統(tǒng)計學【第5章概率】

1、●,甲、乙二人賭博，各出賭注30元，共60元，每局甲、乙勝的機會均等，都是1/2。約定：誰先勝滿3局則他贏得全部賭注60元，現(xiàn)已賭完3局，甲2勝1負，而因故中斷賭局，問這60元賭注該如何分給2人，才算公平？,分 賭 注 問 題,帕斯卡和費爾馬一邊親自賭博，一邊仔細分析計算賭博中出現(xiàn)的各種問題，終于完整地解決了“分賭注問題”，并將此題的解法向更一般的情況推廣，從而建立了概率論的一個基本概念—數(shù)學期望。,分 賭 注 問 題,而惠更斯經(jīng)過多年

2、的潛心研究，解決了擲骰子中的一些數(shù)學問題。1657年，他將自己的研究成果寫成了專著《論擲骰子游戲中的計算》。這本書迄今為止被認為是概率論中最早的論著。,分 賭 注 問 題,在他們之后，對概率論這一學科做出貢獻的是瑞士數(shù)學雅可布·貝努利。他在前人研究的基礎上，繼續(xù)分析賭博中的其他問題，給出了“賭徒輸光問題”的詳盡解法，并證明了被稱為“大數(shù)定律”的一個定理，這是研究等可能性事件的古典概率論中的極其重要的結果。,分 賭 注 問 題,

3、概 率 的 意 義,了解發(fā)生意外事故的可能性大小，確定保險金額；了解來商場購物的顧客人數(shù)的各種可能性大小，合理配置服務人員；了解每年最大洪水超警戒線可能性大小，合理確定堤壩高度；了解學生報道率，以確定床位數(shù),基 本 概 念,在自然界和人類社會生活中，普遍存在著兩類現(xiàn)象，一類是在一定條件下必然出現(xiàn)的現(xiàn)象，稱為確定性現(xiàn)象；另一類則是我們事先無法準確預知其結果的現(xiàn)象，稱為隨機現(xiàn)象（帶有隨機性、偶然性的現(xiàn)象）。,隨機現(xiàn)象,基 本 概 念,

4、隨機現(xiàn)象的特點：當人們在一定的條件下對它加以觀察或進行試驗時，觀察或試驗的結果是多個可能結果中的某一個。而且在每次試驗或觀察前都無法確知其結果，即呈現(xiàn)出偶然性。或者說，出現(xiàn)哪個結果“憑機會而定”。,隨機現(xiàn)象,基 本 概 念,下面那些現(xiàn)象是隨機現(xiàn)象？A 明天的最高溫度B 在地面上拋物體會下落C 新生嬰兒的體重D 太陽從東方升起,隨機現(xiàn)象,基 本 概 念,由于隨機現(xiàn)象的結果事先不能預知，初看似乎毫無規(guī)律。然而人們發(fā)現(xiàn)

5、同一隨機現(xiàn)象大量重復出現(xiàn)時，其每種可能的結果出現(xiàn)的頻率具有穩(wěn)定性，從而表明隨機現(xiàn)象也有其固有的規(guī)律性。人們把隨機現(xiàn)象在大量重復出現(xiàn)時所表現(xiàn)出的量的規(guī)律性稱為隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性。,隨機現(xiàn)象,基 本 概 念,拋硬幣實驗,隨機現(xiàn)象,基 本 概 念,“天有不測風云”和“天氣可以預報”有矛盾嗎？天有不測風云：隨機現(xiàn)象一次實現(xiàn)的偶然性天氣可以預報：研究者從大量的氣象資料來探索這些偶然現(xiàn)象的規(guī)律性從表面上看，隨機現(xiàn)象的每一次觀察結果都是隨機

6、的，但多次觀察某個隨機現(xiàn)象，便可以發(fā)現(xiàn)，在大量的偶然之中存在著必然的規(guī)律。,隨機現(xiàn)象,基 本 概 念,為了對隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性進行研究，就需對隨機現(xiàn)象進行重復觀察，我們把對隨機現(xiàn)象的觀察稱為隨機試驗，并簡稱為試驗，記為E。例如，觀察某射手對固定目標進行射擊；拋一枚硬幣三次，觀察出現(xiàn)正面的次數(shù)；記錄某市120急救電話一晝夜接到的呼叫次數(shù)等，均為隨機試驗。,隨機試驗,基 本 概 念,可重復性：試驗可以在相同的條件下重復進行；可觀察性：

7、試驗結果可觀察，所有可能的結果是明確的；不確定性：每次試驗出現(xiàn)的結果事先不能準確預知。,隨機試驗,基 本 概 念,我們把隨機試驗的每個基本結果稱為樣本點，記作e 或ω. 全體樣本點的集合稱為樣本空間。樣本空間用S或Ω表示.,樣本空間,樣本點e,基 本 概 念,例如：如果試驗是將一枚硬幣拋擲兩次，則樣本空間由如下四個樣本點組成： S={(正,正), (正,反), (反,正), (反,反)},樣本空間,樣本空間在如下意義上提供了一

8、個理想試驗的模型：在每次試驗中必有一個樣本點出現(xiàn)且僅有一個樣本點出現(xiàn) 。,基 本 概 念,如果試驗是測試某種燈泡的壽命：則樣本點是一非負數(shù)，由于不能確知壽命的上界，所以可以認為任一非負實數(shù)都是一個可能結果，故樣本空間S = {t∣t ≥0｝,樣本空間,基 本 概 念,在隨機試驗中，人們除了關心試驗的結果本身外，還關心試驗的結果是否具備某一指定的可觀察的特征，概率論中將這一可觀察的特征稱為一個事件：隨機事件：在試驗中可能發(fā)

9、生也可能不發(fā)生的事件;必然事件：在每次試驗中都必然發(fā)生的事件;不可能事件：在任一次試驗中都不可能發(fā)生的事件。,隨機事件,基 本 概 念,在拋擲一枚骰子的試驗中，假設我們關心出現(xiàn)的點數(shù)是否為奇數(shù)， “點數(shù)為奇數(shù)”就是一個事件。它在試驗中可能發(fā)生也可能不發(fā)生，是一隨機事件。同樣，“點數(shù)小于7”與“點數(shù)為8”也分別是一個事件，前者在試驗中是必然發(fā)生的，即是必然事件，后者在試驗中是不可能發(fā)生的，即是不可能事件。,隨機事件,基 本 概 念

10、,引入樣本空間后，事件便可表示為樣本空間的子集。用A，B，…來表示。例如，擲一顆骰子，觀察出現(xiàn)的點數(shù)樣本空間： S = { 1,2,3,4,5,6｝事件B:“點數(shù)小于5”→ B={1,2,3,4}；事件B就是S的一個子集。B發(fā)生當且僅當B中的樣本點1，2，3，4中的某一個出現(xiàn)。,集合表示,基 本 概 念,稱僅含一個樣本點的事件為基本事件；稱含有兩個或兩個以上樣本點的事件為復合事件。,集合表示,基 本 概 念,事件關系,關系

11、,符號,概率論中的意義,集合論,包含,若A發(fā)生必有B發(fā)生（B不發(fā)生則A必不發(fā)生）,A是B的子集,等價,事件A包含B 事件B包含A,A與B相等,基 本 概 念,事件關系,關系,符號,概率論中的意義,集合論,互不相容（互斥）,對立（逆事件）,事件A與B不能同時發(fā)生,A與B無公共元素,事件“非A”,A的余集,基 本 概 念,事件運算,運算,符號,概率論中的意義,集合論,事件的和 （并）,事件A與B至少有一個發(fā)生,A與B的并集,事件

12、的積（交）,事件A與B同時發(fā)生,A與B的交集,事件的差,事件A發(fā)生，B不發(fā)生,A與B的差集,基 本 概 念,韋恩 圖,基 本 概 念,假定某個試驗有有限個可能的結果，e1, e2, …，en，假定從該試驗的條件及實施方法上去分析，我們找不到任何理由認為其中某一結果例如ei，比任一其它結果ej,更有優(yōu)勢，則我們只好認為所有結果在試驗中有同等可能的出現(xiàn)機會，即1/n的出現(xiàn)機會。,古典概率,基 本 概 念,定義 若隨機試驗滿足下

13、述兩個條件： (1) 它的樣本空間只有有限多個樣本點； (2) 每個樣本點出現(xiàn)的可能性相同。稱這種試驗模型為等可能概型或古典概型。,古典概率,基 本 概 念,古典概率,則事件A發(fā)生的概率,稱此概率為古典概率,,這種確定概率的方法稱為,古典方法.,設事件A包含其樣本空間S中K個基本事件,,即,基 本 概 念,古典概率,把C、C、E、E、I、N、S七個字母分別寫在七張同樣的卡片上，并且將卡片放入同一盒中，現(xiàn)從盒中任意一張一張地將

14、卡片取出，并將其按取到的順序排成一列，假設排列結果恰好拼成一個英文單詞：,C,I,S,N,C,E,E,基 本 概 念,古典概率,拼成英文單詞SCIENCE 的情況數(shù)為,故該結果出現(xiàn)的概率為：,這個概率很小，如果多次重復這一抽卡試驗，則我們所關心的事件在1260次試驗中大約出現(xiàn)1次。,解：七個字母的排列總數(shù)為7！,古 典 概 率,例：一個袋子中裝有 10 個大小相同的球，其中 3個黑球，7個白球，求：(1) 從袋子中任取一球，這個球是黑

15、球的概率；(2)從袋子中任取兩球，剛好一個白球一個黑球的概率以及兩個球全是黑球的概率。,古 典 概 率,(1) 從袋子中任取一球，這個球是黑球的概率；,(1),解,10 個球中任取一個,,從,而根據(jù)古典概率計算,,的概率為,古 典 概 率,(2)從袋子中任取兩球，剛好一個白球一個黑球的概率以及兩個球全是黑球的概率。,解,(2),10 個球中任取兩球的取法有,種,,其中,種取法,,事件“剛好取到一個白球一個黑球”，,古 典 概 率,(2

16、)從袋子中任取兩球，剛好一個白球一個黑球的概率以及兩個球全是黑球的概率。,解,(2),10 個球中任取兩球的取法有,種,,其中,兩個球均是黑球的取法有,種,,為,球均為黑球”，則：,事件“兩個,頻 率 的 定 義,次數(shù)為,頻率具有下述基本性質:,1.,2.,3.,則,定義：若在相同條件下進行n次試驗，,其中 發(fā)生的,頻 率 的 穩(wěn) 定 性,在充分多次試驗中，事件的頻率總在一個定值附近擺動，而且，試驗次數(shù)越多，一般來說擺動越小.

17、 這個性質叫做頻率的穩(wěn)定性。頻率在一定程度上反映了事件發(fā)生的可能性大小。盡管每進行一連串（n次）試驗，所得到的頻率可以各不相同，但只要 n相當大，頻率與概率是會非常接近的。,,定義,在相同條件下進行n次重復試驗,,若事件A,發(fā)生的頻率,隨著試驗次數(shù)n的增大而,穩(wěn)定地在某個常數(shù)P附近擺動,,則稱P為事件A的概率，,記為P(A).,概 率 的 統(tǒng) 計 定 義,,概率被視為頻率的穩(wěn)定值,,從而應具有與頻率相應的,性質:,1.,,2.,3.

18、,則,概 率 的 統(tǒng) 計 定 義,,例如，若我們希望知道某射手中靶的概率，應對這個射手在同樣條件下大量射擊情況進行觀察記錄。,若他射擊n發(fā)，中靶m發(fā)，當n很大時，可用頻率m/n作為他中靶概率的估計。,概 率 的 統(tǒng) 計 定 義,,例：從某魚池中取 100 條魚,做上記號后再放入該魚池中。先從該池中任意捉來 40 條魚，發(fā)現(xiàn)其中兩條有記號，問池內(nèi)大約有多少條魚?,解,設池內(nèi)有n條魚，,則從池中捉到一條有記號魚的,概率為100/n ，,

19、它近似于捉到有記號魚的頻率2/40，,即,,故池內(nèi)大約有2000條魚.,概 率 的 統(tǒng) 計 定 義,概 率 的 統(tǒng) 計 定 義,,拋硬幣試驗中正反面出現(xiàn)的概率各是1/2，如果你做了100次試驗，出現(xiàn)正面這個事件發(fā)生了20次，你會有什么想法？如果另外一位同學做了100次試驗，前99次都是正面，你又會有什么想法？,基 本 概 念,主觀概率,一些概率既不能由等可能性來計算，也不可能從試驗得出。比如，你五年內(nèi)去歐洲旅游的概率等。這種概率稱為

20、主觀概率(subjective probability)?？梢哉f，主觀概率是一次事件的概率?；驗榛谒莆盏男畔?，某人對某事件發(fā)生的自信程度。,概 率 的 性 質,性質1,概 率 的 性 質,性質4,例,某城市中發(fā)行 2 種報紙,經(jīng)調查,,在這,2 種報紙的訂戶中,,訂閱,求只訂一種報紙的概率,例,例,條 件 概 率,Monty Hall problem,條 件 概 率,如在事件A發(fā)生的條件下求事件B發(fā)生的概率，將此概率記作P(B|

21、A).,P(B)=1/6，,例如，擲一顆均勻骰子，B={擲出2點}，,A={擲出偶數(shù)點}，,P(B|A)=？,已知事件A發(fā)生，此時試驗所有可能結果構成的集合就是A，,于是P(B|A)= 1/3.,A中共有3個元素，它們的出現(xiàn)是等可能的，其中只有1個在集A中，,條 件 概 率,定義,設A、B是兩個事件，,且,則稱,(1),為在事件A發(fā)生的條件下，,事件B的條件概率.,注：,若事件A已,發(fā)生，且又是B中的樣本點，則此點,必屬于AB.,因已知

22、A已發(fā)生,,故A成為新的樣本空間。,用韋恩圖表達(1)式.,條 件 概 率,定義,設A、B是兩個事件，,且,則稱,為在事件A發(fā)生的條件下，,事件B的條件概率.,P(AB)為事件A、B同時發(fā)生的概率，即聯(lián)合概率。,P(A)或P(B)為事件A或B的邊緣概率。,,條 件 概 率 的 計 算,,1) 用定義計算:,條 件 概 率 的 計 算,條 件 概 率 的 計 算,,2)從加入條件后改變了的情況去算,P(A|B）=,B發(fā)生后的縮減樣

23、本空間所含樣本點總數(shù),在縮減樣本空間中A所含樣本點個數(shù),條 件 概 率,Monty Hall problem,聯(lián) 合 概 率,由條件概率的定義：,即 若P(A)>0，則P(AB)=P(A)P(B|A),而 P(AB)=P(BA),將A、B的位置對調，有,故 P(B)>0，則P(AB)=P(B)P(A|B),若 P(B)>0，則P(BA)=P(B)P(A|B),條 件 概 率,例 設某種動物由出生

24、算起活到20年以上的概率為0.8，活到25年以上的概率為0.4. 問現(xiàn)年20歲的這種動物，它能活到25歲以上的概率是多少？,解：設A={能活20年以上}，B={能活25年以上},依題意， P(A)=0.8, P(B)=0.4,所求為P(B|A) .,一場精彩的足球賽將要舉行，5個球迷好不容易才搞到一張入場券。大家都想去，只好用抽簽的方法來解決。,5張同樣的卡片，只有一張上寫有“入場券”，其余的什么也沒寫。將它們放在一起，洗勻，讓5個

25、人依次抽取。,到底誰說的對呢？,“先抽的人當然要比后抽的人抽到的機會大. ”,“大家不必爭先恐后，你們一個一個按次序來，誰抽到入場券的機會都一樣大.”,事 件 的 獨 立 性,顯然 P(A|B)=P(A),這就是說，已知事件B發(fā)生，并不影響事件A發(fā)生的概率，這時稱事件A、B獨立。,A={第二次擲出6點}， B={第一次擲出6點}，,將一顆均勻骰子連擲兩次，,設,事 件 的 獨 立 性,由乘法公式知，當事件A、B

26、獨立時，有： P(AB)=P(A) P(B),P(AB)=P(B)P(A|B),定義：若兩事件A、B滿足 P(AB)= P(A) P(B) 則稱A、B獨立，或稱A、B相互獨立。,例 從一副不含大小王的撲克牌中任取一張，記 A={抽到K}, B={抽到的牌是黑色的}，問事件A、B是否獨立？,可見, P(AB)=P(A)P(B)，,由于 P(A)=4/52=1/13,,說明事

27、件A、B獨立。,解：,P(AB)=2/52=1/26,P(B)=26/52=1/2,例5 有三個箱子，分別編號為1,2,3，1號箱裝有1個紅球4個白球，2號箱裝有2紅3白球，3號箱裝有3紅球。某人從三箱中任取一箱，從中任意摸出一球，求取得紅球的概率。,1,,,,,2,,,,,3,,,,,,解：記 Ai={球取自i號箱}， i=1,2,3; B ={取得紅球},即 B= A1B+A2B+A3B， 且 A1B、A2B、A3B兩兩互斥

28、,B發(fā)生總是伴隨著A1，A2，A3 之一同時發(fā)生，,P(B)=P( A1B)+P(A2B)+P(A3B),運用加法公式得,將此例中所用的方法推廣到一般的情形，就得到在概率計算中常用的全概率公式。,對求和中的每一項運用乘法公式得,P(B)=P( A1B)+P(A2B)+P(A3B),代入數(shù)據(jù)計算得：P(B)=8/15,全 概 率 公 式,設S為隨機試驗的樣本空間，A1,A2,…,An是兩兩互斥的事件，且有P(Ai)>0，i =1

29、,2,…,n,,稱滿足上述條件的A1,A2,…,An為完備事件組.,則對任一事件B，有,全 概 率 公 式,全概率公式的來由, 不難由上式看出:“全”部概率P(B)被分解成了許多部分之和。,它的理論和實用意義在于：在較復雜情況下直接計算P(B)不易，但B總是伴隨著某個Ai出現(xiàn)，適當?shù)厝嬙爝@一組Ai往往可以簡化計算.,全 概 率 公 式,某一事件B的發(fā)生有各種可能的原因(i=1,2,…,n)，如果B是由原因Ai所引起，則B發(fā)生的概

30、率是,每一原因都可能導致B發(fā)生，故B發(fā)生的概率是各原因引起B(yǎng)發(fā)生概率的總和，即全概率公式.,P(B)=P(Ai)P(B |Ai),我們還可以從另一個角度去理解全概率公式：,例:（敏感性問題的調查）學生閱讀黃色書刊和看黃色影像會影響學生身心健康發(fā)展，但這些都是避開家長進行的，屬于個人隱私行為。要調查觀看黃色書刊和影像的學生在全體學生中所占的比例p是一件難事。這里的關鍵是要設計一個調查方案，使被調查者愿意做出真實的回答又能保守個隱私。,St

31、anley L.Warner發(fā)明了一種可以消除人們抵觸情緒的隨機化應答方法。調查方案的核心是如下兩個問題：問題A：你的生日是否在7月1日之前？ 問題B：你是否看過黃色書刊或影像？,被調查者事先從一個裝有黑球和白球的箱子中隨機抽取一個球，看過顏色后又放回。若抽出白球則回答問題A；若抽出黑球則回答問題B。,箱中黑球所占比率a是已知的，即 P {任意抽取一個是黑球}=a P {任意抽取一個是白球}= 1-a,被調查者無論回答A 題或

32、 B，都只需在一張只有“是”和“否”兩個選項的答卷上作出選擇，然后投入密封的投票箱內(nèi)。,上述抽球和答卷都在一間無人的房間內(nèi)進行，任何人都不知道被調查者抽到什么顏色的球以及在答卷中如何選擇，這樣就不會泄露個人秘密，從而保證了答卷的真實可靠性。,當有較多的人參加調查后，打開投票箱進行統(tǒng)計。設共有n張有效答卷，其中k張選擇“是”，則可用頻率k/n估計回答“是”的概率β ，記為：,β=p{答’是’}= k/n,回答是有兩種情況：一種是摸到白球

33、對問題A回答是，也就是被調查者“生日在7月1日之前”的概率，一般認為是0.5，即 P{答是|抽白球} =0.5,另一種是摸到黑球后對問題B回答是，這個條件概率就是看不健康書刊或影像的學生在參加調查的學生中的比率p，即：P{答是|抽黑球} =p,利用全概率公式得： P{答是}=P{抽白球} ×P {答是|抽白球}＋P {抽黑球} ×P {答是|抽黑球},如在一項調查大學生看過不健康書刊或影

34、像的調查時共有全校1583名學生參加，最后統(tǒng)計答卷，全部有效。其中回答“是”的有389張，據(jù)此可估算出:,假設箱子中共有50個球，其中30個黑球，則a=0.6 。,實際中還有下面一類問題，是“已知結果求原因”,這一類問題在實際中更為常見：已知某結果發(fā)生條件下，求各原因發(fā)生可能性大小。,某人從任一箱中任意摸出一球，發(fā)現(xiàn)是紅球,求該球是取自1號箱的概率。,或者問:該球取自哪號箱的可能性最大?,有三個箱子，分別編號為1,2,3，1號箱裝有1個

35、紅球4個白球，2號箱裝有2紅球3白球，3號箱裝有3紅球。某人從三箱中任取一箱，從中任意摸出一球，發(fā)現(xiàn)是紅球,求該球是取自1號箱的概率。,記 Ai={球取自i號箱}, i=1,2,3; B ={取得紅球},求P(A1|B),運用全概率公式計算P(B),將這里得到的公式一般化，就得到,貝葉斯公式,貝 葉 斯 公 式,該公式于1763年由貝葉斯(Bayes)給出。它是在觀察到事件B已發(fā)生的條件下，尋找導致B發(fā)生的每個原因的概

36、率。,則對任一事件,有,例 某一地區(qū)患有癌癥的人占0.005，患者對一種試驗反應是陽性的概率為0.95，正常人對這種試驗反應是陽性的概率為0.04，現(xiàn)抽查了一個人，試驗反應是陽性，問此人是癌癥患者的概率有多大?,則 表示“抽查的人不患癌癥”.,解:,設 C={抽查的人患有癌癥}， A={結果是陽性},由貝葉斯公式，可得,代入數(shù)據(jù)計算得: P(C|A)= 0.1066,現(xiàn)在來分析一下結果的意義：,檢出陽性是否一定患有癌癥?,這種試驗

37、對于診斷一個人是否患有癌癥有無意義？,如果不做試驗，抽查一人是患者的概率P(C)=0.005,患者陽性反應的概率是0.95，若試驗后得陽性反應，則根據(jù)試驗得來的信息，此人是患者的概率為 P(C|A)= 0.1066,這種試驗對于診斷一個人是否患有癌癥有意義.,從0.005增加到0.1066,將近增加約21倍.,1. 試驗對于診斷一個人是否患有癌癥有無意義？,2. 檢出陽性是否一定患有癌癥?,,試驗結果為陽性,此人確患癌癥的概率為

38、 P(C｜A)=0.1066,即使某人檢出陽性，尚可不必過早下結論他有癌癥，這種可能性只有10.66%，此時醫(yī)生常要通過再試驗來確認。,貝葉斯公式從數(shù)量上刻畫了這種變化。,在貝葉斯公式中，P(Ai)和P(Ai |B)分別稱為原因的先驗概率和后驗概率。,P(Ai)(i=1,2,…,n)是在沒有進一步信息（不知道事件B是否發(fā)生）的情況下，人們對諸事件發(fā)生可能性大小的認識。當有了新的信息