基于質(zhì)量損失函數(shù)的最優(yōu)過程均值和質(zhì)量投資決策

1、基于質(zhì)量損失函數(shù)的最優(yōu)過程均值和質(zhì)量投資決策張斌1一，韓之俊2，湯陽2(1。南京信息工程大學數(shù)理學院，南京210044；2南京理工大學經(jīng)濟管理學院，南京210096)摘要：文章基于不對稱田口質(zhì)量損失函數(shù)在生產(chǎn)成本基礎上考慮報廢、返修、質(zhì)量損失成本和質(zhì)量投費成本建立了綜合的成本模型，討論了最優(yōu)質(zhì)量投資決策和最優(yōu)過程均值的確定。通過數(shù)值計算。說明了所建模型對改進產(chǎn)品質(zhì)量，減少生產(chǎn)成本有顯著意義；并對各參數(shù)對曩優(yōu)結果的影響進行了分析。關鍵詞：

2、質(zhì)量損失函數(shù)：質(zhì)量投資；過程均值中圖分類號：02131文獻標識碼：A文章編號：1002—487(2008)18—0033塒過程均值選擇問題又稱最優(yōu)過程均值問題在工業(yè)工程的很多領域被廣泛關注。在實際生產(chǎn)中。過程均值有時可以調(diào)整。本文引入不對稱田口質(zhì)量損失函數(shù)，同時考慮質(zhì)量投資以減小過程變異和調(diào)整過程均值討論了最佳質(zhì)量投資決策和最優(yōu)過程均值的確定。1質(zhì)量損失函數(shù)對產(chǎn)品質(zhì)晟的傳統(tǒng)衡量標準是以是否超出所設計的規(guī)格限來判斷。從質(zhì)量損失的觀點看，產(chǎn)

3、品質(zhì)量特性值落在規(guī)格限內(nèi)的質(zhì)量損失為零超出公差范圍的質(zhì)量損失為一確定的常數(shù)。而田口玄一認為：產(chǎn)品質(zhì)量是指產(chǎn)品上市后給社會帶來的損失。給社會帶來的損失包括由于產(chǎn)品功能波動造成的損失和由于產(chǎn)品弊害項目所造成的損失。田口質(zhì)量損失函數(shù)強調(diào)質(zhì)量特性值與目標值的偏離帶來的損失即只要產(chǎn)品的質(zhì)量特性值偏離目標值，即使符合規(guī)格要求，也仍有質(zhì)量上的損失且這種損失隨偏離程度的增大呈平方遞增。田口質(zhì)量損失函數(shù)為評估產(chǎn)品質(zhì)量提供了必要的工具。然而對于望目特性，在

4、有些情況下，顧客對質(zhì)量特性值在目標值兩邊所能容忍的質(zhì)量變異程度不同即公差并非關于目標值對稱。此時，質(zhì)量損失不對稱。相應的損失函數(shù)為：，、fkl(x—m)2x≤T1【副2Ik』x—m)2T≤x‘1J如果對產(chǎn)品作100％檢驗，則質(zhì)量特性值超出上下規(guī)格限的質(zhì)量損失成本將轉化為報廢成本和返修成本，如圖l所示。相應損失函數(shù)為：工I皿r￡觀田1不對辣■局報失函tl社CLxUSL其中T為質(zhì)量特性的目標均值；Cu為返修成本、CL為報廢成本；ki(x椰(

5、i=12)表示質(zhì)量特性值在規(guī)格限內(nèi)的損失。l【；為損失系數(shù)2優(yōu)化模型的建o“本文假定所生產(chǎn)的產(chǎn)品100％檢驗檢驗過程無人為差錯。檢驗后的產(chǎn)品可能出現(xiàn)正品、廢品和返工品3種情況，其概率分別為PI、P2和P3，且滿足P，P2P乒l。正品在其質(zhì)量特性值偏離目標值的情況下，會產(chǎn)生田口質(zhì)量損失成本；廢品將產(chǎn)生報廢成本；返工品將產(chǎn)生返修成本。在進行本研究時需做如下假定：(1)過程輸出服從正態(tài)分布；(2)所生產(chǎn)的產(chǎn)品全檢，檢驗過程無人為差錯；(3)質(zhì)

6、量特性超過上規(guī)格限為不良品。小于下規(guī)格限為報廢品。不良品全部返修；(4)產(chǎn)品質(zhì)量為望目特性，且過程均值可以調(diào)整。設生產(chǎn)過程輸出服從正態(tài)分布其概率密度為：JEj‘上蚴=——e“(3)。。、／2叮r叮其中斗表示過程均值，假設可以調(diào)整，在生產(chǎn)前確定，生產(chǎn)過程中保持不變；礦為過程方差，傳統(tǒng)方法大都假定為一一個已知的確定的常數(shù)實際上cr2是一個變量。其取值可能與改進過程質(zhì)量的質(zhì)量投資有關假定兩者的關系為r7】：cr2(1)可一(叮孑町產(chǎn))一(bO

7、)(4)式中醑為當前生產(chǎn)過程的質(zhì)量變異水平，即在質(zhì)量投資為O時的方差；砰為原生產(chǎn)設備通過質(zhì)量投資所能達到的最低過程變異水平。即以O)=毗釀∞)可L2b為常數(shù)，其大小反映了質(zhì)量投資對降低過程變異的影響程度產(chǎn)品質(zhì)量總損失包括以下幾個部分：①平均質(zhì)量損失成本CI=E[L(x)】D(5)其中D是產(chǎn)品需求量。落在公差限內(nèi)的單位產(chǎn)品期望質(zhì)量損失為：嘶)】=脅母而1麗exp一錯川_k2(x唧番‰e印卜錯J出基金項目：國家自然科學基金費助項目(7057

8、2024)；江蘇省“六大人才高峰”青助項目(06D036)筑計與決策2008年第13期(總第270期)33萬方數(shù)據(jù)基于質(zhì)量損失函數(shù)的最優(yōu)過程均值和質(zhì)量投資決策張斌1氣棉之俊湯陽2(1.南京倍怠工程大學數(shù)理學院，南京21∞442，南京理工大學經(jīng)濟管理學院.南京21侃“創(chuàng)摘要:文章基于不對稱田口質(zhì)量損失函斂，在生產(chǎn)成本基礎上，考慮報廢、遠修、質(zhì)量損失成本和1黃黃投資成本，建立了綜合的成本棋愛，討論了最優(yōu)碩f:投資決策和最優(yōu)過貌均值的確定。通

9、過..f直計算.說明了所建模型對改造產(chǎn)品質(zhì)量，減少生產(chǎn)成本有顯著意義并對各參數(shù)對最優(yōu)結果的影響選衍了分析。關鍵詞:質(zhì)量損失函雄質(zhì)量投資過程均值中圖分類號:0213.1Jt獻標識碼:A文激編號:1∞26487(2008)18刊)()3302過程均債選擇問題又稱最優(yōu)過程均值問題，在丁，業(yè)工程的很多領城被廣捉關注。在實際生產(chǎn)中，過程均值布時可以調(diào)罄。本文引人不對稱田口質(zhì)量損失鵡數(shù)，同時考慮質(zhì)量投資以減小過程變界和調(diào)艘過程均值，討論了最倏質(zhì)最投

10、資決策和最優(yōu)過程均值的確寇。跚跚棚失踴撇對產(chǎn)品質(zhì)最的傳統(tǒng)衡量標準是以是否想出所設計的規(guī)格限來判斷。從質(zhì)量損失的觀點肴，產(chǎn)品質(zhì)最特性傻落在規(guī)格限內(nèi)的質(zhì)量損失為零，趟出公差范圍的質(zhì)量損失為一確定的常敬。而回口玄一認為t產(chǎn)品質(zhì)量是指產(chǎn)品上市后給社會帶來的損失。給社會帶來的損失包括由于產(chǎn)品功能波動造成的損失利由于產(chǎn)品弊害項目所造成的損失?；乜谫|(zhì)量損失函數(shù)強調(diào)質(zhì)最特性債與目標值的偏離帶來的損失，即只要產(chǎn)品的質(zhì)量特性值偏離目標值.即使符合規(guī)格要求，

11、也仍有質(zhì)量上的損失，且這種損失隨偏離程度的增大量平方遞增?；乜谫|(zhì)最損失函數(shù)為評估產(chǎn)品質(zhì)撒提供了必要的工具。然而，對于理臼特性，在有些情況下，顧客對質(zhì)量特性值在目標值兩邊所能容思的質(zhì)最變異程度不同，即公襲并非關于目標值對稱。此時，質(zhì)鍾損失不對稱。相應的損失踴數(shù)為tfk.(x叩mfxl(x)=[::...._(1)lki茸mfT:Ex如果對產(chǎn)品作1鎖)o()檢驗，則質(zhì)量特性值超出上下規(guī)格限的質(zhì)撮損失成本將轉化為報廢成本和返修成本，如圖l所示

12、。相應損失函數(shù)為:人ljLSL(SL.1不對事愧.損失畫“CLUSL其中T為質(zhì).特性的目標均值Cu為返修成本、CL為報廢成本ki你』叼2(i出1，2)表示質(zhì)最侍候值在規(guī)格限內(nèi)的損失，k為損失系數(shù)2優(yōu)化柵型的建立本文假定所生產(chǎn)的產(chǎn)品1儀脅檢驗，錢驗過程元人為差錯。檢驗后的產(chǎn)品可能出現(xiàn)正品、廢品和返工品3種情況，其概率分別為P1、民和民，且滿足P仲P汁P~loiE品在其質(zhì)最特性值偏離目標值的情況下，會產(chǎn)生回口質(zhì)量損失成本廢品將產(chǎn)生報廢成本返

13、工品將產(chǎn)生返修成本。在進行本研究時需做如下假m:(1)過程輸出版從正態(tài)分布(2)所生產(chǎn)的產(chǎn)品全栓，檢驗過程元人為差錯(3)質(zhì)量特性超過上規(guī)格限為不良品，小子下規(guī)格限為報廢品。不良品全部返修(4)產(chǎn)品質(zhì)最為組目特性，且過程均值可以調(diào)蟹。設生產(chǎn)過程輸出版從正態(tài)分布，其概礙E密度為:叫Lb拎一蘭=e飛l.rrσ(3)其中μ表示過程均值，假設可以調(diào)路，在生產(chǎn)前確定，生產(chǎn)過程中保持不變a2為過程方楚，傳統(tǒng)方法大部假定為d一個日知的確定的常數(shù)，實際

14、上d是一個變簸，其取值可能與改進過程質(zhì)量的質(zhì)量投資有關，假定閥者的關系為問:σ2(1)叫L2(時4♂)瀘(b)(4)式中σ02為當前生產(chǎn)1過程的質(zhì)最變異水平，即在質(zhì)最投資為0時的方差σLZ為原生產(chǎn)設備通過質(zhì)量投資所能達到的最低過程變異水平，即叭。1)=o：I≥o(10)該優(yōu)化模型的決策變量是過程均值和質(zhì)量投資，目標是確定最佳初始過程均值斗‘和最優(yōu)投資I’，使總成本G最小。容易證明cT對過程均值斗及質(zhì)量投資I均是凸函數(shù)，因此，G的最小值存

15、在。其求解方法很多，本文利用Matlab軟件編程計算。3數(shù)值計算某企業(yè)生產(chǎn)一種電子元件該電子元件的質(zhì)量特性為望目特性，目標值1“=10。上下規(guī)格限分別為LSL=9，USL=1l。產(chǎn)品質(zhì)量特性目前標準差為cro=o25，通過質(zhì)量改進。產(chǎn)品質(zhì)量特性標準差最小可以達到∞004。質(zhì)量特性落在規(guī)格限以外的損失為C20=10，C廬5。另外。產(chǎn)品需求量D=5000，單位產(chǎn)品生產(chǎn)成本C柏=12，質(zhì)量損失系數(shù)kl=10，k2=5，b000l，。假設過程均

16、值可以改變則可以通過尋找最優(yōu)過程均值及最佳質(zhì)量投資使生產(chǎn)總成本達到最小。目前的質(zhì)量投資I=0，如果將過程均值T10確定在目標值處，得總損失為83437。如果過程均值可以調(diào)整，則最優(yōu)過程均值為曠=lO07，總成本為81736。如果同時考慮質(zhì)量投資，則由式(4)和(10)，得最優(yōu)過程均值曠=1005，最佳質(zhì)量投資I‘=75l，總成本為78066。由此可見，如果不進行質(zhì)量投資。僅通過過程均值的調(diào)整，雖然降低了損失但是其作用是有限的，而進行適當

17、的質(zhì)量投資則可以進一步降低生產(chǎn)成本。這也提醒企業(yè)在追求利潤最大化的同時不要忘了質(zhì)量投入對改進產(chǎn)品質(zhì)量降低生產(chǎn)成本的重要作用。4更敏度分析34統(tǒng)計與決策2008年第18期(總第270期)從表1知，在k：不變的情況下，隨著k。，I【：的增大最優(yōu)質(zhì)量投資逐漸增大最優(yōu)過程均值逐漸增大?？偝杀局饾u增大；在k。，l【2不變的情況下隨著參數(shù)b的增大最優(yōu)質(zhì)量投資逐漸減小最優(yōu)過程均值逐漸減小?？偝杀局饾u減小。5結論過程均值的選擇對減小質(zhì)量損失提高產(chǎn)裹1◆

18、數(shù)對●優(yōu)結果的影響kJk2bJpCost450∞l3149980734365000l42510∞74608650O叭51610Ol6554975000l57310037632785O∞l65610037698995O00l7嘶100477558lO5O00l75l10057806685O0()26731002722148500045鵬100268鵬882000l140lO13716405000540510006646O105O00359

19、9lO057019793O0014lS10097458O740∞l474100475090840∞l53510057572584O∞3544IO036920084O0015425100366723品質(zhì)量非常重要。在有關過程均值確定的已有文獻中，大都假定過程輸出方差不變，即不考慮方差變化的影響。實際生產(chǎn)中可以通過質(zhì)量投資減小過程輸出的變異，提高產(chǎn)品質(zhì)量降低質(zhì)量損失。本文假定過程輸出服從正態(tài)分布，引入不對稱田口質(zhì)量損失函數(shù)，討論了最優(yōu)質(zhì)量投

20、資決策和過程均值的確定。由數(shù)值計算結果可以看出通過質(zhì)量投資降低過程變異和選擇最佳初始過程均值對過程改進、降低產(chǎn)品生產(chǎn)總成本有顯著意義。本文提出的基于不對稱田口損失函數(shù)最佳過程均值和質(zhì)量投資決策問題的研究說明了初始過程均值選擇的重要性。同時也證實了“低估質(zhì)量投入的作用最終將導致更高的質(zhì)量損失”。參考文獻：【1]Springer，CHAMethodforDeterminingtheMostEconomicPo_sitionofaProces

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25、單位產(chǎn)品報廢成本，P2(1)表示質(zhì)黛投資為I時廢品，薩比例PiI)=f:百七礦葉怯tl出(3)返修成本一冊。4蛐mpumDHFUC姐為單位產(chǎn)品返修成本，P3(1)表示質(zhì)量投資為I時返修比例r“___1甲魚蘭時=I.l_PAEjmtUZ而叫2州j也(4)生產(chǎn)成本C4=~一旦一叩lPiI)C崎為單位產(chǎn)品生產(chǎn)成本。因此，在不考慮持有成本的情況下，產(chǎn)品期續(xù)總成本為:C“=cC:rtC3C.I=E[~x)]DPiI)C:Il，~ITP3仰C一旦…

26、叫一旦…1(9)lPiI)到lPiI)峭lPa(I)于是，有如下優(yōu)化模型:MinC嚴C，C:rtC汁C汁I8.t.σ過嗎啡♂(σ02(JL~瀘(10)bOIJl:O.該優(yōu)化模型的決策變最是過程均值和質(zhì)量投資，目標是確定最佳初始過程均值μ和最優(yōu)投資1，使總成本G最小。容易證明G對過程均值μ及質(zhì)量投資I均是凸函數(shù)，因此，cr的最小值存在。其求解方法很多，本文利用Matlab軟件編程計算。3融恤忡篝某企業(yè)生產(chǎn)…種電子元件，該電子元件的質(zhì)量特性

27、為望自特性，目標值T=10，上下規(guī)楠限分別為LSL=9，USL=llo產(chǎn)品質(zhì)量特性目前標準差為σ儼0.25，通過質(zhì)量改進，產(chǎn)品質(zhì)量將性標準差最小可以達到σ1.=0.040質(zhì)最特性落夜規(guī)格限以外的損失為Cx嚴IO，C:rr=5。另外，產(chǎn)品需求量D=5創(chuàng)則，單位產(chǎn)品生產(chǎn)成本C.=1.2，質(zhì)量損失系數(shù)k，=IO，kz=5，b=O.∞100假設過程均值可以改變，則可以通過尋找毅優(yōu)過程均值及最佳質(zhì)量投資.使生產(chǎn)總成本達到最小。目前的質(zhì)量投資1=0

28、，如果將過程均值T=IO確定在目標值處，得總損失為8343.70如果過程均值可以調(diào)艘，則最優(yōu)過程均債為μ=10.σ7，總成本為8173.6。如果同時考慮質(zhì)最投資，則由式(4)和(10)，得最優(yōu)過程均值μ=10.05，段佳質(zhì)撤投資1=751，總成本為7806.60由此可見，如果不進行質(zhì)最投資，僅通過過程均值的調(diào)籍，.!i然降低了損失，但是其作用是有限的，而進行適當?shù)馁|(zhì)鍾投資，則可以進一步降低生產(chǎn)成本。這也提醒企業(yè)在追求利潤最大化的同時不要

29、忘了質(zhì)最投入對改進產(chǎn)品質(zhì)黛.降低生產(chǎn)成本的案要作用。4貝敬擅份櫥M統(tǒng)計與決策2倪鴻年第18期(總第270期)111做對績優(yōu)筒臟的影響(6)從表l知，在kz不變的情況下，隨著k，1k2的增大，最優(yōu)質(zhì)最投資逐漸增大，最優(yōu)過程均值逐漸增大，總成本逐漸增大在k，lkz不變的情況下，隨著參數(shù)b的增大，最優(yōu)質(zhì)最投資逐漸減小，最優(yōu)過程均值逐漸減小，總成本逐漸減小。kkbμC帽45O.∞13149.9807343.655O.∞l42510.∞74ωs6

30、5O.∞1516O.oI6554.975O.ωl5730.037632.785O.∞16560.037698.995O.∞170610.047755.810I!!O.∞l7510.057806.685O.α267310.027221.485O.∞450810.ω6808.8820.001400.137164.055O.∞540510.∞6ω6.0105O.∞359910.057019.7930.00141810.ω7458.074O.∞

31、l47410.0475ω.084O.∞l53510.057572.5s4O.∞3S4410.03ω20.0s4O.∞542510.036672.3(ηs描論(8)過程均值的選擇對減小質(zhì)量損失，提高產(chǎn)品質(zhì)量非常重要。在有關過程均值確定的已有文獻中，大都假定過程輸出方差不變，即不考慮方差變化的影響。實際生產(chǎn)中，可以通過質(zhì)量投資減小過程輸出的變舜，提高產(chǎn)品質(zhì)量，降低質(zhì)最損失。本文假定過程輸出服從正態(tài)分布，引入不對稱朋口質(zhì)鍾損失函數(shù)，討論了最優(yōu)

32、質(zhì)最投資決策和過程均值的確定。由數(shù)值計算結果可以看出，通過質(zhì)黛投資降低過程變異和選擇最佳初始過程均值，對過程改進、降低產(chǎn)品生產(chǎn)總成本有顯著意義。本文提出的基于不對稱陽口損失函數(shù)最佳過穩(wěn)均值和質(zhì)量投資決策問題的研究說明了初始過程均值選擇的重要性。同時，也證實了“低估質(zhì)最投入的作用最終將導致更高的質(zhì)擻損失“。參考文由:[l]SpringerC.H.AMe仙。dfDetenniningtheMω，tEconomicPirsitionofaPI

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