統(tǒng)計(jì)學(xué)第4章

1、第 4 章 數(shù)據(jù)的概括性度量,4.1 集中趨勢(shì)的度量 4.2 離散程度的度量 4.3 偏態(tài)與峰態(tài)的度量,數(shù)據(jù)的概括性度量,4.1 集中趨勢(shì)的度量,集中趨勢(shì)(central tendency)是指一組數(shù)據(jù)向某一中心值靠攏的傾向和程度，集中趨勢(shì)可以反映一組數(shù)據(jù)的中心值或代表值，不同數(shù)據(jù)類型可選用不同的集中趨勢(shì)測(cè)度值.低層次數(shù)據(jù)的測(cè)度值適用于高層次的測(cè)量數(shù)據(jù)，但高層次數(shù)據(jù)的測(cè)度值并不適用于低層次的測(cè)量數(shù)據(jù).,4.1

2、.1 分類數(shù)據(jù)：眾數(shù),一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的變量值稱為眾數(shù)(mode) ，用M0 表示.不受極端值的影響.眾數(shù)主要用于測(cè)度分類數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì).也可用于順序數(shù)據(jù)和數(shù)值型數(shù)據(jù). 一組數(shù)據(jù)可以沒有眾數(shù)，也可以有幾個(gè)眾數(shù).,眾數(shù)的特性,(1) 一組數(shù)據(jù)可以沒有眾數(shù) 假定一組數(shù)據(jù)如下：　　　1 2 3 4 5則這組數(shù)據(jù)沒有眾數(shù).,,,,,,,,,１,１,２,３,４,５,(2) 一組數(shù)據(jù)可以有多個(gè)眾數(shù). 假定一

3、組數(shù)據(jù)如下：　　　1 2 2 3 4 4 5那么這組數(shù)據(jù)有兩個(gè)眾數(shù).,,,,,,,,１,１,２,３,４,５,,,２,圖4 -1 眾數(shù)示意圖,,,,無眾數(shù) 一個(gè)眾數(shù) 多于一個(gè)眾數(shù),例 4.1,根據(jù)第3章表 3-4 的數(shù)據(jù)，計(jì)算“飲料品牌”的眾數(shù).,表3-4 不同品牌飲料的頻數(shù)分布,解：這里的變量為“飲料品牌”，是分類變量，不同類型的飲料就是變量值.在所調(diào)查的50 人中， 購買可口可

4、樂的人數(shù)最多，為15人,占總被調(diào)查人數(shù)的 30% ，因此眾數(shù)為“可口可樂”這一品牌. 即 可口可樂,例4.2,表3-6 甲城市家庭對(duì)住房狀況的評(píng)價(jià),根據(jù)第3章表3-6的數(shù)據(jù)，計(jì)算甲城市對(duì)住房狀況滿意度評(píng)價(jià)的眾數(shù).,解：這里的變量是回答類別,是順序變量.甲城市所調(diào)查的300戶家庭中,對(duì)目前住房不滿意的戶數(shù)最多，有108戶.所以這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為“不滿意” 這一類別.即 不

5、滿意,例4.3,在某城市中隨機(jī)抽取9戶家庭, 調(diào)查得每戶家庭的人均月收入數(shù)據(jù)如下(單位:元).要求計(jì)算人均月收入的眾數(shù). 1080 750 1080 1080 850 960 2000 1250 1630 解: 人均月收入1080的家庭最多, 即 元,一個(gè)由claremont學(xué)院本科學(xué)生組成

6、的“莎士比亞診所”，用統(tǒng)計(jì)分析對(duì)58個(gè)與莎士比亞同時(shí)代的作家進(jìn)行分析，以確定誰的寫作風(fēng)格與莎士比亞的作品風(fēng)格最相近。他們從58個(gè)作家的作品中選取片段，并將其分成500字一段的小段，對(duì)區(qū)組中的一些變量進(jìn)行計(jì)數(shù)統(tǒng)計(jì)，例如，考察52個(gè)關(guān)鍵字的出現(xiàn)情況，并找出其眾數(shù)，由此得出各個(gè)作家的主要特征。結(jié)果，58個(gè)備選者中沒有一個(gè)能通過眾數(shù)檢驗(yàn)。因此證明，是莎士比亞寫下了他本人的詩篇。,莎士比亞著作中的眾數(shù),4.1.2 順序數(shù)據(jù)：中位數(shù)和分位數(shù),1.中

7、位數(shù)(median),一組數(shù)據(jù)按從小到大排列時(shí)，處于中間位置上的變量值稱為中位數(shù)，用 Me 表示. 中位數(shù)主要用于測(cè)度順序數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì).中位數(shù)當(dāng)然也適用于數(shù)值型數(shù)據(jù)，但不適用于分類數(shù)據(jù). 　　顯然，中位數(shù)作為位置代表值，其數(shù)值不受極大值和極小值的影響.,中位數(shù)的位置,對(duì)未分組數(shù)據(jù)　　　　中位數(shù)的位置＝即未分組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是1, 2,　 , n 這 n 個(gè)位置的平均. 而對(duì)于分組數(shù)據(jù)，則

8、中位數(shù)的位置＝,(4.1),中位數(shù)的計(jì)算,例 4.4,根據(jù)第 3 章表 3-6 的數(shù)據(jù)，計(jì)算甲城市家庭對(duì)住房狀況滿意程度評(píng)價(jià)的中位數(shù).,表3-6 甲城市家庭對(duì)住房狀況的評(píng)價(jià),解：已知n = 300,從而中位數(shù)的位置為,從累積頻數(shù)可知，中位數(shù)在“一般”這一類中，因此,一般,例 4.5,在某城市中隨機(jī)抽取9個(gè)家庭，調(diào)查得各個(gè)家庭的人均月收入數(shù)據(jù)如下(單位:元)，試計(jì)算人均月收入的中位數(shù). 1500 750 780 108

9、0 850 960 2000 1250 1630 解：把數(shù)據(jù)排序得 750 780 850 960 1080 1250 1500 1630 2000而中位數(shù)的位置= (9+1)/2 = 5, 于是,例 4.5(續(xù)),假定例4.5中隨機(jī)抽取10個(gè)家庭，各個(gè)家庭的人均月收入數(shù)據(jù)如下 660 750 780 850 960 1080 1250 1500 1630 2000從而中

10、位數(shù)的位置= (10+1)/2 = 5.5, 于是,例,根據(jù)第3章表3-12的數(shù)據(jù)，計(jì)算電腦銷售量的中位數(shù). 解：由于 n =120，則中位數(shù)的位置為,中位數(shù)為,2 四分位數(shù)（quartile）,與中位數(shù)類似的還有四分位數(shù)。一組數(shù)據(jù)按從小到大排列時(shí)，處于　　位置上的變量值稱為第一個(gè)四分位數(shù)（下四分位數(shù)），處于　　位置上的變量值稱為第三個(gè)四分位數(shù)（上四分位數(shù)），而中位數(shù)就是第二個(gè)四分位數(shù)。,四分位數(shù)的位置,對(duì)未分組時(shí)

11、 下四分位數(shù)( )的位置＝　　　 上四分位數(shù)( )的位置＝ 而對(duì)于分組數(shù)據(jù)，則 下四分位數(shù)( )的位置＝　　　 上四分位數(shù)( )的位置＝,(4.3),例,例 4.6,對(duì)例4.5的數(shù)據(jù)，計(jì)算人均月收入的下四分位數(shù)和上四分位數(shù). 解：已知 n =9，得下四分位數(shù)和上四分位數(shù)的位置,于是,例,解：QL位置= (300)/4 =75 QU位置 =(3×

12、300)/4 =225 從累計(jì)頻數(shù)看， QL在“不滿意”這一組別中； QU在“一般”這一組別中。因此 QL = 不滿意 QU = 一般,4.1.3 數(shù)值型數(shù)據(jù)：平均數(shù),平均數(shù)也稱均值(mean), 是最常用的集中趨勢(shì)測(cè)度值,易受極端值的影響.主要適用于數(shù)值型數(shù)據(jù)，但不適用于分類數(shù)據(jù)和順序數(shù)據(jù).,1.簡(jiǎn)單平均數(shù)與加權(quán)平均數(shù),(1) 根據(jù)未分

13、組的數(shù)據(jù)計(jì)算簡(jiǎn)單平均數(shù),設(shè)一組數(shù)據(jù)為 　　　　　　則平均數(shù)　 的計(jì)算公式為,例如，根據(jù)例4.5的數(shù)據(jù)，計(jì)算9個(gè)家庭人均月收入的平均數(shù)為,(元),(4.4 ),(2)根據(jù)分組的數(shù)據(jù)計(jì)算加權(quán)平均數(shù),設(shè)一組數(shù)據(jù)　　　　　　分為k組，各組的組中值和組頻數(shù)分別為　　　　　　　　　 . 則平均數(shù) 的計(jì)算公式為,(4.5 ),例4.7,根據(jù)第3章表 3-13中的數(shù)據(jù)，計(jì)算電腦銷售量的平均數(shù).,表4 -1　某電腦公司銷售量數(shù)據(jù)平均數(shù)計(jì)算表,解：根

14、據(jù)(4.5)式，得,(臺(tái)),加權(quán)平均數(shù)(權(quán)數(shù)對(duì)平均數(shù)的影響),甲乙兩組各有10名學(xué)生，他們的考試成績(jī)及其分布數(shù)據(jù)如下 甲組： 考試成績(jī)（x ）: 0 20 100 人數(shù)分布（f ）： 1 1 8 乙組： 考試成績(jī)（x）: 0 20 100 人數(shù)分布（f ）： 8 1 1,,,2 調(diào)和平均數(shù)（Harmonic me

15、an）,均值的另一種表現(xiàn)形式，易受極端值的影響.計(jì)算公式為,原來只是計(jì)算時(shí)使用了不同的數(shù)據(jù)！,調(diào)和平均數(shù)(例題分析),【例】某蔬菜批發(fā)市場(chǎng)三種蔬菜的日成交數(shù)據(jù)如表，計(jì)算三種蔬菜該日的平均批發(fā)價(jià)格。,,3 一種特殊的平均數(shù):幾何平均數(shù),幾何平均數(shù)(geometric mean)是平均數(shù)的另一種類型，主要用于比率或速度的平均.　　(1)根據(jù)未分組的數(shù)據(jù)計(jì)算幾何平均數(shù)　　設(shè)一組數(shù)據(jù)為 　　　　 則幾何平均數(shù)為,(4.6 ),(2)

16、根據(jù)分組的數(shù)據(jù)計(jì)算幾何平均數(shù)　　設(shè)一組數(shù)據(jù) 　　　　　 分為k組，各組的組中值和組頻數(shù)分別為　　　　　　　　　 ,則幾何平均數(shù)的計(jì)算公式為,平均增長(zhǎng)率,對(duì)逐年增長(zhǎng)率 平均增長(zhǎng)率應(yīng) 滿足,(4.8 ),即,或,(4.9 ),幾何平均數(shù) (例題分析),【例】某水泥生產(chǎn)企業(yè)1999年的水泥產(chǎn)量為100萬噸，2000年與1999年相比增長(zhǎng)率為9%，2001年與2000年相比增長(zhǎng)率為16%，2002年與200

17、1年相比增長(zhǎng)率為20%。求各年的年平均增長(zhǎng)率。,年平均增長(zhǎng)率＝114.91%-1=14.91%,幾何平均數(shù) (例題分析),【例】某企業(yè)生產(chǎn)某種產(chǎn)品要經(jīng)過三個(gè)連續(xù)作業(yè)車間才能完成。若某月份第一車間粗加工產(chǎn)品的合格率為 95%，第二車間精加工產(chǎn)品的合格率為 93%，第三車間最后裝配的合格率為 90%，則該產(chǎn)品的車間平均合格率為多少？,即該產(chǎn)品的車間平均合格率為 92.64% 。,例4.8,一位投資者持有一種股票，2001-2004年的收益率

18、分別為4.5%，2.1%，25.5%和1.9%. 計(jì)算該投資者在這四年內(nèi)的平均收益率. 解：根據(jù)(4.6)，得,即該投資者的投資平均收益率為108.0787%-100%=8.0787% .,4.1.4 眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)的比較,1.眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)的關(guān)系,圖4-2 不同分布的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù),(a)對(duì)稱分布,(b)左偏分布,(c)右偏分布,,2.眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)的特點(diǎn),(1)眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)值，

19、不受極端值的影響，但可能沒有眾數(shù)，也可能有兩個(gè)或兩個(gè)以上眾數(shù)。眾數(shù)主要適用于分類數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)測(cè)度. 　　(2)中位數(shù)是一組數(shù)據(jù)處于中間位置上的數(shù)值，不受極端值的影響，主要適用于順序數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)測(cè)度. 　　(3)平均數(shù)具有優(yōu)良的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)，是實(shí)際應(yīng)用最廣泛的集中趨勢(shì)測(cè)度值.主要適用于數(shù)值型數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)測(cè)度．,3.眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)的應(yīng)用場(chǎng)合,例 從一家公司中選取一個(gè)20名工人的樣本，將他們每周除去所有費(fèi)用后的凈收入近似為

20、整數(shù)并按升序排列如下（元）：240，240，240，240，240，240，240，240，255，255，265，265，280，280，290，300，305，325，330，340。計(jì)算 （1）、平均數(shù)，中位數(shù)，眾數(shù)； ，中位數(shù)=260元，眾數(shù)=240元 （2）、從偏斜

21、度的角度描述這組工資數(shù)據(jù)； 由于平均數(shù)大于中位數(shù)，所以這個(gè)分布是右偏分布。,3.眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)的應(yīng)用場(chǎng)合,（3）、假如你是這家公司負(fù)責(zé)勞資問題的副總經(jīng)理，你會(huì)采用哪個(gè)測(cè)度值代表公司中所有員工的收入水平？ 因?yàn)闃颖酒骄鶖?shù)是這三個(gè)平均數(shù)測(cè)度值中的最大值，所以你可能傾向于采用它作為平均數(shù)。事實(shí)上，使用它非常合適，因?yàn)檫@里牽涉到統(tǒng)計(jì)推斷，而樣本平均數(shù)是可用的最穩(wěn)定的統(tǒng)計(jì)量。 （4）、假設(shè)你是推選出的工會(huì)主

22、席，你會(huì)采用哪個(gè)測(cè)度值代表公司中所有員工的收入水平？ 從你在工資問題談判中所處的位置出發(fā)，你可能傾向于選擇眾數(shù)，或者至少是中位數(shù)，而決不會(huì)選用平均數(shù)。為了說明你選擇的測(cè)度值是合理的，你應(yīng)該指出眾數(shù)代表了樣本中大部分人的凈收入，或者可以指出從樣本中可以看出樣本平均數(shù)受到極少數(shù)高工資的影響。然而，無論是眾數(shù)還是中位數(shù)都會(huì)隨樣本不同而產(chǎn)生很大變化，所以比起平均數(shù)都是不穩(wěn)定的總體估計(jì)值。,數(shù)據(jù)類型與集中趨勢(shì)測(cè)度值,4.2 離散程度

23、的度量,離散程度或分散程度是數(shù)據(jù)分布的另一個(gè)重要特征,離散程度的測(cè)度值反映數(shù)據(jù)的分散程度.數(shù)據(jù)的分散程度越大，則集中趨勢(shì)測(cè)度值的代表性就越差；分散程度越小,則集中趨勢(shì)測(cè)度值的代表性就越好. 不同數(shù)據(jù)類型有不同的離散程度測(cè)度值.,4.2.1 分類數(shù)據(jù)：異眾比率,異眾比率(variation ratio)是非眾數(shù)組的頻數(shù)所占的比例，即,異眾比率用于衡量眾數(shù)的代表程度： (1)異眾比率大，說明眾數(shù)的代表性差 (2)

24、異眾比率小，說明眾數(shù)的代表性好,(4.10),例4.9,根據(jù)第3章表3–4的數(shù)據(jù)，計(jì)算異眾比率.,表 3-4　不同品牌飲料的頻數(shù)分布,解:根據(jù)(4.10)式,得異眾比率,在所調(diào)查的50人當(dāng)中，購買其他品牌飲料的人數(shù)占70%. 由于異眾比率比較大，因此用“可口可樂”代表消費(fèi)者購買飲料品牌的狀況，其代表性不是很好.,4.2.2 順序數(shù)據(jù)：四分位差,四分位差(quartile deviation)是上四分位數(shù)與下四分位數(shù)之差，即,(4.11

25、),四分位差反映了下四分位數(shù)至上四分位數(shù)之間 (即中間的50%數(shù)據(jù))的離散程度或變動(dòng)范圍．四分位差越大，說明中間這部分?jǐn)?shù)據(jù)越分散，而四分位差越小，則說明中間這部分?jǐn)?shù)據(jù)越集中.四分位差在一定程度上可用于衡量中位數(shù)的代表程度.,四分位差 (例題分析),解：為了計(jì)算順序數(shù)據(jù)的四分位差，需要把各類別數(shù)量化。設(shè)非常不滿意為1,不滿意為2, 一般為3, 滿意為 4, 非常滿意為5，已知 QL = 不滿意 = 2 QU =

26、 一般 = 3四分位差： QD = QU — QL = 3 – 2 = 1,例4.10,根據(jù)例4.6的數(shù)據(jù)，已求得 ,從而四分位差為,(臺(tái)),4.2.3 數(shù)值型數(shù)據(jù)：方差和標(biāo)準(zhǔn)差,測(cè)度數(shù)值型數(shù)據(jù)離散程度的主要方法有極差、 平均差、方差和標(biāo)準(zhǔn)差，但最常用的是方差和標(biāo)準(zhǔn)差.,1.極差,極差(range)是一組數(shù)據(jù)的最大值與最小值之差，

27、即　　未分組數(shù)據(jù)：R＝最大值－最小值　　　　 分組數(shù)據(jù)：R≈最后一組的上限－第一組的下限 (4.12)　　極差計(jì)算簡(jiǎn)單，是描述數(shù)據(jù)離散程度的最簡(jiǎn)單的測(cè)值．但極差易受極端值的影響，并且不能反映中間數(shù)據(jù)的分散程度。　　例如，根據(jù)例4.5的數(shù)據(jù)，得9個(gè)家庭人均月收入的極差為　　　 R＝2000－750＝1250(元),2.平均差,平均差(mean deviation)是各變量值與均值離差絕對(duì)值的平均.平均差雖然能全面反映

28、一組數(shù)據(jù)的分散程度，但由于離差取了絕對(duì)值，這給計(jì)算和統(tǒng)計(jì)性質(zhì)的討論帶來不便，因而實(shí)際工作中應(yīng)用較少.計(jì)算公式為：,未分組數(shù)據(jù),組距分組數(shù)據(jù),(4.13),(4.14),例 4.11,含義：每一天的銷售量與平均數(shù)相比，平均相差17臺(tái),3.方差和標(biāo)準(zhǔn)差,方差和標(biāo)準(zhǔn)差(variance and standard deviation)是最常用的離散程度測(cè)度值. 根據(jù)總體數(shù)據(jù)計(jì)算的稱為總體方差或總體標(biāo)準(zhǔn)差，而根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算的則稱為樣本方差或

29、樣本標(biāo)準(zhǔn)差.,（1）總體方差和標(biāo)準(zhǔn)差,方差的計(jì)算公式未分組數(shù)據(jù)：組距分組數(shù)據(jù)：,標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算公式未分組數(shù)據(jù)：組距分組數(shù)據(jù)：,,總體標(biāo)準(zhǔn)差（例題分析）,某車間５０名工人日加工零件的標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算表,解： 計(jì)算過程列于表，根據(jù)計(jì)算公式得,（個(gè)）,（2）樣本方差和標(biāo)準(zhǔn)差,未分組數(shù)據(jù)：,組距分組數(shù)據(jù)：,未分組數(shù)據(jù)：,組距分組數(shù)據(jù)：,方差的計(jì)算公式,標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算公式,,（4.15）,（4.17）,（4.18）,自由度的說明,1、一組

30、數(shù)據(jù)中可以自由取值的數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)2、當(dāng)樣本數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)為 n 時(shí)，若樣本均值?x 確定后，只有n-1個(gè)數(shù)據(jù)可以自由取值，其中必有一個(gè)數(shù)據(jù)不能自由取值3、例如，樣本有3個(gè)數(shù)值，即x1=2，x2=4，x3=9，則 ?x = 5。當(dāng) ?x = 5 確定后，x1，x2和x3有兩個(gè)數(shù)據(jù)可以自由取值，另一個(gè)則不能自由取值，比如x1=6，x2=7，那么x3則必然取2，而不能取其他值4、樣本方差用自由度去除，其原因可從多方面來解釋，從實(shí)際應(yīng)用角度看，

31、在抽樣估計(jì)中，當(dāng)用樣本方差去估計(jì)總體方差σ2時(shí)，它是σ2的無偏估計(jì)量,例4.12 樣本標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算,含義：每一天的銷售量與平均數(shù)相比，平均相差21.58臺(tái).,方差的展開公式,在實(shí)際計(jì)算時(shí)，也可按展開公式計(jì)算方差,,1．,2．,3．,4．,4.相對(duì)位置的測(cè)量,(1)標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù),標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)(性質(zhì)),標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)(性質(zhì)),標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)只是將原始數(shù)據(jù)進(jìn)行了線性變換，它并沒有改變一個(gè)數(shù)據(jù)在該組數(shù)據(jù)中的位置，也沒有改變?cè)摻M數(shù)分布的形狀，而只是將該組數(shù)據(jù)變?yōu)榫?/p>

32、為0，標(biāo)準(zhǔn)差為1。,例4.13,根據(jù)例4.5的數(shù)據(jù)，計(jì)算每個(gè)家庭的人均月收入的標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù). 解：根據(jù)例4.5的數(shù)據(jù)求可得 ,由(4.19)式得每個(gè)家庭的人均月收入的標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)如下(表4-4) 表4-4 9個(gè)家庭人均月收入標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)計(jì)算表,可以看出，收入最低的家庭其人均收入與平均數(shù)相比低1.042個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差；而收入最高的家庭人均收入比平均數(shù)高1.853個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差。,標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù) (例題分析

33、),前NBA巨星Michael Jordan身高78英寸，而WNBA運(yùn)動(dòng)員R. Lobo身高76英寸，很明顯Jordan高出2英寸，但誰相對(duì)來說高一些呢？（男性平均身高69英寸，標(biāo)準(zhǔn)差為2.8英寸；女性平均身高63.6英寸，標(biāo)準(zhǔn)差為2.5英寸）,Jordan的身高高于平均數(shù)3.21個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差，而Lobo的身高高于平均數(shù)4.96個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差。,(2)經(jīng)驗(yàn)法則,經(jīng)驗(yàn)法則表明：當(dāng)一組數(shù)據(jù)對(duì)稱分布時(shí) ▽ 約有68%的數(shù)據(jù)在均值加減1個(gè)標(biāo)

34、準(zhǔn)差的范圍之內(nèi) ▽ 約有95%的數(shù)據(jù)在均值加減2個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的范圍之內(nèi) ▽ 約有99%的數(shù)據(jù)在均值加減3個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的范圍之內(nèi),（4.15）,(3)切比雪夫不等式(Chebyshev inequality ),對(duì)于k=2，3，4，該不等式的含義是 ▽ 至少有75%的數(shù)據(jù)在平均數(shù)加減2個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的范圍之內(nèi) ▽ 至少有89%的數(shù)據(jù)在平均數(shù)加減3個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的范圍之內(nèi) ▽ 至少有94%的數(shù)據(jù)在平均數(shù)加減4

35、個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的范圍之內(nèi),1）如果一組數(shù)據(jù)不是對(duì)稱分布，經(jīng)驗(yàn)法則就不再使用，這時(shí)可使用切比雪夫不等式，它對(duì)任何分布形狀的數(shù)據(jù)都適用 2）切比雪夫不等式提供的是“下界”，也就是“所占比例至少是多少” 3）對(duì)于任意分布形態(tài)的數(shù)據(jù)，根據(jù)切比雪夫不等式，至少有 (1-1/ ) 的數(shù)據(jù)落在k個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差之內(nèi)。其中k是大于1的任意值，但不一定是整數(shù),4.2.4 相對(duì)離散程度：離散系數(shù),方差或標(biāo)準(zhǔn)差都反映了數(shù)據(jù)分散程度的絕對(duì)值，而影響方差或

36、標(biāo)準(zhǔn)差數(shù)值大小有2個(gè)方面的原因:　　(1)與這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)大小有關(guān)　　(2)與這組數(shù)據(jù)的計(jì)量單位有關(guān)　　　例：設(shè)一組數(shù)據(jù)為1，2，3(n = 3)，則 .而另一組數(shù)據(jù)為100，200，300 ( n = 3 ) ，則 .　　從而對(duì)于不同平均水平或不同計(jì)量單位的兩組數(shù)據(jù)，不能通過直接比較方差或標(biāo)準(zhǔn)差來表明數(shù)據(jù)離散程度的大小. 為消除平均水平與計(jì)量單位的影響，需要計(jì)算離散系數(shù),(4.2

37、0),例4.14,表4-5　某管理局所屬8家企業(yè)的產(chǎn)品銷售數(shù)據(jù),某管理局抽查了8家企業(yè)，其產(chǎn)品銷售數(shù)據(jù)見表4-5.試比較產(chǎn)品銷售額與銷售利潤(rùn)的離散程度.,,,例4.14的解,解：由于銷售額與利潤(rùn)額的平均數(shù)大小不同,不能直接按標(biāo)準(zhǔn)差進(jìn)行比較，需計(jì)算離散系數(shù). 根據(jù)表4-5數(shù)據(jù)，得,由于　　　 ，說明銷售額的離散程度小于銷售利潤(rùn)的離散程度.,數(shù)據(jù)類型與離散程度測(cè)度值,4.3 偏態(tài)與峰態(tài)的測(cè)度,偏態(tài)與峰度是對(duì)數(shù)據(jù)分布形狀的測(cè)度,4.3.1

38、 偏態(tài)及其測(cè)度,(1)未分組樣本數(shù)據(jù)的偏態(tài)系數(shù),(2)分組樣本數(shù)據(jù)的偏態(tài)系數(shù),設(shè)一組數(shù)據(jù) 　　　　　　 分為 k 組，各組的組中值和組頻數(shù)分別為　　　　　　　　　 . 則偏態(tài)系數(shù)的計(jì)算公式為,(4.22),(1)　　　 ，為對(duì)稱分布.,(2)　　　 ，為右偏分布.,(3)　　　 ，為左偏分布.,(4)　　 越大，則偏斜程度就越大.,例4.15,根據(jù)表3-9的數(shù)據(jù)，計(jì)算電腦銷售量的偏態(tài)系數(shù).,表4-6 某電腦公司銷售量偏態(tài)與峰

39、度系數(shù)計(jì)算表,例4.15的解,已知,根據(jù)(4.22)式, 得,偏態(tài)系數(shù)為正值，且數(shù)值較小，說明電腦銷售量為輕微右偏分布，即銷售量較少的天數(shù)占據(jù)多數(shù)，而銷售量較多的天數(shù)則占少數(shù).,4.3.2 峰態(tài)及其測(cè)度,(1)未分組樣本數(shù)據(jù)的峰態(tài)系數(shù),峰態(tài)(kurtosis)是對(duì)分布尖峭或平緩程度的測(cè)度.　 設(shè)一組數(shù)據(jù) 　　　　　，則峰態(tài)系數(shù)(kurtosis coefficient) 的計(jì)算公式為,(4.23),(2)分組樣本數(shù)據(jù)的峰態(tài)系數(shù),峰

40、態(tài)是與正態(tài)分布相比較而言的，由于正態(tài)分布的峰度系數(shù)等于0，所以　　(Ⅰ)　　　，峰態(tài)適中.　　(Ⅱ)　　　，比正態(tài)分布更尖峭，為尖峰分布.　　(Ⅲ)　　　，比正態(tài)分布更平緩，為平峰分布.,設(shè)一組數(shù)據(jù) 　　　　　　 分為 k 組，各組的組中值和組頻數(shù)分別為　　　　　　　　　 . 則峰態(tài)系數(shù)的計(jì)算公式為,(4.24),例 4.16,根據(jù)表 4-6的數(shù)據(jù)，計(jì)算電腦銷售量的峰態(tài)系數(shù).　　解：根據(jù)(4.24)式, 得,由于　　　　　

41、 ，說明電腦銷售量的分布為平峰分布.,偏態(tài)與峰態(tài)(從直方圖上觀察),按銷售量分組(臺(tái)),結(jié)論：1. 為右偏分布 2. 峰態(tài)適中,某電腦公司銷售量分布的直方圖,用Excel計(jì)算描述統(tǒng)計(jì)量,把第3章表3-9電腦公司的銷售量的數(shù)據(jù)輸入到Excel工作表中，然后按下列步驟操作： 1.選擇【工具】下拉菜單, 并選擇【數(shù)據(jù)分析】命令. 2.在【數(shù)據(jù)分析】對(duì)話框中，選擇【描述統(tǒng)計(jì)】，并單擊【確定】.