數(shù)值分析801

1、湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院,1,解析法求解常微分方程的初值問題,如,又由 得,初值問題解為,很多時候解析解求不出來, 如,由 得,(1.1),湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院,2,常微分方程的初值問題,(1.1),湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院,3,若存在常數(shù)L>0使得不等式,則稱f (x,y)在G上關(guān)于y滿足Lipschitz條件，,而式中的常數(shù)L稱為Lipschitz常數(shù).,一切在G上關(guān)于y滿足Lip

2、schitz條件的連續(xù)映射f所構(gòu)成的集合記為?，,而相應(yīng)的初值問題（1.1）構(gòu)成的問題類記為?.,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院,4,定理1 ?中的任何初值問題在[a,b]上有連續(xù)可微的解存在并且惟一.,定義1 初值問題(1.1)稱為在[a,b]上是適定的，,如果存在常數(shù),使得對于任何的正數(shù),當(dāng),時初值問題,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院,5,定理2 ?中的任何初值問題在[a,b]上是適定的.,以上各定理的證明在常微分方程的教材上都已

3、經(jīng)給出.,定理3 (Bellman不等式)設(shè),是,上的非負(fù)連續(xù)函數(shù)，,則當(dāng),時,必有,,(1.2),湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院,6,證明 先設(shè),并記,所以,上式兩邊同乘以,得,得,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院,7,從而得到,我們證明,事實上，對于任何正數(shù),我們有,引用上面已證明的結(jié)果，得到,故不等式(1.2)仍成立.,因此，命題得證.,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院,8,(1.3),的值為零.,定理4(離散的Bellman不等式)設(shè),是一

4、列非負(fù)實數(shù)，滿足,則必有,證明 令,,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院,9,由假設(shè)知，,因而有,或即,,由此即得,□,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院,10,§2 Euler方法,一、 Euler方法,二、誤差分析,三、Euler方法的收斂性和穩(wěn)定性,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院,11,1、Euler方法,記：,因為：,(等距剖分),(積分方程),令：,有：,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院,12,——Euler方法,又稱Euler折線法

5、.,可得遞推關(guān)系：,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院,13,歐拉方法的幾何意義：,,,,,,,,,,,,,,,,h步長,Euler方法的幾何意義,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院,14,2、誤差分析,稱為局部截斷誤差，,計算時 的誤差.,有：,估計,精確值時，,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院,15,其中：,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院,16,幾何分析：,Euler公式的誤差,,,,,,,,,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院,17,整體截斷誤差：,

6、由：,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院,18,從而有：,對任一,有：,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院,19,于是便得Euler方法的整體截斷誤差界,(*),湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院,20,定理5,設(shè)f (x,y)屬于F且關(guān)于x滿足Lipschitz條件，,其Lipschitz常數(shù)為K，,且當(dāng) 時，,則,Euler方法一致收斂于真解,成立.,并且有估計式,(*),湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院,21,說明Euler方法的整體截斷誤差與h同階

7、。,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院,22,注意 :對于Euler方法,隱式Euler方法,等價于積分方程：,微分方程：,有：(令 ),截去,有：,設(shè) 為 的近似值，,稱為隱式Euler方法.,稱為隱式Euler方法的局部截斷誤差.,則：,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院,26,改進的Euler方法,等價于積分方程：,微分方程：,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院,27,有：(令 ),去掉,有：,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院,

8、28,設(shè) 為 的近似值，,稱為改進的Euler方法.,稱為改進的Euler方法的局部截斷誤差.,誤差分析：,仍記,注意：,則：,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院,29,于是：,若記,整體截斷誤差的階由局部截斷誤差的階來決定.,可見改進的Euler方法誤差比Euler方法要高一階.,則有,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院,30,三、Euler方法的收斂性和穩(wěn)定性,結(jié)論:,注意:,收斂性,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院,31,穩(wěn)定性,定義,湘潭

9、大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院,32,結(jié)論:,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院,33,計算問題：,隱式計算格式由迭代法去完成.,將上式變形為,記,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院,34,總結(jié),通過對Euler方法的討論可以看到,微分方程數(shù)值方法的研究應(yīng)包括以下方面 1.數(shù)值計算公式的構(gòu)造; 2.方法穩(wěn)定性,收斂性的研究; 3.方法的誤差估計; 4.方法的實現(xiàn)等.,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院,35,§

10、;3 龍格 - 庫塔法,建立高精度的單步遞推格式。,單步遞推法的基本思想是從 ( xi , yi ) 點出發(fā)，以某一斜率沿直線達到 ( xi+1 , yi+1 ) 點。歐拉法及其各種變形所能達到的最高精度為2階。,斜率一定取K1 K2 的平均值嗎？,步長一定是一個h 嗎？,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院,36,首先希望能確定系數(shù) ?1、?2、p，使得到的算法格式有2階精度，即在 的前提假設(shè)下，使得,

11、Step 1: 將 K2 在 ( xi , yi ) 點作 Taylor 展開,,Step 2: 將 K2 代入第1式，得到,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院,37,,Step 3: 將 yi+1 與 y( xi+1 ) 在 xi 點的泰勒展開作比較,要求 ，則必須有：,,這里有 個未知數(shù)， 個方程。,3,2,存在無窮多個解。所有滿足上式的格

12、式統(tǒng)稱為2階龍格 - 庫塔格式。,注意到， 就是改進的歐拉法。,Q: 為獲得更高的精度，應(yīng)該如何進一步推廣？,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院,38,其中?i ( i = 1, …, m )，?i ( i = 2, …, m ) 和 ?ij ( i = 2, …, m; j = 1, …, i?1 ) 均為待定系數(shù)，確定這些系數(shù)的步驟與前面相似。,? 最常用為四級4階經(jīng)典龍格-庫塔法 ：,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)

13、學(xué)院,39,? 由于龍格-庫塔法的導(dǎo)出基于泰勒展開，故精度主要受解函數(shù)的光滑性影響。對于光滑性不太好的解，最好采用低階算法而將步長h 取小。,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院,40,§4 收斂性與穩(wěn)定性,? 收斂性,例：就初值問題 考察歐拉顯式格式的收斂性。,解：該問題的精確解為,歐拉公式為,,對任意固定的 x = xi = i h ，有,,?,?,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院,41,,?

14、 穩(wěn)定性,例：考察初值問題 在區(qū)間[0, 0.5]上的解。分別用歐拉顯、隱式格式和改進的歐拉格式計算數(shù)值解。,1.0000?2.0000 4.0000?8.0000 1.6000?101 ?3.2000?101,1.00002.5000?10?1 6.2500?10?21.5625?10?23.9063?10?39.7656?10?4,1.0000

15、2.50006.25001.5626?1013.9063?1019.7656?101,1.00004.9787?10?22.4788?10?31.2341?10?46.1442?10?63.0590?10?7,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院,42,,一般分析時為簡單起見，只考慮試驗方程,,常數(shù)，可以是復(fù)數(shù),湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院,43,,例：考察隱式歐拉法,,可見絕對穩(wěn)定區(qū)域為：,,注：一般來說，隱式歐拉法的絕對穩(wěn)定性