成人高考數(shù)學(xué)第4部分-平面解析幾何

1、第一章 平面向量,1.向量：有方向又有大小的量；,標(biāo)量：只有大小，沒有方向的量。,長度、體積、重量、溫度、時間……,位移、力、速度、加速度……,2.向量的表示方法：,①小寫的英文字母上加箭頭來表示，如 ，讀作向量a ；,③幾何圖形：用有箭頭的線段來表示；,,3.向量的模：,4.零向量：,規(guī)定模為零的向量叫作零向量；記作,零向量的方向是不確定的！,A,B,5.向量相等：,如果向量 和 的模相等且方向相同，那么這兩個向

2、量叫作相等的向量，,記作,,,規(guī)定：零向量都是相等的。,6.負(fù)向量：,如果向量 和 的模相等且方向相反，那么把向量 叫作向量 的負(fù)向量，,記作,7.平行向量：,如果向量 和 方向相同或相反，那么這兩個向量叫作平行向量(共線向量),記作,可根據(jù)需要確定其方向，因此 可看作與任意向量平行,兩個平行向量的加法：,方向相同：模相加，方向與原來兩個向量的方向相同。,方向相反：模為兩個向量模之差的絕對值，

3、 方向與模較大的向量相同。,,,,,,,,,兩個不平行的非零向量的加法：,以O(shè)為起點(diǎn)，作,以 為鄰邊作平行四邊形OACB,則平行四邊形的對角線所表示的向量,就叫做向量 和 的和，記作,求向量和的運(yùn)算，叫做向量的加法.,向量加法的平行四邊形法則：,兩個不平行的非零向量的和：,以O(shè)為起點(diǎn)，作,則在三角形OAC中向量,且,向量加法的三角形法則：,,兩個不平行的

4、非零向量的加法：,三角形法則,平行四邊形法則,向量加法的運(yùn)算律：,,,如果 ， 是同一平面內(nèi)的兩個不平行向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量 ,有且只有一對實(shí)數(shù) ，使 。,平面向量分解定理:,我們把不平行的向量 叫做這一個平面內(nèi)所有向量的一組基。,,A,B,根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式可知：,,C,方向與 x 軸和 y 軸正方向相同的兩個單位向量叫作基本單位向

5、量，記為 .,,,,,C,如何用 來表示向量 ？,,,M,N,,,,,將有序?qū)崝?shù)對 稱為向量 的坐標(biāo)，記為,,點(diǎn)C,,位置向量,,向量,向量的正交分解,,,向量的坐標(biāo)運(yùn)算,特別地，零向量：,向量 的負(fù)向量：,且有,向量 的模：,向量的坐標(biāo)運(yùn)算,定義實(shí)數(shù) 與向量 的乘積是一個向量，記作,對 的模和方向作如下規(guī)定：,(1),當(dāng)

6、 時， 與 的方向相同； 當(dāng) 時， 與 的方向相反； 當(dāng) 時， 為零向量。,規(guī)定：任意實(shí)數(shù) 與零向量的乘積為零向量。,實(shí)數(shù)與向量乘積的運(yùn)算律：,任給平面內(nèi)的兩個非零向量,,,將它們的起點(diǎn)移到同一點(diǎn)O,作,,,O,B,A,則射線OA，OB的夾角 叫做向量與向量 的夾角。,,的取值范圍,向量

7、 和向量 方向相同,向量 和向量 方向相反,向量 和向量 垂直，記,向量的夾角：,向量的數(shù)量積,如果兩個非零向量 的夾角為,那么我們把 叫作向量 與向量 的數(shù)量積（或內(nèi)積）,記作,,符號為 不能寫為,數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)：,規(guī)定：,把 叫做向量 在向量 的方向上的投影。,因此，數(shù)量積

8、 的幾何意義是：,兩個向量 、 的數(shù)量積是其中的一個向量 的模與另一個向量 在向量 的方向上的投影 的乘積。,根據(jù)向量的數(shù)量積的定義，數(shù)量積的運(yùn)算滿足下列性質(zhì)：,對于兩個非零向量 與 有：,任給平面內(nèi)的兩個向量 其數(shù)量積為,兩個向量的數(shù)量積等于它們對應(yīng)坐標(biāo)的乘積之和,,第二章 直線,直線的傾角,,,關(guān)鍵詞：,,直線的斜率,當(dāng) 時， 叫做

9、直線 的斜率，通常用 來表示,當(dāng) 時，直線 的斜率不存在,定義：,,不存在,,數(shù)形結(jié)合 分析討論,＞,＜,,×,×,×,,0,,,范例應(yīng)用,,,,,,返回,當(dāng) 的方向?yàn)橹本€ l 的向下的方向,,練習(xí)3：求直線的斜率和傾角,,,例2 已知直線 經(jīng)過兩點(diǎn) ， 求 的斜率 和傾角,,,轉(zhuǎn)化化

10、歸，推導(dǎo)公式,問題：1、已知直線上的兩個點(diǎn)， 如何求出斜率的公式 ？,2、兩個點(diǎn)的坐標(biāo) 有何限制？,經(jīng)過直線上兩個點(diǎn) 的斜率公式為,練習(xí)4：,解：（1）,,已知直線經(jīng)過兩點(diǎn) ，求直線的斜率和傾角,,,直線方程的幾種形式,,已知直線l 經(jīng)過已知點(diǎn)P0（x0，y0），并且它的斜率是k求直線l

11、 的方程。,,X,Y,l,●,P0,由直線上一點(diǎn)和直線的斜率確定的直線方程，叫直線的點(diǎn)斜式方程。,可變形為,,∴,,,應(yīng) 用,代入點(diǎn)斜式得,y－3 = 1·（x + 2）,,°,P,代入點(diǎn)斜式，得,y - 5 = 0（x-0）即y=5,,5,,例1：一條直線經(jīng)過點(diǎn)P（-2，3），傾斜角α= ，求這條直線的方程，并畫出圖形。,解：這條直線經(jīng)過點(diǎn)P（-2，3），

12、 斜率是 k=tan45 =1,例2：一條直線經(jīng)過點(diǎn)A（0，5），傾斜角為 ，求這條直線的點(diǎn)斜式方程。,解: 這條直線經(jīng)過點(diǎn)A（0，5） 斜率是k=tan =0,（ 2 ） 如果直線l 過P0且平行于Y軸，此時它的傾斜角是90o，而它的斜率不存在，它的方程不能用點(diǎn)斜式表示，但這時直線上任一點(diǎn)的橫坐標(biāo)x都等于P0的橫坐標(biāo)所以方程為x=x0,（ 1 ） 如直線l 過P0且平行于X軸，則它的

13、斜率k=0，由點(diǎn)斜式知方程為y=y0,,,O,X,Y,,°,P0(x0, y0),,,,,,,,,,,,,,y=y0,x=x0,已知直線l 的斜率是k，過點(diǎn)p（0，b），求直線l 方程。,代入點(diǎn)斜式方程，得l 的直線方程：y - b =k （ x - 0）,即 y = k x + b,⑴斜截式方程與點(diǎn)斜式方程關(guān)系。,稱為直線的斜截式方程,(2)k，b的幾何意義：,例3：斜率是5，在y軸上

14、的截距是-4的直線方程。,解：由已知得k =5， b= - 4，代入斜截式方程,y= 5x + （- 4）,,k為直線l 的斜率， b為直線l 在y 軸上的截距.,1、過點(diǎn)（3，2），斜率為2；,2、過點(diǎn)（0，2），傾斜角為60o；,3、過點(diǎn)（-1，4），與y軸平行的直線方程；,4、過點(diǎn)（8，-5），與x軸平行的直線方程；,y-2=2(x-3),x= -1,y= -5,5、斜率是5，在y軸上的截距是-2；,6、傾斜角是135o ，

15、在y軸上的截距是5。,y=5x-2,y= -x+5,求下列直線l的方程,例4：已知直線l 過A（3，-5）和B（-2，5），求直線l 的點(diǎn)斜式方程,解：（ 情形1）,將A（3，-5），k=-2代入點(diǎn)斜式，得,y－(－5) =－2 ( x－3 ),∵直線l 過點(diǎn)A（3，-5）和B（-2，5）,（情形2）,∵直線l 過點(diǎn)A（3，-5）和B（-2，5）,將B（-2，5），k=-2代入點(diǎn)斜式，得,y－5 =－2 [x-(-2) ],例5：

16、已知直線l 過A（0，-1）和B（2，0），求直線l 的點(diǎn)斜式方程.,∵直線l 過點(diǎn)A（0，-1）和B（2，0）,將A（0，-1），k= 代入點(diǎn)斜式，得,y－(－1) = ( x－0 ),解：,·,·,,,已知直線l 經(jīng)過已知點(diǎn)P1（x1，y1），P2（x2，y2）求直線l 的方程。,,X,Y,l,●,P1,由直線上兩點(diǎn)確定的直線方程，叫直線的兩點(diǎn)式式方程。,,●,P2,,已知直線l 過兩點(diǎn)

17、 ，你能寫出直線l 的方程嗎？,整理可得：,其中a為直線在x軸上的截距,此式稱為直線l 的截距式方程,由直線的點(diǎn)斜式方程可得：,,b為直線在y軸上的截距,例：已知直線l 在x軸、y軸上的截距分別為-2、7，求l 的方程.,解：直線l 的截距式方程為,直線方程的一般式,前面我們學(xué)習(xí)了直線方程的五種特殊形式，請同學(xué)們回憶一下，它們的名稱各是什么？方程形式如何？確定的

18、條件是什么？有什么限制條件？,3,,斜截式,已知斜率k和y軸上的截距,y=kx+b,K存在,4,兩點(diǎn)式,已知兩點(diǎn)（x1，y1）（x2，y2）,y1≠y且x1≠x2,5,截距式,已知直線在x軸、y軸上的截距a、b,問題,概念,,,,法向量：我們把平面上與直線L的方向向量垂直的非零向量稱為直線L的一個法向量,,,x,y,o,L,如圖所示，直線L經(jīng)過一個點(diǎn)M0（x0，y0），,一個方向向量為,為一個法向量,，,,,M0,,,M,點(diǎn)M（x，y）

19、在直線L上,v2（x—x0）+（—v1）（y—y0）=0,v2x—v1y+（v1y0—v2x0）=0,Ax+By+C=0,A=v2，B=—v1，C=v1y0—v2x0,，其中,,,,,,上述表明，平面上每一條直線L的方程是二元一次方程 Ax+By+C=0 （其中A、B不全為零） 反之，任意一個二元一次方程 Ax+By+C=0 （其中A、B不全為零）都表示一條直線，我們把上式稱為直線L的一般式方程.,結(jié)論,問題

20、,1、任何一條直線的方程均為二元一次方程，那么 方程x=1如何解釋呢？,答： x=1看起來是一元一次方程，但是在平面直角坐標(biāo)系上討論問題，應(yīng)認(rèn)為是關(guān)于x、y的二元一次方程，只是y的系數(shù)為零,討論,方程 Ax+By+C=0表示的圖形，由A、B、C的值決定，只有A、B至少有一個不為零時，方程 Ax+By+C=0才表示一條 直線。,例1 寫出下列直線的一個方向向量 ⑴ 3x—4y+1=0 ⑵ 2x+9=10

21、 ⑶ 3y—7=0 ⑷ y=5x—3,解（1）因?yàn)锳=3，B=—4，所以一個方向向量為（4，3）,（2）（0，2）,（3）（—3，0）,（4） 把直線方程化為一般式：5x—y—3=0，一個方向向量為（1，5）,應(yīng)用,分析,由上述推導(dǎo)過程可知：直線的一個方向向量為,例2 已知直線L的方程為3x—4y+5=0，求L的斜率和在y軸上的截距,解：把直線L的一般式方程化為斜截式，先移項(xiàng)，得4y=3x+5然后兩邊同除以

22、4，得,由此看出，L的斜率為,，在y軸上的截距為,應(yīng)用,直線方程的一般式與特殊式之間可以相互轉(zhuǎn)化，那么已知直線方程的一般式，如果直線的斜率存在，則可以將一般式化為斜截式。,平面上兩條直線的位置關(guān)系,解下列方程組，你能發(fā)現(xiàn)什么問題嗎？,唯一解,無解,無窮多解,搶 答 題,,,1、如何根據(jù)直線方程判斷兩直線的位置關(guān)系：,思 考 題,（A2，B2不全為零）,（A1，B1不全為零）,思 考 題,,1、如何根據(jù)直線方程中的系數(shù)判斷兩直

23、線相交？,2、如何根據(jù)直線方程中的系數(shù)判斷兩直線重合？,3、如何根據(jù)直線方程中的系數(shù)判斷兩直線平行？,2.,直線l1 與直線l2 重合的充要條件是：它們的方程中所有系數(shù)對應(yīng)成比例。,3.,直線l1 與直線l2 平行的充要條件是：它們的方程中一次項(xiàng)系數(shù)成比例，但是常數(shù)項(xiàng)不與一次項(xiàng)系數(shù)成比例。,,,直線l1 與直線l2 相交的充要條件是：它們的方程中一次項(xiàng)系數(shù)對應(yīng)不成比例。,分析：1.,方程組有唯一解,有無窮多解,無解,例1、判斷平

24、面上下列各對直線的位置關(guān)系：,（1）3x-5y+1=0與 6x-10y+5=0；（2）x+3y+2=0與 2x+6y+4=0；（3）2x-3y+7=0與 3x-4y+1=0。,解：（1）,所以這對直線平行；,（2）,所以這對直線重合；,（3）,所以這對直線相交。,例2 求過點(diǎn)P（-2，3），并且與直線3x-5y+1=0平行的直線方程。,解：由于所求直線l與已知直線平行，,所以可設(shè)l的方程為3x-5y+c=0。,由于點(diǎn)P

25、（-2，3）在直線l上，,因此有3×（-2）-5×3+C=0。,解得c=21。,從而l的方程為3x-5y+21=0。,,,如果平面上直線l1， l2有斜率，則它們有斜截式方程： y=k1x+b1, y=k2x+b2.,化為一般式為：k1x-y+b1=0, k2x-y+b2=0,則有：,l1∥l2,l1與l2重合,l1與l2相交,k1=k2 且b1 ≠ b2,k1=k2 且b1=b2,k1

26、≠k2,平面上兩條有斜率的直線平行或重合的充分必要條件是： 它們的斜率相等,例 已知兩直線l 1:x+my+6=0與l 2: (m-2)x+3y+2m=0, 當(dāng)m為何值時， l 1 與l 2 （1）相交；（2）平行； （3）重合。,解：,解 得：,m=3或m=-1.,(2)當(dāng)m=-1時， 兩

27、直線平行；,解 得：,m=3.,（1）當(dāng)m≠3且m≠-1時, 兩直線相交；,(3)當(dāng)m=3時， 兩直線重合.,小 結(jié),如果直線 和 都有斜率,則斜截式方程為：,，,一般式為：,則：,例2 求直線 與 的夾角,解：,因此,即這對直線的夾角約為

28、弧度.,點(diǎn)到直線的距離,從直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長度，叫做點(diǎn)到直線的距離。,,,,C,O,外,垂線段,A,B,,,,,P（x0，y0）,l:Ax+By+C=0,如何求一點(diǎn)到一條直線的距離呢？,的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),（1）分子是P點(diǎn)坐標(biāo)代入直線方程；,（2）分母是直線未知數(shù)x、y系數(shù)平方和,（類似于勾股定理求斜邊的長）,的算術(shù)平方根,公式,例題講解,例1 求下列點(diǎn)到直線的距離,（1）P（4，-3），x-2y+5=0,（2）M（-2，5），

29、3x-7=0,解：,第三章 圓錐曲線,3.1 圓,平面內(nèi)到一定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的軌跡．　定點(diǎn)是圓心，定長為半徑．,,O,A,,半徑,,圓心,,定義,如何求以 C(a，b)為圓心，以 r 為半徑的圓的方程？,,,,,C,設(shè) M(x，y)是所求圓上任一點(diǎn)，,M（x，y）,r,點(diǎn) M 在圓 C 上的充要條件是,|CM|＝ r，,由距離公式，得,兩邊平方，得,(x－a)2＋(y－b)2＝r2．,——圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,說出下列圓的方程：　

30、（1）以 C（1，－2）為圓心，半徑為 3 的圓的方程；　（2）以原點(diǎn)為圓心，半徑為 3 的圓的方程．,答案：,（1）(x－1)2＋(y＋2)2＝9；,（2）x2＋y2＝9．,例 1 求過點(diǎn) A(6，0)，且圓心 B 的坐標(biāo)為(3，2)的 　　 圓的方程．,解：因?yàn)閳A的半徑,r＝|AB|＝,所以所求圓的方程是,(x－3)2＋(y－2)2＝13．,例題,2．確定一個圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的條件．,1．圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,(x－a)2＋(y－b)

31、2＝r2,歸納小結(jié),,,,,將數(shù)字替換成字母,,當(dāng)D2＋E2－4F＞0時，方程 表示一個圓，我們把這個方程叫做圓的一般方程。,,例 2 求經(jīng)過三點(diǎn)O（0，0）、P（1，0）、Q（0，2）的圓的方程，以及圓心坐標(biāo)和半徑。,例題,解：設(shè)所求的方程為,將已知點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入上面的方程，得：,,F=01 + D + F=04+2E + F=0,解