102都是四位有效數(shù)字。可見，數(shù)字“0”在一個(gè)數(shù)值中，可能是有效數(shù)字，也可能不是有效數(shù)字。,March 31, 2024,2.6.3 有效數(shù)字的運(yùn)算規(guī)則,在數(shù)據(jù)處理中，常需要對一些精度不相等的數(shù)進(jìn)行四則運(yùn)算。為了使計(jì)算簡單準(zhǔn)確，可首先將參加運(yùn)算的各個(gè)數(shù)，以精度最差的一個(gè)為基準(zhǔn)進(jìn)行舍入處理（也可多保留一位欠準(zhǔn)數(shù)字），計(jì)算

64、結(jié)果也按精度最差的那個(gè)數(shù)為基準(zhǔn)作舍入處理（也可以多保留一位或兩位欠準(zhǔn)數(shù)字）。這樣使計(jì)算簡便準(zhǔn)確。,March 31, 2024,2.6.4 有效數(shù)字位數(shù)的確定,確定有效數(shù)字位數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)是誤差。并非寫得越多越好，多寫位數(shù)，就夸大了測量的精確度，少寫位數(shù)就會帶來附加誤差。測量結(jié)果有效數(shù)字處理原則是：由測量精確度來確定有效數(shù)據(jù)的位數(shù)，但允許多保留一位欠準(zhǔn)數(shù)字，與誤差的大小相對應(yīng)，再根據(jù)舍入法則將有效位以后的數(shù)字舍去。,March 31, 20

65、24,例2.12,用一塊 =100V，s＝0.5級電壓表進(jìn)行測量，其示值為85.35V，試確定有效數(shù)字位數(shù)。 解：該量程的最大誤差為： 可見示值范圍為84.85 ~ 85.85V，因?yàn)檎`差是±0.5V，根據(jù)“0.5”誤差法則，此數(shù)據(jù)的末位應(yīng)是整數(shù)，所以測量結(jié)果應(yīng)寫成兩位有效數(shù)字，根據(jù)舍入法則，示值末尾的0.35<0.5，因此，不標(biāo)注誤差的報(bào)告應(yīng)寫成85V。 由上可見，測量結(jié)果的有效數(shù)字反映了測量的

66、精確度。,,,有效數(shù)字的位數(shù)與小數(shù)點(diǎn)的位置和所用單位都無關(guān)，而只由誤差的大小所決定，這是應(yīng)該十分明確的。,March 31, 2024,2.6.5 等精密度測量結(jié)果的處理步驟,對某一被測量進(jìn)行等密度測量時(shí)，其測量值可能同時(shí)含有隨機(jī)誤差、系統(tǒng)誤差和粗大誤差。為了合理估算其測量結(jié)果，寫出正確的測量報(bào)告，必須對測量數(shù)據(jù)進(jìn)行分析和處理。數(shù)據(jù)處理的基本步驟如下： 用修正值等方法，減小恒值系統(tǒng)誤差的影響。求算術(shù)平均值 式中， 是

67、指可能含有粗差在內(nèi)的平均值。,,,March 31, 2024,等精密度測量結(jié)果的處理步驟,求剩余誤差 ，并驗(yàn)算 的代數(shù)和是否等于零，從而驗(yàn)算計(jì)算平均值的正確性。 若 的代數(shù)和約等于零，說明 的計(jì)算是正確的；否則說明計(jì)算 時(shí)有錯(cuò)，要重新計(jì)算。 求標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值 。利用貝賽爾公式,,,,,,,March 31, 2024,等精密度測量結(jié)果的處理步驟,判斷粗差，剔除壞值。 當(dāng)

68、 足夠大時(shí)，隨機(jī)不確定度為： 當(dāng) 較少時(shí)，利用格拉布斯準(zhǔn)則： 若有 ，則認(rèn)為 對應(yīng)的測量值 是壞值，應(yīng)予剔除。剔除壞值后，利用剩下的數(shù)據(jù)再來求 ，剩余誤差 ，標(biāo)準(zhǔn)差 和隨機(jī)不確定度 ，并再次判斷粗差和剔除壞值，知道測量數(shù)據(jù)沒有壞值為止，然后繼續(xù)往下計(jì)算。,,,,,March 31, 2024,判斷有無變值系統(tǒng)誤差馬利科夫判據(jù) 當(dāng)