數(shù)值分析例題(精)

1、數(shù) 值 分 析,第一章 緒論與誤差分析,§1 緒論：數(shù)值分析的研究內(nèi)容§2 誤差的來源和分類§3 誤差的表示§4 誤差的傳播§5 算法設(shè)計的若干原則,例1-3 設(shè) x*=2.18是由精確值x 經(jīng)過四舍五入得到的近似值。問 x的絕對誤差限ε和相對誤差限η各是多少？,解：因為 x=x * ±0.005 ，,關(guān)于近似數(shù)誤差的大小除了用絕對誤差、相對誤差度

2、量以外，還可以用有效數(shù)字度量，下面給出有效數(shù)字的概念。,所以絕對誤差限為ε=0.005,相對誤差限為,三、有效數(shù)字,一個數(shù)的近似數(shù)往往是通過四舍五入的原則求得，例如,取以下近似數(shù),可以發(fā)現(xiàn)每一個近似數(shù)的絕對誤差限都不超過近似數(shù)末尾數(shù)位的半個單位。如果一個近似數(shù)滿足這個條件，就把這個近似數(shù)從末尾到第一位非零數(shù)字之間的所有數(shù)字叫做有效數(shù)字。,則分別得到這些近似數(shù)的絕對誤差,結(jié)論：通過四舍五入原則求得的近似數(shù)，其有效數(shù)字就是從末尾到第一位非

3、零數(shù)字之間的所有數(shù)字。,則稱近似數(shù) x* 具有 n 位有效數(shù)字。,定義1.3 設(shè)數(shù) x 的近似值可以表示為,其中 m 是整數(shù),αi (i=1,2, …, n) 是0到9 中的一個數(shù)字，而α1 ≠ 0. 如果其絕對誤差限為,例如近似數(shù) x*=2.0004 ，其絕對誤差限為,由科學計數(shù)法 x* = 0.20004×101 得到,故，該近似數(shù)有五位有效數(shù)字。,是末尾數(shù)位的半個單位，即由四舍五入得來,小結(jié)：由科學計數(shù)法表示

4、的數(shù)字，若其絕對誤差限滿足不等式，則有n位有效數(shù)字,,,例1-4 下列近似數(shù)是通過四舍五入的方法得到的，試判定它們各有幾位有效數(shù)字：,解：我們可以直接根據(jù)近似數(shù)來判斷有效數(shù)字的位數(shù)，也可以通過絕對誤差限來判斷。,有5位有效數(shù)字。同理可以寫出,可以得出 x2 , x3 , x4 各具有4、3、4 位有效數(shù)字。,x1* =87540，x2*=8754×10, x3*=0.00345, x4*= 0.3450 ×10-

5、2,已知,例1-4 已知 e =2.718281828……, 試判斷下面兩個近似數(shù)各有幾位有效數(shù)字？,解：由于,而,所以,e1有7位有效數(shù)字。同理：,e2 只有6位有效數(shù)字。,三、絕對誤差、相對誤差、有效數(shù)字的關(guān)系,2、絕對誤差與有效數(shù)字的關(guān)系,得到：,1、絕對誤差與相對誤差的關(guān)系,可以知道：有效數(shù)字位數(shù)越多，絕對誤差限越小。,由關(guān)系式：,3、相對誤差與有效數(shù)字的關(guān)系,由近似數(shù),得到相對誤差限,可以看出：有效數(shù)字位數(shù)越多，相對誤差限越

6、小。,及,解：由于 ，則近似值 x* 可寫為,例 1-5 為了使 的近似值的相對誤差小于 10-3，問應(yīng)取幾位有效數(shù)字？,根據(jù),只要,即可,,解得：n≥4 ，,故只要取 n=4 , 就可滿足要求。,即應(yīng)取 4 位有效數(shù)字，,準確數(shù)為：,此時 x =4.472 .,練習1.1: 判斷下列近似數(shù)個有幾位有效數(shù)字，用絕對誤差限表示。,注意：精確值的有效數(shù)字可以認為有無限多位。如：,x1*=24

7、.67,x2*=3850×10 3,x3*=0.6742×10 -2,x4*=0.000374,x5*=0.8400,習 題 一,1-1 下列各數(shù)都是經(jīng)過四舍五入得到的近似值。試分別指出它們的絕對誤差限，相對誤差限和有效數(shù)字的位數(shù)。 a=0.0315, b=0.3015, c=31.50, d=5000,1-2 下列近似值的絕對誤差限都是0.005, a=-1.00031 ,

8、 b=0.042 , c=-0.00032試指出它們有幾位有效數(shù)字。,1-3 為了使 的近似值的相對誤差小于0.01%，試問應(yīng)取幾位有效數(shù)字？,1-4 求方程 x2-56x+1=0 的兩個根，使它們至少具有四位有效數(shù)字,1-6 設(shè) ,假定 g 是精確的，而對時間 t 的測量有 ± 0.1s 的誤差。證明：當t 增大時，S 的絕對誤差增大而相對誤差減小.,1

9、-5 若取 及初始值 y0=28 ,按遞推公式,計算 y100，試估計y100 有多大誤差。,第二章 代數(shù)插值,§1 多項式插值問題 §2 Lagrange插值多項式 §3 差商及Newton插值多項式 §4 分段插值多項式 §5 三次樣條(Spline)插值多項式,一、線性插值（n=1）,求解 L1(x)=a

10、1 x+a0,使得 f(x) ≈ L1(x), x ∈[x0 , x1].,根據(jù)點斜式得到,,如果令,則稱 l0(x) , l1(x)為一次插值多項式的基函數(shù)。這時：,并稱其為一次Lagrange插值多項式。,f(x) ≈ L1(x)=y0l0(x)+y1 l1(x),二、拋物線插值（n=2）,求解 L2(x)=a2x2+a1 x+a0,使得 f(x) ≈ L2(x), x ∈[x0 , x2].,關(guān)于二次多項式的構(gòu)

11、造采用如下方法：令,并由插值條件,得到,L2(x)=A(x-x1)(x-x2)+B(x-x0)(x-x2)+C(x-x0)(x-x1),L2(x0)=y0 , L2(x1)=y1 , L2(x2)=y2,于是得到,則有,f(x) ≈ L2(x)=y0l0(x)+y1 l1(x)+ y2 l2(x),如果令,并稱其為二次Lagrange 插值多項式。,緊湊格式,則稱 l0(x) , l1(x)，l２(x)為二次插值多項式的基函數(shù)。這時

12、：,這樣，就得到二次拉格朗日插值多項式的三種表示形式,…………………緊湊格式,這樣就得到在區(qū)間[a,b]上關(guān)于 f(x) 的近似計算式,…………………基函數(shù)表示,……………… ω3(x)表示式,下面給出n次拉格朗日插值多項式的構(gòu)造。,三、n 次Lagrange插值多項式,已知n+1組離散數(shù)據(jù),按照二次Lagrange插值多項式的構(gòu)造方法，令：,將插值條件 Ln( x0 )= y0 代入，得到：,同理，由插值條件 Ln( x1 )= y1

13、 ，得到：,對于誤差估計式,當n=1時,于是，得到如下Lagrange插值多項式及其誤差估計,這里 f(x) =Ln(x)+Rn(x),當 f(x) ≈Ln(x) 時，誤差為Rn(x)。,,例2 已知,分別用線性插值和二次插值計算 sin0.3367.,解：設(shè),（1）取 x0 ,x1 作線性插值,于是,關(guān)于誤差，由,得到：,（2）.取 x0 ,x1 ,x2 作二次插值,得到,關(guān)于誤差，由,得到,本節(jié)(§2 )要點,掌握

14、Lagrange 插值多項式的構(gòu)造方法及具體結(jié)構(gòu)掌握Lagrange插值多項式誤差分析方法和結(jié)果3. 編寫Lagrange插值多項式計算程序進行實際計算,練習 ：已知函數(shù)y=f(x)的如下離散數(shù)據(jù),(1). 試用線性插值求函數(shù)在 x= 1.5處的近似值。(2). 試用二次插值求函數(shù)在 x= 1.5處的近似值。,這個表達式給出了 n+1 階差商與 n+1 階導數(shù)之間的關(guān)系式。,解：由差商與導數(shù)的關(guān)系式,得到,2. Newton插

15、值多項式具有遞推式,由,例4 已知f(x) 的五組數(shù)據(jù)(1,0)、(2,2)、(3,12)、(4,42)、(5,116),求 N4 (x)。如果再增加一個節(jié)點(6,282),求出N5(x)，并計算 N4(1.5)、N5(1.5).,解：先由前五組數(shù)據(jù)列差商表,1 02 23 124 425 116,2103074,41022,24,0.5,得到：,如果，再增加一點(6, 282),就在上表中增加一行計算差商

16、。,6 282,166,46,8,1,0.1,由Newton公式的遞推式得到：,得到：,練習題：已知離散數(shù)據(jù)(1,0)、(2,2)、(4，12）、(5,20) 求三次Newton插值多項式，增加一點(6,70)后， 再求出四次Newton插值多項式。,關(guān)于離散數(shù)據(jù)：,構(gòu)造了lagrange插值多項式：,,Newton插值多項式：,根據(jù)問題需要，有時還需要構(gòu)造分段插值多項式，下面加以介紹,,,4.2 分段

17、線性插值,為了提高近似程度，可以考慮用分段線性插值來逼近原函數(shù)。,,設(shè) y=f(x) 在節(jié)點a = x0 < x1 < … < xn= b 處的函數(shù)值為yi = f (xi) , i=0,1,2,…,n .,這時的插值函數(shù)為分段函數(shù)：,在區(qū)間 上的線性函數(shù)為,誤差為：,則有：,令,可以按如下的方式考慮：,關(guān)于整體誤差：,于是,當 h→ 0 時，分段線性插值S(x) 收斂于f(x) 。值得注意的是：分

18、段線性插值雖然有很好的收斂性質(zhì)，但卻不是光滑的。也就是說，S(x)的導數(shù)不一定存在！,若記 則對任一 x ∈[a,b] 都有,下面我們就考慮在節(jié)點處可導的插值多項式的構(gòu)造。,4.3 分段Hermite 插值,分段線性插值多項式S(x),在插值區(qū)間[a,b]上只能保證連續(xù)性，而不光滑。要想得到在插值區(qū)間上光滑的分段插值多項式，可采用分段Hermite

19、插值。,如果已知函數(shù)y=f(x) 在節(jié)點a = x0 < x1 < … < xn= b 處的函數(shù)值和導數(shù)值：,則在小區(qū)間[x i-1 , xi ] 上有四個插值條件：,故能構(gòu)造一個三次多項式 Hi(x) 并稱其為三次埃爾米特(Hermite)插值多項式。,yk=f(xk), yk’=f ’(xk) , k=0,1, … ,n,yi-1=f(xi-1), yi=f (xi) ,,y ’i-1=f ’(

20、xi-1), yi’=f ’(xi) ,,代入下式,得到,這樣，便求出了分段三次Hermite插值多項式：,關(guān)于誤差，若f(x)在[a,b]具有4階連續(xù)導數(shù)，可推得,其中,如果記,則有：,即,關(guān)于整體誤差，若 f(x) ∈C4[a,b] ,則可按如下方式考慮：,記,,則有：,于是,當h→ 0 時，R(x)→ 0.說明分段三次Hermite插值 H(x) 收斂于f(x) 。,本節(jié)(§4 )問題,2.分段線性插值有何優(yōu)缺點？

21、如何估計誤差？,4.如何分段線性插值算法的程序設(shè)計？,1.何為高次插值的Runge 現(xiàn)象，應(yīng)如何避免？,3.分段三次Hermite插值有何優(yōu)缺點,如何估計誤差,5.如何構(gòu)造滿足以下條件的插值多項式并估計誤差？,2. 三次樣條函數(shù)的定義,已知函數(shù)y=f(x) 在節(jié)點a = x0 < x1 < … < xn= b 處的函數(shù)值為,如果函數(shù) S(x) 滿足條件：,（2）S(x) 在子區(qū)間[xi-1 ,xi]上是不超過三次的多

22、項式；,則稱S(x) 是三次樣條插值函數(shù)。,（3）S(x) 在[a,b]具有二階連續(xù)導數(shù)；,yk =f( xk) , k=0,1,2, … ,n,（1） S(xk)=yk ， k=0,1,2, … ,n；,常用的邊界條件有以下幾種：,邊界條件1m：,邊界條件2M：,邊界條件3：假定函數(shù)y=f(x)是以b-a 為周期的周期函數(shù)，這時要求S(x) 也是周期函數(shù)，即,這樣我們便可以具體求出樣條函數(shù)來。,令：,于是,得到,這樣，我們只

23、需要求出 m0 ,m1 ,…,m n 即可。,邊界條件1：,這時方程,改寫為：,或者，表示為矩陣方程,(2.4),由于 λk+μk =1 ,方程（2.4）的系數(shù)矩陣是嚴格對角占優(yōu)矩陣，方程（2.4）有惟一解，并可用追趕法求解。,便得到三次樣條函數(shù)：,解出m0 ,m1 ,…,m n 以后，代入下式,也就是：,邊界條件2：,已知：,故可以得到,將,與前面得到的方程組,結(jié)合，可以給出求解 m0 ,m1 ,…,m n 的方程組：,求解此方程組，

24、也可以求出三次樣條函數(shù)。,(2.5),或者表示為矩陣方程,由第一個等式和第二個等式得到 y0=yn ,m0=mn,邊界條件3：周期邊界條件,由第三個等式說明,令,得到,結(jié)合得到,與,將,表示為矩陣方程：,(2.6),其系數(shù)矩陣稱作周期三對角矩陣，也是嚴格對角占優(yōu) ，因而方程組有唯一解。,三次樣條函數(shù)三轉(zhuǎn)角算法的實現(xiàn)流程,Step1: 輸入節(jié)點x0 ,x1 ,…, xn ,函數(shù)值y0 ,y1 ,…, yn、

25、 邊界條件及 x.,Step3: 根據(jù)邊界條件，求解相應(yīng)的方程組得到 m0 , m1 , … , mn,Step2: 計算,Step4: 判斷 x∈[x i-1 , xi ] ?,Step5: 計算 y≈ si(x),Step6: 輸出 y,例4 已知函數(shù)y=f(x) 的如下數(shù)據(jù),試求其在區(qū)

26、間[0,3]上的三次樣條插值函數(shù)S(x)。,解 這里邊界條件是,設(shè),求得,已知,由方程組,及,得到方程組,解得,這樣便求得,代入表達式,便得到所求的三次樣條函數(shù),本節(jié)(§5-1、2 )要點,什么是三次樣條函數(shù)？三次樣條函數(shù)的邊界條件是如何給出的？三次樣條函數(shù)的三轉(zhuǎn)角算法是如何構(gòu)造的？如何設(shè)計程序?qū)崿F(xiàn)三轉(zhuǎn)角算法？畫出流程圖。三對角線性方程組和一般線性方程組如何求解？完成P49習題2-12、2-13。,2. 三彎矩算法

27、,只要求出在區(qū)間[x i-1 , x i ]上的三次多項式 Si (x) i=1 , 2, … , n，并滿足前面四類條件 即可。在這里我們采用另一種方法進行求解，并稱為三彎矩算法。,加邊界條件構(gòu)成的三次樣條函數(shù)為分段函數(shù),a = x0 < x1 < … < xn= b, yk =f ( xk ) , k= 0,1,2, … ,n,對于離散點及其上的函數(shù)值：,方程組(2.6)的矩陣形式為,邊界條件2：,這說明,這

28、時方程組（其中）,邊界條件1：,矩陣形式為,邊界條件3：,,由,得,矩陣形式為,針對三種邊界條件求解相應(yīng)的方程組,得到M0、M1、…、Mn后代入,就可以得到三次樣條函數(shù),并把以上算法稱作三彎矩算法。,例2-5 求三次樣條插值函數(shù)S(x)，滿足自然邊界條件(S”(x0)=S”(xn)=0)，已知離散數(shù)據(jù)如下：,解：已知M0=M4=0，先求出步長h1=0.05, h2=0.09, h3=0.06, h4=0.08, 再計算,代入方程組

29、,得到,解得 M0=0, M1=-1.8806, M2=-0.8836, M3=-1.0261, M4=0.,代入,得到,,5.3 三次樣條插值函數(shù)的誤差估計,1. 如果f(x)?C[a,b]，且劃分的網(wǎng)格比,其中,一致有界，則當,時，S(x)一致收斂于f(x).,2. 如果f(x)?C4[a,b]，且S(x)滿足邊界條件I、II, 則,即h?0時，,練 習 二,2-1 當 x=1，-1，2時，f(x) 分別為

30、0，-3，4，求f(x) 的二次插值多項式 p2(x) 。,2-2 設(shè) li(x) 是以xk=x0+kh, k=0,1,2,3 為插值節(jié)點的3次插值基函數(shù)，求 。,2-3 設(shè) l0(x), l1(x), …, ln(x) 是以 x0, x1, … ,xn 為節(jié)點的n次Lagrange插值基函數(shù)，求證,（1）,（2）,2-4 設(shè) f(x)∈C2[a,b] ，且 f(a)=f(b)=0 ，,其中,證明,2-5

31、利用 在 x=100,121,144點的函數(shù)值，用插值方法求 的近似值，并由誤差公式給出誤差界，同時與實際誤差作比較。,2-6 在 -4≤x≤-4 上給出f(x)=ex 的等距節(jié)點函數(shù)表， 利用與距離最近的三點作二次插值作為的e2 近似，使其誤差不超過10-6，問函數(shù)表的步長應(yīng)多少？,2-7 證明n階差商有下列性質(zhì),(1) 若F(x)=f(x)+g(x) ，則,F[x0 ,x1 ,

32、…,xn] =f [x0 ,x1 ,…,x n]+ g [x0 ,x1 ,…,x n],（2）若 f(x) ∈Pm (m次多項式), m≥ n 則 f[x0 ,x1 ,…,x n-1 ,x] ∈ Pm-n.,2-8 f(x)= x5+4x4+3x+1 ,求差商 f [20,21,..,25 ] 和 f[20,21,..,26] .,2-9 設(shè) f(x)=x5+x3+1 ,取x0=-1

33、,x1=-0.8, x2=0, x3=0.5, x4=1 , 試作出 f(x) 關(guān)于 x0, x1, … ,x4 的差商表,給出 f(x) 關(guān)于x0, x1, … ,x4 的Newton插 值多項式,并給出插值誤差。,2-11 給定插值條件式f(0)=0, f(1)=1, f(2)=0, f(3)=1,分別求出邊界條件為,或,的三次樣條函數(shù)的分段表達式。,2-10 設(shè) f(x)=x4+2x3+5 ，在區(qū)間[-3,2] 上對節(jié)點

34、x0=-3, x1=-1,x2=1,x3=3 ,求出f(x) 的分段三次 Hermite插值多項式在每個小區(qū)間[xi ,xi+1]的表達式及誤差公式。,第三章 最佳逼近,函數(shù)的最佳平方逼近數(shù)據(jù)擬合的最小二乘法,*求連續(xù)函數(shù)最佳平方逼近的步驟*,1. 給定[a,b]上的連續(xù)函數(shù)f(x), 及子空間,3. 求出法方程組的解 c0* ,c1* , … , cn* ,得到最佳平方逼近,4. 求出誤差,例3.1求 在

35、 上的最佳平方逼近一次多項式，并估計誤差。,直接套用公式：,解：設(shè),則需要求解的方程組為：,于是得到法方程組,解之得,最佳平方逼近一次多項式為,關(guān)于誤差，由誤差估計式,得到,在區(qū)間[-1，1]上兩兩正交，試求 f(x)=ex 在這個區(qū)間上的最佳平方逼近二次多項式，并給出誤差估計。,例3.2 已知,根據(jù)基函數(shù)的正交性，得到,解：以 作為基函數(shù)，設(shè),,從而求得,誤差為,例3.3 求 f(x)=a

36、rctanx 在[0，1] 上的最佳平方逼近二次多項式，并估計誤差。,解：設(shè) P2(x)=c0+ c1 x +c2x2 ，則,需要寫出法方程組,這時,法方程組為,解得：,且,本節(jié)(§2)小結(jié),1.何為連續(xù)函數(shù)最佳平方逼近多項式？,如何計算連續(xù)函數(shù)的最佳平方逼近n次多項式？,3. 如何估計最佳平方逼近n次多項式的誤差？,4. 練習：試求函數(shù) f(x)=1/x 在區(qū)間[1, 3]上的最佳平方逼近一次多項式并估計誤差。,§

37、２ 數(shù)據(jù)擬合的最小二乘法,經(jīng)常由觀察或測試可得到一組離散數(shù)據(jù)：,這時可以考慮用最小二乘法進行數(shù)據(jù)擬合，給出逼近曲線y=f(x) ,其特點是：所求的逼近曲線不一定經(jīng)過這些離散點，但卻盡可能的靠近這些離散點。,( xi , yi ), i=0,1,…,m,最小二乘擬合曲線,二、最小二乘法擬合曲線的步驟,第二步：根據(jù)圖示，確定曲線所屬的函數(shù)類型，例 如多項式函數(shù)類、三角函數(shù)類、指數(shù)函數(shù) 類、對數(shù)函數(shù)類等。假

38、設(shè)所確定的函數(shù)類 的基函數(shù)為,第一步：根據(jù)如下已知點的坐標，在坐標系里描點,則所求的函數(shù)可以表示為：,只要確定了系數(shù)，就可以求出擬合曲線。,第三步：對于其整體誤差,所求的解應(yīng)該使得上式達到極小，由極值原理應(yīng)有：,令：,最后可以將法方程組表示為：,其中,這樣會更快的寫出法方程組來。,例如所求得最小二乘擬合函數(shù)為n次多項式，則：,這時：,誤差：,三、數(shù)值例子,例3.4 根據(jù)如下離散數(shù)據(jù)擬合曲線并估計誤差,解: step1:

39、 描點,step2: 從圖形可以看出擬合曲線近似的為一條拋物線：,step3: 根據(jù)基函數(shù)給出法方程組,基函數(shù)為,由,得到,即,又,求得,法方程組為：,解得：,求得擬合二次多項式函數(shù),誤差為：,先計算出擬合函數(shù)值：,得到：,或者：,最小二乘擬合曲線,解：在坐標軸描點,例3.5 根據(jù)如下離散數(shù)據(jù)擬合曲線并估計誤差,從離散點的圖形上看不出原函數(shù)屬于哪一類型，一般多采用多項式擬合，在此我們用二次多項式擬合。,根據(jù)如下離散數(shù)據(jù)給出法方程組,這

40、時,求得,得到法方程組,所求二次擬合曲線為,擬合曲線的平方偏差為,由,解得：,最小二乘擬合曲線,例3.6 對如下數(shù)據(jù)作形如 y = a eb x 的擬合曲線,解: 由于函數(shù)集合Φ={a eb x | a,b ∈R } 不成為線性空間，因此直接作擬合曲線是困難的。,在函數(shù) y = a eb x 兩端分別取對數(shù)得到,這時，需要將原函數(shù)表進行轉(zhuǎn)換如下,令 z= ln y , A = ln a , B=b,,則 z=A+B

41、x,ln y = ln a+bx,對 z=A+Bx 作線性擬合曲線，取,這時,得正則方程組,,解得,于是有,擬合曲線為：,最小二乘擬合曲線,例3.7 　利用最小二乘法解下列超定方程組,解:超定方程組很難得到一組值使得每一個方程都成立。一般情況下用盡量使每一個方程都成立的一組值作為超定方程的近似解。這時最小二乘法就可以用于解這類方程。,采用最小二乘法，考慮如下的誤差函數(shù)：,關(guān)于法方程組的獲得，可以用更簡便的方法，先將方程組用矩陣表示,

42、簡化為,兩邊同乘以系數(shù)矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣，就得到所需要的法方程組：,具體計算結(jié)果如下：,與前面計算的法方程組相同，解值得最小二乘解,x1= -0.3141 x2= 0.1333 x3=0.0269,本節(jié)(§3)問題,1、最小二乘法擬合曲線的步驟是什么？,2、如何根據(jù)離散數(shù)據(jù)寫出法方程組？,3、最小二乘法擬合曲線的平方誤差如何計算？,4、確定經(jīng)驗公式 中的參數(shù)，使之 與下列數(shù)據(jù)擬合,解

43、: 該問題的求解，可以將其化為線性函數(shù)進行,由,得到,令,則,則,再令,函數(shù)值轉(zhuǎn)化為,這時，法方程組的系數(shù)矩陣按下式計算,由,計算出,法方程組,解得 c0 =6.0631 c1 =-0.0474 c2 =-10.0748,利用,得到,最后得到,第四章數(shù)值微積分,Newton-Cotes 型求積公式復(fù)化求積公式Gauss 型求積公式數(shù)值微分,拋物線公式n=2,,梯形公式n=1,,Cotes求積公式n=4,,例4.

44、1　用梯形公式，Simpson公式和 Cotes 公式求積分,解:利用梯形公式,利用 Simpson 公式,得,利用Cotes公式得,而原積分為,相對而言，Cotes求積公式精度最高，梯形求積公式精度最低。,例 4.2 用梯形公式和Simpson公式 計算積分,解: 由梯形公式得,由Simpson公式得,本節(jié)(§1 )要點：,1. 等距節(jié)點(Newton-Cotes)的積分公式是如何構(gòu)造的？,2. N點等距節(jié)點的積分公

45、式及其誤差式怎么表示？,,3. 如何由上式給出梯形公式、拋物線公式及其誤差？,,,4. 問題：由上面例題可以看出，n越大，計算精度越高，那么繼續(xù)增大n，是否精度繼續(xù)提高呢？,這里使用的是Lagrange插值逼近，有Runge現(xiàn)象，當然不是n越大越好，當n較大時，會出現(xiàn)數(shù)值不穩(wěn)定?？紤]到分段插值逼近的優(yōu)越性，在本節(jié)方法的基礎(chǔ)之上，給出精度高且數(shù)值穩(wěn)定的新算法——復(fù)化求積公式。,§2.復(fù)化求積公式,類似于分段插值，為了減少數(shù)值

46、積分的誤差，把積分區(qū)間分成若干個小區(qū)間，在每個小區(qū)間上采用低階數(shù)值積分公式，然后把這些小區(qū)間上的數(shù)值積分結(jié)果加起來作為函數(shù)在整個區(qū)間上的近似，這就是復(fù)化數(shù)值積分的思想。,在區(qū)間[a,b]上，取等距節(jié)點,又由定積分的區(qū)間可加性，有,由此，可以得到相應(yīng)的復(fù)化梯形公式和復(fù)化拋物線公式,這時,即,則得到復(fù)化梯形公式及其誤差,,如果記,上式說明復(fù)化梯形公式是收斂的。,利用誤差估計式,可以對積分計算進行精度控制，從而確定出需要將積分區(qū)間多少等分。例

47、如，如果我們需要將積分值的誤差控制在ε>0 范圍內(nèi)，只需要從,則有,解出中出,即可。,例 4.3 用四點復(fù)化梯形公式計算,解：四點復(fù)化梯形公式就是將區(qū)間[0，1]三等分，如圖，于是,而梯形公式的結(jié)果為,例 4.4 用復(fù)化梯形公式計算積分 ，應(yīng)將區(qū)間[0,1]多少等分，才可以使其截斷誤差不超過,解：復(fù)化梯形公式的誤差為,而,從而,令,于是，只要將區(qū)間至少68等分,就可以達到需要的精度要求。,二、復(fù)化拋物線（ S

48、impson ）公式,已知定積分的拋物線公式及其誤差為,如果對于積分,,在每個小區(qū)間上都采用Simpson公式，則得到復(fù)化Simpson公式。,于是，我們得到復(fù)化拋物線公式及其誤差為：,這時，做近似計算用：,四點公式(n=3等分)的節(jié)點如：,做誤差限估計用：,最后，總結(jié)出拋物線公式和復(fù)化拋物線公式,1.拋物線公式及其誤差,,2.復(fù)化拋物線公式及其誤差,,例4-5 試利用函數(shù) 的數(shù)據(jù)表（表4-1）分別用復(fù)化梯形公式

49、、復(fù)化Simpson公式計算下列積分的近似值 。,表4-1 數(shù)據(jù)表,也就是,解: 兩種復(fù)化公式分別計算如下：,根據(jù)已知點的數(shù)據(jù)，需要用到九點復(fù)化梯形公式：,以上兩種算法對區(qū)間采用不同等分，計算量大體一致，定積分精確到小數(shù)點后七位的值是0.9460831，Simpson公式精度要高一些。,對于復(fù)化拋物型公式：,在這里n=4 ,步長,例4-6 利用復(fù)化梯形公式和復(fù)化Simpson公式分別求下列定積分 ，若要使

50、精度達到 ε=10-6 ，問各需將區(qū)間[0,1]多少等分？,解 由于,從而,于是有,由復(fù)化梯形公式和復(fù)化Simpson公式的誤差表示式,得到,根據(jù)上面的估計分別取,則只要,可分別解出,本節(jié)(§3)小結(jié),,2.復(fù)化拋物線公式及其誤差,,1.復(fù)化梯形公式及其誤差,§3 Gauss型求積公式,關(guān)于數(shù)值積分公式,除了用誤差來分析其精確度以外，還可以用代數(shù)精度來判斷其精度的高低。為了掌握這一方法，下面先給出代數(shù)精度的概念。,

51、一、代數(shù)精度,是區(qū)間[-1,1] 上關(guān)于權(quán)函數(shù) ρ(x)=1 的正交多項式，即,三、常用的正交多項式,1. 勒讓德（Legendre）多項式,而且具有遞推性質(zhì)：,2.契比曉夫(Chebyshev)多項式,是區(qū)間[-1，1]上關(guān)于權(quán)函數(shù) 的正交多項式,,即,其首項系數(shù)為 2n-1 ,具有下面的性質(zhì):,（2）Tn(x) 在[-1,1]上具有n個零點,（1）三項遞推關(guān)系,這其實很容易由 Tn(x)=cos(n arc c

52、osx) 計算出來：,令,則有,3．Laguerre（拉蓋爾）多項式,為區(qū)間[0,+ ∞)上關(guān)于權(quán)函數(shù)ρ(x)=e -x 的正交多項式，即,而且 Ln(x) 的首項系數(shù)為 (-1)n 。具有性質(zhì)：,4.Hermite多項式,是區(qū)間(-∞,+∞)上關(guān)于權(quán)函數(shù) 的正交多項式，即,而且 Hn(x) 的首項系數(shù)為 2n ,具有性質(zhì)：,也就是說對于積分公式,如果我們?nèi)〔逯倒?jié)點 x1 ,x2 , …, xn 為關(guān)于權(quán)函數(shù) ρ(x)

53、 正交多項式 gn(x) 的零點，則所得到的求積公式可達到 2n-1 階代數(shù)精度。,,這時稱上面的公式為Gauss型求積公式，并稱x1 , x2 , …, xn 為 Gauss 點。,下面給出構(gòu)造Gauss型求積公式的步驟。,第三步：求出求積公式的系數(shù)：,第一步：給出關(guān)于權(quán)函數(shù)ρ(x) 正交多項式 gn(x) ;,第四步：給出 Gauus 型求積公式并計算積分近似值：,第二步：求出 gn(x) 的 n 個零點： x1 ,x2 , …,

54、xn ;,對于積分,構(gòu)造 Gauss 型求積公式的步驟如下：,五 幾種常用Gauss型求積公式,1、Gauss-Legendre(勒讓德)求積公式,構(gòu)造Gauss型求積公式除需要求出正交多項式外，還需求出正交多項式的零點和求積系數(shù)，當n≥3 時，這些工作均很困難，下面給出幾種常用的Gauss型求積公式.,關(guān)于定積分,權(quán)函數(shù)ρ(x)=1, 已知Legendre多項式在[-1，1]上關(guān)于ρ(x)=1正交，由Gauss型求積公式的構(gòu)造，選Ga

55、uss點xk為n次Legendre多項式 的零點，求積系數(shù),Gauss-Legendre求積公式中的各階Gauss點及求積系數(shù)已經(jīng)算出，使用時只需要查表即可，看下表。,這時，Gauss型求積公式,稱為Gauss-Legendre求積公式。,表4-1 Gauss-Legendre求積公式系數(shù)表,例4-7 用具有5次代數(shù)精度的Gauss型求積公式計算,實際上,x1=-0.7745966692, x

56、2=0, x3=0.7745966692,于是由計算公式 得到：,A1= A3=0.5555555556, A2=0.8888888889,解：具有5次代數(shù)精度的Gauss型求積公式就是3點Gauss型求積公式，由表3-1得,可見相同個數(shù)節(jié)點的求積公式，Gauss型求積公式的精度要高。,對于一般的區(qū)間[a，b]上的積分,若采用等距節(jié)點 x0=-1, x1=0,

57、 x2=1 的Simpson公式，則有,需要作變量替換,得到：,即：,例4-8 用3點Gauss公式求積分 的近似值。,相比較，遠比3點的 Simpson 公式的結(jié)果精確：,2、Gauss-Chebyshev 求積公式,關(guān)于定積分,這時得到Gauss型求積公式,不難得求積系數(shù)：,權(quán)函數(shù)為 ，而Chebyshev多項式在 [-1，1]上關(guān)于權(quán)函數(shù)

58、正交，于是Gauss點xk為n次Chebyshev多項式的零點:,注:可能是廣義積分,稱為Gauss- Chebyshev求積公式。,例4-9 計算下列積分：,解：用兩點Gauss- Chebyshev求積公式，得,3、Gauss-Laguerre求積公式,權(quán)函數(shù)為ρ(x)=e-x ，而Laguerre多項式在[0，∞)上帶權(quán) ρ(x)=e–x正交，于是選Gauss點為n次Laguerre多項式的零點，對應(yīng)的求積系數(shù)為,稱為Gauss-

59、Laguerre求積公式。,故有 Gauss型求積公式,Gauss-Laguerre求積公式的Gauss點和求積系數(shù)見表4-2。,關(guān)于定積分,表4-2 Gauss-拉蓋爾 求積公式系數(shù)表,一般對積分 ，可改寫為如下形式,Gauss-Laguerre 求積公式寫為,4、Gauss-Hermite求積公式,關(guān)于定積分,權(quán)函數(shù)為 ，而Hermite多項式在[-∞，+∞)上帶權(quán)

60、 正交，于是選Gauss點為n次Hermite多項式的零點，對應(yīng)的求積系數(shù)為,故有 Gauss型求積公式,稱為Gauss-Hermite求積公式。,其Gauss點及求積系數(shù)見表4-3。,表4-3 Gauss-Hermite求積公式的求積系數(shù)表,例4-9 分別用兩點Gauss型求積公式計算下列積分：,解 (1) 由Gauss-拉蓋爾公式系數(shù)、節(jié)點表可以求得：,(2) 由Gauss-Hermite公式系數(shù)、節(jié)點表可

61、以求得：,(3) 由Gauss-拉蓋爾公式系數(shù)、節(jié)點表可以求得：,例4-10 用兩點Gauss型求積公式計算：,解：先作變換,用兩點Gauss -Legendre求積公式，得到：,如果用復(fù)化梯形公式計算，需要將[0,1]區(qū)間1024等分。準確值為 0.946083。,例4-11 求Gauss型求積公式,解：由于上面的兩點公式是Gauss型的，故應(yīng)具有2n-1=2×2-1=3 階代數(shù)精度系數(shù)。這說明上式對于 f(x)=1、x

62、、x2、x3 精確成立，于是，我們將 f(x)=1、x、x2、x3 逐一代入上式，得到一個非線性方程組：,的系數(shù) A1 、A2 及節(jié)點 x1、 x2 。,解此非線性方程組,得到,從而，所求的兩點Gauss型求積公式為：,本節(jié)(§4) 問題,1.Gauss型求積公式是如何構(gòu)造的？為什么n點Gauss 型求積公式具有2n-1階代數(shù)精度？,2.Gauss型求積公式都有哪幾種類型？如何查表計算？,3.用兩點Gauss 型求積公式

63、計算下列積分,4.實習題,編寫Gauss型求積公式計算各種積分。,§4 數(shù)值微分,用函數(shù) y=f(x) 的離散數(shù)據(jù),近似的求出函數(shù)在節(jié)點處的微分值，稱作數(shù)值微分。,一、Taylor展開法,為求出 y=f(x) 在某點 x0 處的導數(shù)值 f ’(x0) ,可以利用函數(shù)在此點以及前后兩點的函數(shù)值:,通過Taylor展式進行近似計算。,(xi , yi ), i=0,1,2, … ,n,例4-12 對于函數(shù) y=f(x) 在如下

64、點的函數(shù)值,解：三種公式計算一階導數(shù)值分別為,用二階中心差分公式計算,上表數(shù)據(jù)表示的是由函數(shù) f(x)=ex 給出,其準確值為：,可見，用一階中心差商公式求一階導數(shù)更準確一些。,下面再看另一種求數(shù)值微分的方法。,一階兩點微商公式,,一階三點微商公式,,二階三點微商公式,例4-13 對于函數(shù)y=f(x)在如下點的函數(shù)值,試分別用兩點、三點數(shù)值微分公式計算x=2.7 處函數(shù)的一、二階導數(shù)值。,解：h=0.2 時,或者,或者,h=0.1 時

65、,或者,或者,以上導數(shù)值均求的是函數(shù)f (x)=ex 在x=2.7處的一、二階導數(shù)近似值，真值為：,本節(jié)(§6) 問 題,一階兩點微商公式,,一階三點微商公式,,二階三點微商公式,練 習,已知y=f(x)的一組離散值,1.試用兩點公式求出f(x)在三點0.8、1.0、1.2的一階導數(shù)。,2.試用三點公式求出f(x)在三點0.8、1.0、1.2的一階導數(shù)。,3.試用三點公式求出f(x)在三點0.8、1.0、1.2的二階導數(shù)

66、。,第四章 數(shù)值微積分總結(jié),Newton-Cotes型求積公式 1. 梯形公式 2. 拋物線公式 3. 梯形公式、拋物線公式的誤差二. 復(fù)化型求積公式三. Gauss型求積公式四. 數(shù)值微分,第五章 線性方程組的直接解法,§1 Gauss消去法 1.1 順序Gauss消去法 1.2 列主元Gauss消去法 §2 直接三角分

67、解方法  2.1 Gauss消去法的矩陣運算 2.2 Doolittle分解法 2.3 平方根法 2.4 追趕法,一、順序Gauss消去法,例1. 用順序Gauss消去法解方程組,用增廣矩陣進行計算,對于,由,解得,對于,由,求得,可以看出對于方程組：,只要對系數(shù)矩陣作了三角分解：,由這個簡單的計算過程可知，系數(shù)矩陣的三角分解很關(guān)鍵，從前面的分析我們可以總結(jié)出L和U的求法，但比

68、較繁瑣，下面介紹幾種簡單方法。,通過如下兩組公式很容易求解：,前已述及，若在順序Gauss消去法的過程中，每步消元的主元素 akk(k)≠0，則矩陣A可分解為A＝LU，L為單位下三角矩陣，U為上三角矩陣，此分解稱為A的 Doolittle（杜利特爾）分解?？梢宰C明akk(k) ≠0的充要條件是A的各階順序主子式不為零，于是有如下定理。,定理5.1 設(shè)n階方陣A的各階順序主子式不為零，則存在惟一單位下三角矩陣L和上三角矩陣U使A＝LU。,

69、下面介紹矩陣三角分解的Doolittle分解方法。,§2 直接三角分解方法,于是，對于矩陣的三角分解：,可按照以下公式進行：,對于 i=2,3, … ，n, 計算,（5.2）,（5.3）,（5.4）,用計算公式(5.3)、(5.4)對矩陣A作的分解(5.2),稱作Doolittle分解。,例5-3 利用Doolittle三角分解法求下列方程組,解：首先對系數(shù)矩陣用如下公式分解：,,1,2,3,4,1,1,1,2,6,12,