江蘇 徐建軍 中點路徑長的探求

1、中點路徑長的探求中點路徑長的探求泰興市姚王初級中學(xué)徐建軍近幾年中考中有關(guān)動點新題型不斷涌現(xiàn)，而求中點的路徑長已成為命題者的新寵。若不得其法將會無所適從，不知如何應(yīng)對?，F(xiàn)以近兩年部分中考試題為例介紹解決此類問題的一些方法，供大家參考。一、中點路徑為圓弧一、中點路徑為圓弧例1（自貢）如圖1，一根木棒（AB）長為2a，斜靠在與地面（OM）垂直的墻壁（ON）上，與地面的傾斜角（∠ABO）為60，當(dāng)木棒A端沿N0向下滑動到A′，AA′=()a，B

2、端沿直線OM向右滑動到B′，則木棒中點P從P1運(yùn)動到P2所經(jīng)過的路徑長23為______.分析與解：分析與解：由于點P為Rt△AOB斜邊AB的中點，由此聯(lián)想到“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”，從而有OP=a.因為點O為定點，所以點P的路徑為圓弧，所以木棒中點P從P1運(yùn)動到P2所經(jīng)過的路徑長即為弧P1P2的長.在Rt△AOB中，OA=ABsin∠ABO=，∵P1為AB中點，∴a3P1B=P1O.∵∠ABO=60∴∠P1OB=∠P1

3、BO=60.∵AA′=()a，∴OA′=a.在Rt△A′OB′中，sin∠O232B′A′==∴∠OB′A′=45.同理可得∠P2OB′=BAOA22∠P2B′O=45.∴∠P1OP2=15.∴弧P1P2的長為=.∴木棒中點P從P1運(yùn)動到180a15??12a??P2所經(jīng)過的路徑長為.12a??總結(jié)：總結(jié)：若動點為直角三角形斜邊的中點，且直角頂點是一定點，則該中點的路徑是圓弧.只需求出圓弧所對圓心角的度數(shù)及所在圓的半徑，即可求出圓弧長即

4、中點的路徑長.二、中點路徑為線段二、中點路徑為線段例2（張家界）如圖2，已知線段AB=6，CD是AB上兩點，且AC=DB=1，P是線段CD上一動點，在AB同側(cè)分別作等邊三角形APE和等邊三角形PBF，G為線段EF的中點，點P由點C移動到點D時，G點移動的路徑長度為分析與解：分析與解：由∠EAB=∠FBA=600可聯(lián)想到等邊三角形，因而可將圖形補(bǔ)全為等邊△HAB.由于EP∥FHHE∥PF，因此四邊形HEPF為平行四邊形，所以EF與HP互相

5、平分，因而EF的中點G也是HP的中點.由于點H為定點，點P由點C移動到點D，中點G從G1移動到G2.根據(jù)三角形中位線定理可得中點G的路徑是一條平行于CD的線段，長度為CD的一半.∵G1為CH中點，G2為DH中點，∴G1G2∥CD，G1G2=CD.∵AB=6，AC=DB=1，∴CD=4.∴G1G2=2.∴G點移動的21路徑長度為2.MNP1P2PAOBAB圖1G2G1GHFEBDCAP圖20）作M1G⊥CA，垂足為G∵M(jìn)1G=4，M2G=