偏微分方程幻燈片

1、基于偏微分方程（PDE）的圖像去噪,2011-09-06,目錄,一、偏微分方程圖像處理發(fā)展過程二、偏微分方程圖像處理數(shù)學基礎(chǔ)三、偏微分方程圖像處理的優(yōu)缺點及應(yīng)用結(jié)構(gòu)四、偏微分方程去噪問題的研究 4.1 各向同性擴散(熱擴散模型) 4.2 P-M非線性擴散五、偏微分方程其他方面的簡略介紹,一、偏微分方程圖像處理發(fā)展過程,在過去幾十年，計算機可視化和圖像分析領(lǐng)域中以偏微分方程為基礎(chǔ)的模型在圖像處理研究領(lǐng)域占

2、據(jù)著重要地位。,使用偏微分方程處理圖像的思想可以追溯到Gabor和Jain。但是這種方法真正建立起來是Koenderind和Witkin的研究工作開始的，他們引入了尺度空間(Scale Space)的概念，尺度空間把一組圖像同時在多個尺度上表述。他們的貢獻在很大程度上構(gòu)成了偏微分方程圖像處理理論的基礎(chǔ)。在他們的研究工作中，圖像的多尺度表示是通過高斯平滑來獲得的，這等價于利用經(jīng)典的熱傳導方程來演化圖像得到一個各向同性擴散流。,在80年

3、代末，Hummel提出熱傳導方程并不是唯一可以產(chǎn)生尺度空間的拋物方程，并提出構(gòu)成尺度空間的準則:只要滿足最大原則的演化方程就可以定義一個尺度空間。Perona和Malik提出各向異性擴散方程在這個領(lǐng)域最具有影響力。他們提出用一個保持邊緣的有選擇性的擴散來替換Gaussian擴散。他們的工作引發(fā)了很多理論和實際問題的研究。,Osher和他的研究小組提出了幾何制約的偏微分方程，其中最著名的是曲率流。曲率流是“純粹的”各向異性擴散模型，

4、它使圖像灰度值的擴散只發(fā)生在圖像梯度的正交方向上，在保持圖像輪廓精確位置和清晰的同時沿輪廓進行平滑去噪。,Osher和Rudin關(guān)于激波的研究以及關(guān)于TV模型的研究工作更突出了偏微分方程在圖像處理中的重要性，這些方法成功之處在于將圖像視為由跳躍邊緣連接而成的分片光滑函數(shù)(曲面)，從而與某種偏微分方程的分片光滑解聯(lián)系起來。,二、偏微分方程圖像處理數(shù)學基礎(chǔ),在基于偏微分方程的圖象處理中，對圖象模型有連續(xù)與可微的要求，需要建立圖象的連續(xù)模型。

5、 只有在空間定義域和灰度值上都離散化了的圖象才能被計算機處理，這種離散化圖象稱為數(shù)字圖象，空間離散化稱為空間采樣，灰度離散化稱為灰度量化。,目錄,離散圖象的模型用u: [0,255]表示，這里x=(x,y)是離散的，[0, 255]表量化的256個灰度級。盡管圖象在計算機中以上述離散形式存儲，但由于在空間采樣與灰度量化上這種離散化都足夠精細，從而可以用連續(xù)(或分段連續(xù))的數(shù)學函數(shù)近似。,一幅數(shù)字圖像在計算機中是

6、以離散的形式存儲的，但我們可以認為圖像的離散化是 足夠細的，從而可以利用一個連續(xù)的數(shù)學函數(shù)來近似描述.對于一幅灰度圖像，我們可以采用下面的表示來近似: 其中 是圖像的定義域。,,圖像在每一像素處的梯度利用其在:方向和y方向的偏導來描述：梯度模(梯度向量的范數(shù))為,,在圖像處理中另外一個重要的幾何量是方向?qū)?shù)，任給一個方向向量，圖像在該像素處沿此方向的導數(shù)為圖像的梯度與此方向向量的內(nèi)積:,三、偏微分方程圖像處理的優(yōu)

7、缺點及應(yīng)用結(jié)構(gòu),用偏微分方程進行圖像處理的基本思想是利用偏微分方程把圖像變形，然后求解該方程，這時方程的解就是我們所期望的結(jié)果。,目錄,優(yōu)點,使用偏微分方程進行圖像處理有很多優(yōu)點。使用偏微分方程可以用廣義上連續(xù)的二維函數(shù)來對圖像進行建模，從而對圖像進行求導求積分等操作，這就把圖像處理問題規(guī)范化，使問題的描述在形式上變得簡單。,,PDE給出了連續(xù)域上圖象的分析模型。模型與數(shù)字圖象的網(wǎng)格(對應(yīng)于圖象像素)大小無關(guān)，當假定網(wǎng)格網(wǎng)孔大小趨于零

8、時，離散濾波器在PDE中可理解為連續(xù)微分算子的近似，從而使得網(wǎng)格的劃分與局部非線性濾波分析易于實現(xiàn)，簡化了圖象的分析體系。,,另一方面，當圖象表示為連續(xù)信號，PDE可視為具有微小子鄰域局部濾波器的迭代，這種在PDE框架內(nèi)的解釋允許將現(xiàn)有的濾波方法進行合并與分類，更加容易理解其對應(yīng)的物理意義，并可直觀地設(shè)計出新的濾波方法。進一步，PDE使得圖象處理的合成非常自然。,例如給定兩個不同的圖象處理方案:,可以輕易合成為:,這樣若算子F1和F2分

9、別為光滑與邊緣保護算子，則新的合成方案將同時具有去噪與保護邊緣的圖象恢復(fù)效果。,在計算方面，可以很好的利用現(xiàn)在已有的一些非常完備的數(shù)值分析和偏微分方程計算方法來進行運算,為PDE的數(shù)值計算給予了極大的幫助，它能從已有的有關(guān)數(shù)值分析和計算偏微分方程的許多文獻中大大獲益。,,最后，使用偏微分方程的突出優(yōu)點是可以使圖像處理和分析的速度、準確性和穩(wěn)定性都有很大提高。PDE能獲得較好的圖象處理效果，而且算法解的存在性，唯一性與穩(wěn)定性都可以在PDE

10、獨特的分析理論框架內(nèi)得到證明。,四、偏微分方程去噪問題的研究,基于PDE的圖像處理方法在圖像降噪領(lǐng)域得到了廣泛的重視，因為它在平滑噪聲的同時，可以使得圖像的細節(jié)，如邊緣和紋理得到保護。,目錄,,源于約束最優(yōu)化、量最小化和變分方法的PDE方法的基本思想是將所研究問題歸結(jié)為一個泛函極小問題；然后應(yīng)用變分方法導出一個或一組偏微分方程；最后用數(shù)值計算方法求解此偏微分方程，得到所要的數(shù)值解，這個數(shù)值解就是一幅恢復(fù)圖像。,,從高斯濾波引入的，理

11、論研究和數(shù)值運算均表明，大部分線性濾波算子的極限都是一個微分算子。它是一個熱傳導方程的解。它可以視為一個各向同性均勻的熱擴散過程。,,一個自然的想法就是考慮利用圖像結(jié)構(gòu)的先驗信息，減少在邊緣處的擴散以在去噪的同時更好地保持邊緣。一個簡單的思路是將梯度算子作為邊緣檢測算子，來控制擴散的速度。,,Perona和Malik就是沿著這個方向，提出了各向異性的擴散方法，此后這個方法得到了廣泛的關(guān)注。針對擴散模型和其數(shù)值求解方面都有很大的發(fā)展

12、。1992年Catte提出了選擇擴散模型, Alvarez提出了退化擴散模型。1996年Weikert進一步研究了非線性各向異性擴散方程，這種方法把擴散系數(shù)取為一個矩陣(即一個二維張量)，可以有效去除邊緣噪聲，進一步提升了去噪能力。,,2000年You Yu-Li和M.Kaveh提出了用于圖像去噪的四階偏微分方程該模型可以降低圖像平坦區(qū)域的階梯效應(yīng)。2002年Guy Gilboa等人提出選取不定的擴散張量，打破了以往擴散模型非負的

13、要求，通過改變其符號實現(xiàn)自適應(yīng)的FAB(正倒向)擴散。2004年Guy Gilboa又提出了復(fù)擴散模型，把擴散模型引入到復(fù)域上,,現(xiàn)在基于偏微分方程的圖像去噪正向著更復(fù)雜的方向發(fā)展，與數(shù)學形態(tài)學、小波變換等相結(jié)合的復(fù)合去噪方法成為一個熱門研究方向。,偏微分方程是從運動的觀點來處理圖像的，對于圖像去噪的過程，我們可以用偏微分方程予以表達。用uo:R2--->R表示一幅灰度圖像，灰度值為u(x,y)。引入時間因子t，則對圖像的處理以

14、偏微分方程表示可寫為:,其中u(x, y; t) : {0, T} R2? R為變化過程中的圖像，F(xiàn):R2->R表示某中給定的算法通常依賴于圖像及其圖像空間上一、二階導數(shù)， =0為絕熱條件，保證擴散僅在圖像邊界內(nèi)進行。這是一個以uo為初始條件的發(fā)展方程，偏微分方程的解試u(x, y, t)即給出了迭代t次時的圖像。在得到滿意的圖像時即停止迭代,這就是偏微分方程表達的圖像處理過程。,各向同性擴散(熱擴散模型),偏微分方程

15、起源于熱傳導方程的初始值問題。設(shè)初始灰度圖像為u(x, y, 0) , u(x, y, t)為在時間t時的平滑圖像。 則圖像的熱傳導平滑方程為:,各向同性擴散(熱擴散模型),式中△u(x, y, t)為圖像的拉普拉斯算子。方程的解為u(x, y, t) = G * u(x, y, 0) ,即不同尺度的高斯濾波器與初始圖像的卷積。其中,,各向同性擴散沒有考慮圖像的空間位置，因此在去噪過程中，造成了圖像邊界的模糊。各向同性擴散是用高

16、斯卷積核來平滑去噪。滿足下面的原則:因果性:粗糟尺度上的特征必然對應(yīng)著精細尺度上的特征，也就是當尺度有小變大時，不產(chǎn)生新的細節(jié)特征。定位特性:在不同的尺度下，圖像特征的空間位置變化情況為定位特性。熱方程在大尺度上所保留下來的圖像特征，其空間位置會展寬且發(fā)生漂移。,P-M非線性擴散,高斯熱傳導濾波造成邊緣模糊主要是因為熱擴散方程在圖像各個位置上的擴散程度是一致的，并不區(qū)分是噪聲還是圖像特征。Charbonnier 提出如果利用

17、 。作為特征檢測算子，在 較大的區(qū)域減少擴散就可以使特征得到更多的保護。,,他提出如下的擴散系數(shù):,其中，k>0用于判斷特征，相應(yīng)的擴散方程為:,,在此基礎(chǔ)上，Perona和Malik提出了他們著名的P-M方法：其中 或,,區(qū)域的內(nèi)部，即圖像的梯度模 比較小時，此時函數(shù)c 1，擴散方程近似于熱擴散過程，具有各向同性的特點

18、。在圖像的邊界或細節(jié)處，即梯度模 較大的像素處，擴散系數(shù)c(s) -> 0，從而邊界特征被保持。,,在局部坐標意義下我們可以更加直觀的從幾何意義上分析其處理效果。 設(shè) 代表圖像在某像素處的梯度方向， 代表與梯度垂直的方向，那么上述擴散方程可以在由 和 張成的局部坐標系下表示為:,,對于PM擴散模型，在圖像的平坦區(qū)域， 進行各項同性

19、擴散；在圖像的邊界或紋理等梯度比較大的像素處， 此時圖像沿著與幾乎與梯度垂直的方向進行擴散，從而在去噪的同時較好的保持了圖像的特征信息。,Pernoa和Malik的方法雖然在去噪應(yīng)用中有良好的表現(xiàn)，但是在理論上這個模型存在逆向擴散，是一個病態(tài)方程。這種逆向熱擴散雖然能在一定條件下增強圖像邊緣的強度，取得較好的去噪效果，但是該方程本質(zhì)上是不穩(wěn)定的，不適當?shù)膮?shù)設(shè)置可能導致方程產(chǎn)生完全不同的結(jié)

20、果。,,如果圖像存在噪聲，例如椒鹽噪聲，則在噪聲點(x,y）約處，圖像的梯度 可能非常大，此時擴散系數(shù)c(x, y,t)非常小，從而將這些噪聲點保留下來，降低了去噪性能。,,上述擴散方程是病態(tài)的，同一個初始條件可以產(chǎn)生多個解.實際上，為了保證解的存在性和唯一性，必須要求C(s)為非降函數(shù).如果此條件不滿足，則此過程不穩(wěn)定。,改進,Catte 等通過對梯度模進行正則化實現(xiàn)了穩(wěn)定的Pernoa-Malik模型。

21、Alvarez, dons等將平均曲率流引入到PM模型中。北京大學的石青云教授和微軟亞洲研究院的林宙辰博士(as)提出了一種能去噪和保持真實感的各向異性擴散方程，它還能保持圖像中有意義的較強的尖峰和窄邊緣。,,國防科技大學的謝美華等從偏微分方程去噪模型出發(fā) ，論述了噪聲抑制的原理?？紤]到傳統(tǒng)的各向異性擴散模型無法正確的對邊緣定向，提出了一種基于邊緣定向增強的各向異性擴散去噪方法，首先利用基于非線性光滑算子的邊緣定向算子對邊緣定向然