1 簡解2016年高考全國卷iii文科第21(3)題

1、簡解簡解2016年高考全國卷年高考全國卷IIIIII文科第文科第21(3)題高考題高考題(2016年高考全國卷III文科第21題)設函數(shù).()ln1fxxx???（1）討論的單調性；()fx（2）證明當時，；(1)x???11lnxxx???（3）設，證明當時，.1c?(01)x?1(1)xcxc???解(1)可得.11()1(0)xfxxxx??????當時，；當時，，所以函數(shù)在上單調01x??()0fx??1x?()0fx??()f

2、x??01遞增，在上單調遞減.??1??(2)由(1)的結論知，函數(shù)在處取得最大值，且最大值為.()fx1x?(1)0f?所以當且時，.0x?1x?ln1xx??由此得，當時，，，所以可得.??1x???ln1xx??11ln1xx??11lnxxx???(3)設g(x)＝1＋(c－1)x－cx，可得g′(x)＝c－1－cxlnc.令g′(x)＝0，解得x0＝.lnc－1lnclnc當x0，g(x)單調遞增；當xx0時，g′(x)1，由

3、(2)的結論知，10.即當x∈(0，1)時，1＋(c－1)xcx.(3)的另證另證設，可得()1(1)(1)xhccxcc?????01()()0(011)xhcxccxc????????所以是增函數(shù)，得.()hc()(1)01(1)(1)xhchcxcc??????注本題第(3)問的背景是貝努利(Bernoulli)不等式.普通高中課程標準實驗教科書《數(shù)學選修45A版不等式選講》(人民教育出版社2007年第2版)第51頁例3介紹的“貝

4、努利(Bernoulli)不等式”的一般情形是：設，則當時，；當或時，.1t??01???(1)1tt?????0??1??(1)1tt?????在結論“”中，令，(1)1(001)ttt?????????1(1)(01)tccxx???????立得本題第(3)問的結論.簡解簡解2016年高考全國卷年高考全國卷IIIIII文科第文科第21(3)題高考題高考題(2016年高考全國卷III文科第21題)設函數(shù).()ln1fxxx???（1）

5、討論的單調性；()fx（2）證明當時，；(1)x???11lnxxx???（3）設，證明當時，.1c?(01)x?1(1)xcxc???解(1)可得.11()1(0)xfxxxx??????當時，；當時，，所以函數(shù)在上單調01x??()0fx??1x?()0fx??()fx??01遞增，在上單調遞減.??1??(2)由(1)的結論知，函數(shù)在處取得最大值，且最大值為.()fx1x?(1)0f?所以當且時，.0x?1x?ln1xx??由此得

6、，當時，，，所以可得.??1x???ln1xx??11ln1xx??11lnxxx???(3)設g(x)＝1＋(c－1)x－cx，可得g′(x)＝c－1－cxlnc.令g′(x)＝0，解得x0＝.lnc－1lnclnc當x0，g(x)單調遞增；當xx0時，g′(x)1，由(2)的結論知，10.即當x∈(0，1)時，1＋(c－1)xcx.(3)的另證另證設，可得()1(1)(1)xhccxcc?????01()()0(011)xhcxcc

7、xc????????所以是增函數(shù)，得.()hc()(1)01(1)(1)xhchcxcc??????注本題第(3)問的背景是貝努利(Bernoulli)不等式.普通高中課程標準實驗教科書《數(shù)學選修45A版不等式選講》(人民教育出版社2007年第2版)第51頁例3介紹的“貝努利(Bernoulli)不等式”的一般情形是：設，則當時，；當或時，.1t??01???(1)1tt?????0??1??(1)1tt?????在結論“”中，令，(1