工程力學 第4版 教學課件 ppt 作者 張秉榮 第七章

1、第七章 動力學普遍定理,動力學基本方程及其動靜法是解決動力學問題的基本方法之一，但是在實際運用中，它在各個不同方向，有固定形式的中繼形態(tài)，形成了幾個動力學普遍定理，使用它可以省卻前期的推倒，解決問題更為直觀而且簡單。,下一頁,上一頁,返回目錄,1．質點的動量 高中物理中已闡明。動量是表征質點機械運動強度的一個物理量。設質點的質量為m，其速度為v，則質點的動量可由質點的質量與其速度的乘積來表示，即該瞬時質點的動量為mv。

2、動量是矢量，它與質點的速度v方向相同，動量的單位是kg·m/s。,第一節(jié) 動量定理,下一頁,上一頁,返回首頁,一、 動量定理,2．沖量 從物理中還知道，物體運動的改變，不僅決定于作用在物體上的力，而且與力所作用的時間有關。例如雜技頂缸中演員就是因增加頭缸接觸時間來頭缸間的沖擊。因此，工程中將力在一段時間間隔內作用的累積效應稱為力的沖量。當作用力F為常力、作用時間為t，F(xiàn)在時間間隔內的沖量I為I ＝

3、 Ft沖量是矢量，它的方向與力的方向相同。沖量的單位是N·s。,下一頁,上一頁,返回首頁,當作用力F為變力時，它在無窮小的時間間隔dt內仍可視為常量，故可得時間dt內力的元沖量為dI ＝ Fdt于是可得在時間間隔t內，力的沖量為,下一頁,上一頁,返回首頁,3．質點的動量定理 設質量為m的質點M在合力F的作用下運動，其速度為v (如圖）。根據動力學基本方程有,由于質點的質量為常量，上式亦可寫成,可以看出，式

4、中括號內為質量點的動量。因此，式(7-1)表明：質點動量對時間的變化等于該質點所受的合力。,（7-1）,,a,F,M1,,v1,,M2,,v2,,M,,v,,,,,mv1,mv2,,,I,下一頁,上一頁,返回首頁,（7-1）,將式(7-1)分離變量后，兩邊積分可得,式(7-2)表明：質點動量在任一時間間隔內的改變，等于在同一時間間隔內作用在該質點上的合力的沖量。這就是積分形式的質點的動量定理。,（7-2）,下一頁,上一頁,返回首頁,設質

5、點系由n個質點組成；其中某質點的質量為mi速度為vi，作用于該質點上的力有外力 和質點系內各質點之間相互作用的力，即內力 。由質點動量定理，有,二、質點系的動量定理,則將各質點的動量定理相加，可得,下一頁,上一頁,返回首頁,式中，∑mivi為質點系內各質點動量的矢量和，稱為質點系的動量，并以p表示，則p=∑mivi,因為存在maC=∑miai故有∑mivi =mvC，所以 p=mvC ；又因為作用于質點系上的所有

6、內力總是成對出現(xiàn)，且它們的大小相等、方向相反，所以內力的矢量和恒等于零，于是上式可簡化為,（7-3）,下一頁,上一頁,返回首頁,即質點系的動量對時間的變化率，等于質點系所在地受外力的矢量和。這就是微分形式的質點系的動量定理。 將式（7-3）兩邊乘以dt，并在時間間隔(t2-t1)內進行積分，可得,式中，p1和p2分別表示質點系在時間t1和t2的動量。 式（7-4）表明：質點系的動量在任一時間間隔內的改變

7、，等于在同一時間間隔內，作用在該質點系上所有外力沖量的矢量和。這就是積分形式的質點系動量定理。,（7-3）,（7-4）,下一頁,上一頁,返回首頁,當質點系不受外力作用或作用于質點系上外力的矢量和為零，即作∑Fi(e) =0時，式（7-3）及（7-4）有p=∑mivi =mvC=常矢量 它表明：當作用于質點系上外力的矢量和恒等于零時，質點系的動量將保持不變。這就是質點系動量的守恒定理。,（7-3）,（7-4）,下一頁,上

8、一頁,返回首頁,設作用在活塞上的合力為F，按規(guī)律F＝0.4mg(1-kt)變化，其中m為活塞的質量，k=1.6s-1。已知tl=0，活塞的速度v1=0.2m/s，方向沿水平向右。試求t2=0.5s時活塞的速度。,解 取以活塞為研究對象。已知作用在活塞上的合力F隨時間的變化規(guī)律及t2、v1，要求v2，故采用積分形式的動量定理、取坐標軸Ox，向右為正，根據式（7-2），有 mv2x-mv1x=Ix

9、 （a）在給定條件下,例7-1,,以式（b）及v1x = v1、v2x＝v2代入式（a），得,下一頁,上一頁,返回首頁,已知：F＝0.4mg(1-kt) ，k=1.6s-1，tl=0，v1=0.2m/s。 試求t2=0.5s時活塞的速度。,解 mv2x-mv1x=Ix （a）,,解 得,= 1.38m/s,下一頁,上

10、一頁,返回首頁,,,有一質量m＝10kg的郵包從傳送帶上以速度v1=3m/s沿斜面落入一郵車內，如圖。已知郵車的質量M＝50kg，原處于靜止。不計車與地面間的摩擦，求郵包落入車內后，車的速度v2。,解 將郵包及郵車分別視為兩質點，組成一質點系。由于作用于質點系上的外力在x軸上投影的代數(shù)和等于零，即∑Fx(e)=0，所以質點系的動量在x軸上的投影應保持常量，即,例7-3,,,,,,,,,,,,,,,,,,v2,,v1,mv1cos

11、30?+0＝mv2+Mv2,得,下一頁,上一頁,返回首頁,工程中，常用動量矩的概念來表示物體繞某點（或軸）轉動運動量的大小。 1．質點對軸的動量矩,第二節(jié) 動量矩定理,設有質點M，其質量為m，它在與軸z垂直的平面N內的速度為v，動量為mv，稱質點的動量mv與質點速度v至z軸距離r的乘積為質點對固定軸z的動量矩，以Mz(mv)表示，即,Mz(mv)=±mvr

12、 (5-19),,下一頁,上一頁,返回首頁,Mz(mv)=±mvr (7-5),由式（7-5）可以看出，對固定軸的動量矩是代數(shù)量，通常規(guī)定：從z軸的正向看去，使質點繞z軸作逆時針轉動的動量矩為正，反之為負。圖中，質點M對z軸的動量矩為正值。在國際單位制中，動量矩的單位為kg·m2/s。,,z,,,,O,,N,,,r,M,,mv,,下一頁,上一頁,返回首頁,,設質點系由n個質

13、點組成，稱其中每一個質點對于固定軸z的動量矩的代數(shù)和為質點系對z軸的動量矩，記為Lz，即Lz=∑Mz(mv) （7-6）工程中，常需計算作定軸轉動的剛體對固定軸的動量矩。設剛體以勻角速度?繞定軸轉動，在剛體內任取一點Mi，其質量為mi，該質點至轉軸z的距離為ri，質點的速度vi的大小為ri?，它對轉軸z的動量矩為Mz(mivi)= miviri= miri2?,2．質點系及剛體對軸的動量矩,z,,,,O,,

14、ri,,,,mivi,Mi,,?,下一頁,上一頁,返回首頁,,Mz(mivi)= miviri= miri2?,z,,,,O,,ri,,,,mivi,Mi,,?,整個剛體對固定軸z的動量矩為組成剛體的各質點動量矩的代數(shù)和，即Lz=∑Mz(mvi)=?∑miri2 =Jz? （7-7）,式（7-7）表明：繞定軸轉動的剛體對于轉軸的動量矩，等于剛體對于轉軸的轉動慣量與其角速度的乘積。,下一頁,上一頁,返回首頁,

15、設在平面內有一質點M，此質點繞與平面N垂直的z軸作圓周運動。已知質點的質量為m，某瞬時的速度為v，加速度為a，其動量為mv 。,3．質點動量矩定理,,z,,,O,,N,,R,M,,,mv,,a,F?,,,,,,,F,Fn,,根據動力學基本方程F＝ma，將此式向點M處的圓周的切線方向投影，得 F?＝ma?再將投影式兩邊乘以圓的半徑R，得,,F?R＝ma?R＝m R＝ (mvR),下一頁,上一頁

16、,返回首頁,式中，F(xiàn)?R表示作用于質點上的力F對轉軸z之矩，mvR表示質點的動量與它到z軸垂直距離的乘積，即質點對z軸的動量矩，表征質量點繞z軸轉動的強度，故上式可寫成,這一結論雖然是從一特例中推導出來的，但是它具有普遍意義。它表明，質點對于某一固定軸的動量矩對于時間的導數(shù)，等于作用在質點上的力對于同一軸之矩。這就是質點的動量矩定理。,,F?R＝ma?R＝m R＝ (mvR),,（7-8）,下一頁,上一頁,返回首頁,設

17、質點系由n個質點組成，取其中任一質點Mi，此質點的動量為mi vi，作用在該質點上內力的合力為 ，外力的合力為 。由前述質點動量矩定理有,4．質點系動量矩定理,,式中，Mz(mivi)為質點系對固定軸z的動量矩，記為Lz。 在質點系中，由于質點間相互作用的內力總是成對出現(xiàn)，它們對z軸力矩的代數(shù)和恒為零，即 ，故上式可寫成,下一頁,上一頁,返回首頁

18、,,或,式（7-9）表明：質點系對于某一固定軸的動量矩對于時間的導數(shù)，等于質點系所有外力對于同一軸之矩的代數(shù)和。這就是質點系的動量矩定理。 由式（7-9）可以看出，當作用于質點系上的外力對某一固定軸之矩的代數(shù)和等于零時，即 ，有,,（7-9）,即 Lz=∑Mz(mv)=常量 （

19、7-10）,下一頁,上一頁,返回首頁,,或,它表明：如果作用于質點系的外力對于某固定軸之矩的代數(shù)和等于零，則質點系對于該軸的動量矩保持不變。這就是質點系動量矩守恒定理。,,（7-9）,Lz=∑Mz(mv)=常量 （7-10）,下一頁,上一頁,返回首頁,,,用動量矩定理解例6-10,解 取滾筒與重物組成的質點系為研究對象。作用于質點系上的外力及轉矩有重物的重力為mg，滾筒重力G，軸承O處的約束

20、反力Fx、Fy。 設某瞬時滾筒轉動的角速度為?，則重物上升的速度v=?d/2。整個系統(tǒng)對轉軸O的動量矩為L=J?+mvd/2= J?+m?d2/4由質點系動量矩定理 (J?+m?d2/4)=T-mgd/2 (J+md2/4) = T-mgd/2,例7-4,,,,,,T,G,Fy,Fx,,,,下一頁,上一頁,返回首頁,解 L=J?+mvd/2= J?+m

21、?d2/4 (J?+m?d2/4)=T-mgd/2 (J+md2/4) = T-mgd/2,,,滾筒角加速度為,重物上升的加速度等于滾筒邊緣上任意一點的切向加速度，故,下一頁,上一頁,返回首頁,圖示的調速器中，長為2a的水平桿AB與鉛垂軸固連，并繞z軸轉動。其兩端用鉸鏈與長為 l的細桿 AC、BD相連，細桿端部各有一重力為G的球。起初兩球用線相連，桿AC、BD位于鉛垂位置。,解

22、 將整個調速器視為質點系，其所受外力有小球的重力及軸承處的約束反力，這些力對轉軸之矩均為零。由質點系動量矩守恒定律知，繩拉斷前后系統(tǒng)對z軸的動量矩不變。,例7-5,,,,?0,z,?,,當機構以角速度?0繞鉛直軸轉動時，線被拉斷。此后，桿AC、BD各與鉛垂線成?角。若不計各桿重力，且此時轉軸不受外力矩作用，求此系統(tǒng)的角速度?。,G,,G,,A,A,B,B,C,D,G,,G,,C,D,下一頁,上一頁,返回首頁,解 由質點系

23、動量矩守恒定律知，繩拉斷前后系統(tǒng)對z軸的動量矩不變。,,,繩拉斷前系統(tǒng)的動量矩為,繩拉斷后系統(tǒng)的動量矩為,由Lz= L'z得,繩拉斷后系統(tǒng)的角速度為,退出,下一頁,上一頁,返回首頁,第三節(jié) 動能定理(能量法),本節(jié)內容本應屬上一節(jié)動力學普遍定理，但因其內容的重要及方法上的特殊，故單辟一節(jié)。 在以前各章中所討論物體間的相互機械作用以及物體動量的變化，都是以矢量的形式出，所以有人將它稱之為“矢量力學”。,下一頁,

24、上一頁,返回目錄,物質的運動形式是多種多樣的，度量不同形式運動量的統(tǒng)一物理量是能量，如電能、熱能等等。物體機械運動的能量為機械能，它包括動能與勢能。物體機械能的變化用功來度量。通過功與能的概念來研究物體的機械運動，可使它與其它運動形式聯(lián)系起來，因而具有廣泛的意義。同時，它還提供了一個利用標量來研究力學問題的方法，這種方法稱之為能量法。能量法是一個重要的、常用的、頗具特色的方法，是工程技術人員必須深刻理解并掌握的內容。,下一頁,上一頁,返

25、回首頁,在力學中，作用在物體上力的功，表征了力在其作用點的運動路程中對物體作用的累積效果，其結果是引起物體能量的改變和轉化。,一、力的功,下一頁,上一頁,返回首頁,1．常力在直線運動中的功 設質點M在常力F作用下使質點上力的作用點Ml到M2有一位移s，如圖，則力F所作的功為 W＝Fscos? （7-11）式中，?為力F與

26、力的作用點的位移s之間的夾角。式（7-11）可寫成 W＝F·s （7-12）即作用在質點上的常力沿直線路程所作的功，等于力矢與質點位移的數(shù)量積，功是代數(shù)量。,,,v,,下一頁,上一頁,返回首頁,1．常力在直線運動中的功 W＝Fscos?

27、（7-11） W＝F·s （7-12）功是代數(shù)量。,,力速同向，力作正功。 力速反向，力作負功。 力速垂直，力不作功或功為零。 功的單位是J（焦耳）， 1J=1N·m,下一頁,上一頁,返回首頁,2．變力在曲線運動中的功 設質點M在變力作用下沿曲線M1到M2如圖所示，求變

28、力F在路程M1M2中所作的功。,由于F是變力，因此把M1M2分成無數(shù)微小的段。在微小弧段ds上，力F可近似地看成常力，ds也近似為直線。由式(7-11)可得力在微小弧段ds中的元功為,?W=Fcos?·ds (7-13)式中，?是力 F與軌跡切向之夾角。,,a,F,M1,,v1,,M2,,M,,v,,,,,r,,F?,,dr,ds,,,,y,x,z,,下一頁,上一頁,返回首頁,?W

29、=Fcos?·ds (7-13)式中，?是力 F與軌跡切向之夾角。 當ds足夠小時， ds＝dr，其中dr是與ds相對應的微小位移，則式（7-13）可寫成 ?W=F·dr (7-13a) 若以矢量分析式表示F和dr，即,,a,F,M1,,M2,,M,,v,,,,,r,,F?,,dr,ds,,,,y,x,z,,?W=(Fxi+F

30、yj+Fzk)·(dxi+dyj+dzk)展開后可得上式的解析表達式為 ?W=Fdx+Fxdy+Fxdz （7-13b）變力F在M1M2，路程上的總功，可由式（7-13）積分求得,(7-14),下一頁,上一頁,返回首頁,這是功的解析表達式。由圖 與式（7-13）可知，F(xiàn)cos?是力F在軌跡切線上的投影量F?，因而可得,,a,F,M1,,M2,,M,,v,,,,,r

31、,,F?,,dr,ds,,,,y,x,z,,這是沿曲線M1M2的曲線積分，在一般情況下，其值與積分的路線有關。變力F在M1M2路程中的總功，也可由式（7-13b）積分求得,(7-14),(7-14a),(7-14b),下一頁,上一頁,返回首頁,3．合力的功,若質點M受力系F1，F(xiàn)2，……，F(xiàn)n作用，其合力為FR，即FR＝F1＋F2+…+ Fn，于是質點M在合力FR作用下沿曲線M1M2路程中的總功為 W＝?FR?dr＝

32、?(Fl +F2+…+Fn)?dr ＝W1+W2+…+Wn＝∑Wi (7-15),式(7-15)表明：在任一路程中，作用于質點上合力的功等于各分力在同一路程中所作功的代數(shù)和。,下一頁,上一頁,返回首頁,4．幾種常見力的功,（1）重力的功 設質點M的重力為G，沿曲線由M1運動到M2如圖，求重力所作的功。由圖可知，作用在質點M上的重力在三個坐標軸上的投影分

33、別為Fx= Fy=0，F(xiàn)z=-G，由（7-14a）得重力的功為,W= ?-Gdz =-G(z2-z1) =G(z1-z2)= Gh （7-16）,式中，h表示質點在始點位置M1與終點位置M2的高度差。若質點下降，重力的功為正；若質點上升，重力的功為負。即重力的功等于質點的重量與質點始末位置高度之差的乘積，與質點運動的路徑無關。,ds,M,M1(x1,y1,z1),M2(x2,y2,z2),,,

34、,,,,?,,,,h,對質點系而言，式（7-16）中h就理解為其質心始末位置之差即可。,下一頁,上一頁,返回首頁,,（2）彈力的功 質點與彈簧一端聯(lián)接，如圖。設彈簧的原長為l0，剛度系數(shù)為k，k的單位是N/m，表示彈簧發(fā)生單位變形所需的力。取自然長度的位置為坐標原點O，彈簧中心線為坐標軸，并以彈簧伸長方向為正方向。,M,M1,,l0,,,,M0,,M2,,,,,,?1,,x,,?2,,,,dx,x,O',O,M作

35、直線運動，從M1運動到M2，求彈性力的功。設質點位于M處此時彈簧被拉長x 。,下一頁,上一頁,返回首頁,根據胡克定律，在彈性極限內，彈性力與彈簧的變形成正比，即F＝-kx，彈性力的方向指向自然長度的O點，與變形方向相反。當質點M有一微小位移dx時，彈性力的元功為 ?W＝-Fdx＝-kxdx 當質點由M1位置移動到M2 ,即變形（變形量?＝?2-?1）的過程中，彈性力所作的功為,F,,下一頁,上一頁,返回首頁,

36、O',式(7-18)表明：彈性力的功等于彈簧的剛度系數(shù)與其始末位置變形的平方之差乘積的一半。當初變形?1大于末變形?2時，彈性力的功為正，反之為負。,若彈簧端點的質點M作曲線運動，如圖，不難證明式(7-18)仍然是適用的。由此可知,彈性力的功只和彈簧的始末變形有關，而與質點運動所經過的路徑無關。,下一頁,上一頁,返回首頁,（3）動摩擦力的功,當質點受動摩擦力作用由M1運動到M2時，由于動摩擦力的方向總是與質點運動的方向相反，根據

37、摩擦定律，F(xiàn)'＝f FN，所以在一般情況下，動摩擦力的功為負，其大小與質點的運動路徑有關，即 W＝-?f FNds (7-19),下一頁,上一頁,返回首頁,（4）作用于定軸轉動剛體上力的功（即力矩的功）,設定軸轉動剛體上M點處有一個力F，求剛體轉動時力F所作的功。此力可分解為三個分力，如圖，F(xiàn)z平行于z軸，F(xiàn)r為垂直于轉軸的徑向力，F(xiàn)?為切于M點圓周運動路徑的切向力。,,z

38、,,,,O,r,,d?,,?,Fz,,,,,,,,,,Fr,F?,F,ds,,設剛體轉動d?角，則M點的路徑ds＝rd? ，r為M點離轉軸的距離。由于Fr與Fz均垂直于ds不作功，故力F在ds上的元功為 ?W＝F?ds＝F?rd?＝Md?式中，F(xiàn)?r是力F對轉軸z的力矩Mz。,下一頁,上一頁,返回首頁,,當剛體從轉角?1到?2時，力F所作的功為 W＝?Mzd?

39、 (7-20) 若力矩Mz為常量時，有 W＝Mz(?2-?1) ＝ Mz? (7-21),式（7-21）表明：作用于定軸轉動剛體上常力矩的功，等于力矩與轉角大小的乘積。當力矩與轉角轉向一致時，功取正值；相反時，功取負值。 如果作用在轉動剛體上的是常力偶，而力偶的作用面與轉軸垂直時，功的計算仍采用式（7-21）。,下一頁,上一

40、頁,返回首頁,（5）內力的功,質點系中兩質點間的距離不一定保持不變，因此其內力功的總和一般不一定為零。例如汽車的汽缸，由于缸體與活塞的位移不一，因此，缸內燃其壓力是作功的。但對于剛體，由速度投影定理可知， vAcos?A-vBcos?B＝0，因此?W＝0，即剛體內力的功之和等于零。,下一頁,上一頁,返回首頁,（6）理想約束其約束反力的功為零,在許多理想情況下，約束反力的功(或功之和)等于零，合乎上述條件約束稱為理想約束。所謂理想約束在本

41、書范圍內即為靜力學中已介紹過的不計摩擦的約束。,另外，作純滾動的輪子對作用于輪子上輪、地接觸點的滑動摩擦力來說，因該點為瞬心，其速為零，任何瞬時無微位移，故其功為零。但若計滾阻力矩則因有轉角，它是作功的。,下一頁,上一頁,返回首頁,一切運動的物體都具有一定的能量。飛行的子彈能穿透鋼板，運動的鍛錘可以改變鍛件的形狀。物體由于機械運動所具有的能量稱為動能。,二 、 動 能,1．質點的動能　　設質量為m的質點，某瞬時的速度為v，則質點質量

42、與其速度平方乘積的一半，稱為質點在該瞬時的動能，以Ek表示，即 （7-22） 　由式（7-22）可知，動能是一個永為正值的標量，其單位與功的單位相同。,,下一頁,上一頁,返回首頁,2．質點系的動能　　質點系內各質點動能的總和稱為質點系的動能。設質點系由n個質點組成，其中第i個質點的質量為mi，瞬時速度為

43、vi，質點系的動能為 （7-23） 剛體是不變質點系，其動能可用式（7-23）進行計算。由于剛體運動形式不同，其動能的計算公式不同，現(xiàn)分述如下。,下一頁,上一頁,返回首頁,（1）剛體作平動時的動能 剛體平動時，其內各質點的瞬時速度都相同，由式（7-23）可得

44、 （7-24） 式（7-24）表明，剛體作平動時的動能，等于剛體的質量m與其質心速度平方乘積的一半。,下一頁,上一頁,返回首頁,（2）剛體繞固定軸轉動時的動能 設剛體繞固定軸z轉動，某瞬時的角速度為?，剛體內任一質點的質點的質量為mi，離z軸的距離為ri，速度vi=ri?，則剛體的動能為

45、 （7-25） 式（7-25）表明，剛體繞固定軸轉動時的動能，等于剛體對轉軸的轉動慣量與角速度平方乘積的一半。,下一頁,上一頁,返回首頁,（3）剛體作平面運動時的動能 設作平面運動的剛體的質量為m，在某瞬時的速度瞬心為P，質心為C，角速度為?，此時可視剛體繞瞬心軸轉動，則剛體的動能為式中，JP是剛體對

46、通過瞬心并與運動平面垂直的軸的轉動慣量。,下一頁,上一頁,返回首頁,取通過質心C并與瞬心軸平行的軸，剛體對質心軸的轉動慣量為JC，兩軸距離為rC，由平行移軸定理有JP=JC+mr2C，代入上式，得（7-26） 式（7-26）表明，剛體作平面運動時的動能，等于隨質心平動的動能與相對于質心轉動的動能之和。,,下一頁,上一頁,返回首頁,,質量為m的滾子A在傾角為?的斜面作純滾動，滾子借繩子跨過滑輪B連接質量為ml的物體，如圖

47、。滾子與滑輪質量相等，半徑相同，皆為均質圓盤。此瞬時物體的速度為v，繩不可伸長，質量不計，求系統(tǒng)的動能。,解 取系統(tǒng)為研究對象，其中重物平動，滑輪定軸轉動，滾子作平面運動，系統(tǒng)的動能為,例7-8,,,根據運動學關系，有vc＝v，vc＝r?，代人得,,,,,B,,下一頁,上一頁,返回首頁,均質細長桿長為l， 質量為m，與水平面夾角?＝30?。已知端點B的瞬時速度為vB，如圖。求桿AB的動能。,解 桿作平運動，瞬時速度中心

48、為P，桿的角速度為?=vB/PB=2vB/l，其質心速度為vC=?l/2=vB，則桿的動能為,例7-9,,此題也可用Ek＝JP?2/2進行計算，其中JP＝JC+m(PC)2。,vA,,,,,vC,,P,下一頁,上一頁,返回首頁,1．質點的動能定理 　設質量為m的質點M在力F作用下作曲線運動，由M1運動到M2速度由v1變?yōu)関2，由運動學基本方程，有,三、動能定理,等式兩邊分別標量積dr，得,,也可寫成 mv&#

49、183;dv＝F·dr,下一頁,上一頁,返回首頁,(7-27),式（7-27）表明：質點動能的微分等于作用于質點上力的功，這就是質點動能定理的微分形式。將式（7-27）沿曲線M1M2積分，得,mv·dv＝F·dr,而mv·dv= d(v·v)= ，代入上式，有,,即,(7-28),下一頁,上一頁,返回首頁,式（7-28）表明：在任一路徑中質點動

50、能的變化，等于作用于在質點上的力在同一路徑中所作的功，這就是質點動能定理的積分形式。 在動能定理中，包含質點的速度、運動的路程和力，可用來求解與質點速度、路程有關的問題，也可用來求解加速度的問題。它是標量方程，求解動力學問題時可回避矢量運算，故比較方便。,,(7-28),下一頁,上一頁,返回首頁,為測定車輛運動阻力系數(shù)K（K為運動阻力F與正壓力之比），將車輛從斜面A處無初速度地任其自滑。車輛滑到水平面后繼續(xù)運行到C處停止

51、。如已知斜面長度為l，高度為h，斜面（在水平面上）的投影長度為s'，水平面上車輛的運行距離為s，如圖。求車輛運動時的阻力系數(shù)K值。,解 由車輛由靜止開始，Ek1＝0，運行到C處停止，末動能Ek2＝0。運行中受到重力W、法向反力FN和摩擦力(運行阻力)F的作用。,例7-10,s,C,,,,W,,FN,,,,F,,W,,FN,,F,,W,,FN,下一頁,上一頁,返回首頁,解 由車輛由靜止開始，Ek1＝0，運行到C處停

52、止，末動能Ek2＝0。運行中受到重力W、法向反力FN和摩擦力(運行阻力)F的作用。 根據動能定理，有0-0＝Wh-KWcos?l-KWs即 Wh-KWs'-KWs＝0 解得,下一頁,上一頁,返回首頁,2．質點系的動能定理 　質點動能定理可以推廣到質點系。設質點系由n個質點組成，系內任一質點的質量為mi某瞬時速

53、度為vi，所受外力的合力為F(e)i，內力的合力為F(i)i，當質點有微小位移dr時，由質點的動能定理的微分形式,式中， ?Wi(e) 和?Wi(i) 表示作用于該質點上的外力和內力的元功。質點系中各個質點皆可寫出此種方程，等式相加得,,下一頁,上一頁,返回首頁,或,式(7-29)表明：質點系動能的微分等于作用于質點系上的所有外力和內力元功的代數(shù)和，這就是質點系動能定理的微分形式。將式(7-29)積分得 Ek

54、2-Ek1＝∑Wi(e) +∑Wi(i) (7-30) 式(7-30)表明：質點系動能在任一路程中的變化，等于作用在質點系上所有外力和內力在同一段路程中所作功的代數(shù)和。,即,下一頁,上一頁,返回首頁,(7-29),由于質點系內力功的總和在一般情況下不一定等于零，因此將作用于質點系上的力分為主動力和約束反力，則質點系動能定理可寫成dEk＝∑?WF+∑?WNEk2-Ek1＝∑W

55、F+∑WN式中，∑WF和∑WN分別表示作用于質點系所有主動力和約束力在路程中作功的代數(shù)和。,下一頁,上一頁,返回首頁,對于理想約束，其∑WN＝0，故動能定理的積分形式可寫成 Ek2-Ek1＝∑WF (7-31) 式(7-31)表明：在理想約束情況下，質點系的動能在任一路程中的變化，等于作用在質點系上所有主動力在同一路程中所作功的代數(shù)和

56、。 質點系動能定理建立了力、位移和速度之間的關系，且不是矢量方程。應用此定理解決與上述三者相關的質點系動力學問題較方便。,下一頁,上一頁,返回首頁,,滾子、滑輪和重物組成的系統(tǒng)見例7-9，求系統(tǒng)由靜止開始到重物下降h高度時的速度和加速度。,解 取系統(tǒng)受力包括各物體的重力、軸承的約束力以及斜面對滾子的法向反力及摩擦力，如圖。,例7-12,,,在理想約束情況下，約束反力的功為零。滾子作純滾動，它與斜面接觸處為速度瞬心、約

57、束反力的功為零，系統(tǒng)只有重物及滾子的重力作功，總功為 ΣWF＝m1gh-mghsin?系統(tǒng)的動能在例7-9中已求得，代入質點系動能定理有,,,,B,,,,,h,m1g,,,,Fy,Fx,＝m1gh-mghsin?,下一頁,上一頁,返回首頁,解得,解 受力分析,,,求重物的加速度，可將動能定理兩邊對時間t求一階導數(shù)，得 (m1+m)2va＝(

58、m1g-mgsin?)v解得,＝m1gh-mghsin?,,下一頁,上一頁,返回首頁,解 取曲柄連桿機構為研究對象，初瞬時系統(tǒng)靜止，Ek1=0。當曲柄轉過一周后，連桿的速度瞬心在B點，其速度分布如圖。系統(tǒng)的動能為,vC,,例7-13,曲柄連桿機構如圖。已知曲柄OA=r，連桿AB=4r，C為連桿之質心，在曲柄上作用一不變轉矩T。曲柄和連桿皆為均質桿，質量分別為m1和m2。曲柄開始時靜止且在水平向右的位置。不計滑塊的質量和各處的摩擦，

59、求曲柄轉過一周時的角速度。,式中 JO＝m1r2/3 ； JC＝m2(4r)2/12＝4m2r2/3 vC=vA/2=r?1/2 ； ?2=vA/(4r)=r?1/(4r)=?1/4,?1,,,vA,下一頁,上一頁,返回首頁,解,已知：OA=r，AB=4r，T，m1，m2。求：?1。,JO=m1r2/3 ； JC=4m2r2/3 vC=r?1/2 ； ?2=?1/4,代

60、入得 Ek2=(ml+m2)r2?12曲柄轉過一周，重力的功為零，轉矩的功為2?T，代入動能定理，有,(ml+m2)r2?12-0＝2?T,解得,下一頁,上一頁,返回首頁,退出,力在單位時間內作的功稱為功率。它是衡量力學性能的一項重要指標。 設作用于質點上的力為F，在dt時間內力F的元功為?W，質點速度為v，則功率P可表示為,第四節(jié) 功率與功率方程,(7-32),式(7-32)表明：作用

61、于質點上力的功率，等于力在速度方向上的投影與速度的乘積。 功率的單位是W(瓦特)，1W＝lJ/s。,下一頁,上一頁,返回首頁,如果功是用力矩或力偶矩計算的，由元功表達式?W=Md?的關系式有,(7-33),式(7-33)表明：轉矩的功率等于轉矩與物體轉動的角速度的乘積。 若轉速用n(r/min)、功率用P(kW)表示，力偶或力偶矩用M(N·m)表示，則式（7-33）可改寫為 。,M＝9550 P/

62、n (7-34a),下一頁,上一頁,返回首頁,機器工作時必須輸入一定的功率P0，輸入的功率一部分為有用功率P1，另一部分消耗在克服無用阻力上為無用功率P2 。 在機器起動或加速轉動時，要求P0>P1+P2； 當機器正常運轉時（一般為勻速轉動），P0＝P1+P2；在制動過程中，機器作減速轉動，這時P0< P1+P2。機器在穩(wěn)定運轉時的有用功率

63、Pl和輸入功率P0之比，稱為機械效率，用?表示，即,(7-36),下一頁,上一頁,返回首頁,(7-36),一般有用功率總比輸入功率小，所以?＜1；若?接近1，則意味著機器的工作性能好。因此，機械效率說明機器對輸入功率的有效利用程度，是評價機器質量好壞的指標之一。 如?＜0，則機械處于自鎖狀態(tài)。,下一頁,上一頁,返回首頁,在車床上車削直徑d=0.18m的工件，主軸的轉速n=960r/min，如圖。車床主軸的轉矩M＝27N&