復變函數(shù)課件ch7 12

1、第六章　共形映射,第一節(jié) 共形映射的概念,第二節(jié) 分式線性映射,第三節(jié) 幾個初等函數(shù)所構成的映射,1. 導數(shù)的幾何意義 2. 共形映射的概念,,第一節(jié) 共形映射的概念,2024/4/2,3,定理7.1 (保域定理)設w=f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析且不恒為常數(shù),則D的象G=f(D)也是一個區(qū)域.,證 首先證明G的每一點都是內(nèi)點.,設w0∈G,則有一點z0∈D,使w0=f(z0).,要證w0是G的內(nèi)點,只須證明w*與w0充分接近時,

2、w*亦屬于G.,即當w*與w0充分接近時,方程w*=f(z)在D內(nèi)有解.,為此,考察 f(z)-w*=(f(z)-w0)+(w0-w*,),由解析函數(shù)零點的孤立性,必有以z0為心的某個圓C:|z-z0|=R,,顯然 f(z0)-w0=0,,f(z)-w0在C上及C的內(nèi)部(除z0外),C及C的內(nèi)部全含于D,使得,均不為零.因而在C上:,7.1.1解析變換的保域性,內(nèi)的點w*及在C上的點z有,對在鄰域,2024/4/2,4,因此根據(jù)儒歇定

3、理,在C的內(nèi)部,與f(z)-w0有相同零點的個數(shù).于是w*=f(z)在D內(nèi)有解.,由于D是區(qū)域,可在D內(nèi)部取一條聯(lián)結z1,z2的折線C:z=z(t) [t1≤t≤t2,z(t1)=z1,z(t2)=z2].于是：,就是聯(lián)結w1,w2的并且完全含于D的一條曲線.,從而,參照柯西積分定理的古莎證明第三步,可以找到,其次,要證明G中任意兩點w1=f(z1),w2=f(z2)均可以用一條完全含于G的折線聯(lián)結起來.（連通性）,一條連接w1,w2,

4、內(nèi)接于? 且完全含于G的折線?1,總結以上兩點,即知G=f(D)是區(qū)域.,2024/4/2,5,證 因f(z)在區(qū)域D內(nèi)單葉,必f(z)在D內(nèi)不恒為常數(shù).,定理7.2 設w=f(z)在區(qū)域D內(nèi)單葉解析,則D的象G=f(D)也是一個區(qū)域.,注 定理7.1可以推廣成這樣的形式:“w=f(z)在擴充z平面的區(qū)域D內(nèi)除可能有極點外處處解析（即為亞純函數(shù)）,且不恒為常數(shù),則D的象G=f(D)為擴充z平面上的區(qū)域.,注 滿足定理7.2和7.3

5、的條件的解析變換w=f(z)將z0的一個充分小的鄰域內(nèi)變成w0=f(z0)的一個曲邊鄰域.,定理7.3 設函數(shù)w=f(z)在點z0解析,且f ?(z0)≠0,則f(z)在z0的一個鄰域內(nèi)單葉解析.,P26 光滑曲線的定義,7.1.2、解析函數(shù)導數(shù)的幾何意義,,兩曲線的夾角,正向: t 增大時, 點 z 移動的方向.,如果規(guī)定:,平面內(nèi)的有向連續(xù)曲線C可表示為:,,兩曲線的夾角,,當 p,,,方向與 C 一致.,,,,兩曲線的夾角,處

6、切線的正向, 則有,x 軸正向之間的夾角.,.,,兩曲線的夾角,之間的夾角.,,,.,兩曲線的夾角,正向: t 增大的方向;,,.,解析函數(shù)導數(shù)的幾何意義,其參數(shù)方程為,正向: t 增大的方向.,,.,,.,,解析函數(shù)導數(shù)的幾何意義,,,或,,,,,解析函數(shù)導數(shù)的幾何意義,,,,說明: 轉動角的大小與方向跟曲線C的形狀無關.,映射 w=f(z) 具有轉動角的不變性.,,.,,,,.,解析函數(shù)導數(shù)的幾何意義,則有,結論:,的夾角在其大小和

7、方向上都等同于經(jīng)過,方向不變的性質, 此性質稱為保角性.,,,解析函數(shù)導數(shù)的幾何意義,,,,,,,,,,,,結論:,方向無關. 所以這種映射又具有伸縮率的不變性.,綜上所述, 有,質: (1) 保角性; (2) 伸縮率不變性.,定理,解,反之放大.,經(jīng)點z0的兩條有向曲線C1,C2的切線方向所構成的角稱為兩曲線在該點的夾角.,,,O,x,(z),,,z0,,,,,定義7.1 若函數(shù)w=f(z)在點 的鄰域內(nèi)有定義,且在點

8、具有:(1)伸縮率不變性;(2)過 的任意兩曲線的夾角在變換w=f(z)下,既保持大小,又,z0,z0,z0,保持方向;則稱函數(shù)w=f(z)在點 是保角的,或稱w=f(z)在點 是保角變換.,如果w=f(z)在區(qū)域D內(nèi)處處都是保角的，則稱w=f(z)在區(qū)域D內(nèi)是保角的，或稱w=f(z)在區(qū)域D內(nèi)是保角變換.,z0,z0,保角變換,轉動角的大小與方向跟曲線C的形狀與方向無關. 所以這種映射具

9、有轉動角的不變性.,通過z0點的可能的曲線有無限多條, 其中的每一條都具有這樣的性質, 即映射到w平面的曲線在w0點都轉動了一個角度Arg f '(z0).,相交于點z0的任何兩條曲線C1與C2之間的夾角,在其大小和方向上都等同于經(jīng)w=f (z)映射后C1與C2對應的曲線G1與G2之間的夾角,所以這種映射具有保持兩曲線間夾角與方向不變的性質.這種性質稱為保角性。,y,定理7.4 如w=f(z)在區(qū)域 D內(nèi)解析,則它在導數(shù)不為零的

10、點處是保角的.,推論7.5 如w=f(z)在區(qū)域D內(nèi)單葉解析,則稱w=f(z)在區(qū)域D內(nèi)是保角的.,總結上述討論，我們有以下結論：,例1求w= f(z)=z3 在 z=0, z=i 處的導數(shù)值,并說明幾何意義。,解 w= f(z)=z3在全平面解析， 。,在z=i 處具有伸縮率不變和保角性。,伸縮率為3，旋轉角為 。,定義7.2 如果w=f(z)在區(qū)域D內(nèi)是單葉且保角的,則稱此變換w=f(z)

11、在D內(nèi)是共形的,也稱它為D內(nèi)的共形映射.,7.1.3 單葉解析變換的共形性,定理7.6 設w=f(z)在區(qū)域D內(nèi)單葉解析.則 (1)w=f(z)將D共形映射成區(qū)域G=f(D). (2)反函數(shù) 在區(qū)域G內(nèi)單葉解析,且,證 (1)由推論7.2,G是區(qū)域,由推論7.5及定義7.2,w=f(z)將D共形映射成G.,(2)由定理6.11, ,又

12、因w=f(z)是D到G的單葉滿變換,因而是D到G的一一變換.,于是,當 時, ,即反函數(shù) 在區(qū)域G內(nèi)單葉.故,由假設f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在區(qū)域D內(nèi)解析,即在D內(nèi)滿足C.-R.方程ux=vy,uy=-vx.故,由數(shù)學分析中隱函數(shù)存在定理,存在兩個函數(shù)x=x(u,v),y=y(u,v)在點 及其一個鄰域

13、 內(nèi)為連續(xù)，即在鄰域 中,當 時,必有,故,即,在D內(nèi)作以z0為其一個頂點的小三角形, 在映射下, 得到一個以w0為其一個頂點的小曲邊三角形, 這兩個三角形對應邊長之比近似為|f '(z0)|, 有一個角相等, 則這兩個三角形近似相似.,定理的幾何意義.,1. 分式線性映射 2. 分式線性映射的性質 3. 舉例,,第二節(jié) 分式線性映射,2.1 分式線性映射,,~~~~~~~~~~,結論,①w=L(z)

14、將?C??C?,②w=L(z)在擴充z平面上是保域的,分式線性映射(1)總可以分解成下述三種特殊映射的復合：,事實上，,~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~,~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~,定義,~~~~~~~~,,規(guī)定無窮遠點的對稱點為圓心o,~~~~~~~~~~~~~~~~~,,,,2.2 分式線性映射的性質,（詳見P290）,~~~~~~~~~,定理1,~~~~~~~,定理2,定義7.

15、5 關于圓周 對稱是指 都在過圓心a的同一條射線上,且滿足此外,還規(guī)定圓心a與點∞關于 為對稱的。,(3). 保對稱點性,定理7.11 擴充z平面上兩點 關于圓周 對稱的充要條件是,通過 的任意圓周都與 正交.,定理7.12 設擴充z平面上兩點 關于圓周 對稱,w=L(z)為一線性變換,則

16、 兩點關于圓周 對稱.,證 設 是擴充w平面上經(jīng)過 的任意圓周.此時,必然存在一個圓周 ,它經(jīng)過 ,并使 ,因為 關于 對稱,故由定理7.11, 與 亦正交.這樣,再由定理7.11即知 關于 對稱.,當四點中有一點為∞時,應將包含此點的項用1代替.

17、例如z1= ∞時,即有亦即先視z1為有限,再令 取極限而得.,定義7.4 擴充平面上順序的四個相異點z1,z2,z3,z4構成下面的量,稱為它們的交比,記為(z1,z2,z3,z4):,(4). 保交比性,定理7.8 在線性變換下,四點的交比不變.,證 設,則,因此,定理7.9 設線性變換將擴充z平面上三個相異點z1,z2,z3指定為w1,w2,w3,則此分式線性變換換就被唯一確定,并且可以寫成