統(tǒng)計(jì)學(xué)06第6章--統(tǒng)計(jì)量及其抽樣分布

1、第 6 章 統(tǒng)計(jì)量及其抽樣分布,第 6 章 統(tǒng)計(jì)量及其抽樣分布,6.1 統(tǒng)計(jì)量6.2 關(guān)于分布的幾個(gè)概念 6.3 由正態(tài)分布導(dǎo)出的幾個(gè)重要分布 6.4 樣本均值的分布與中心極限定理6.5 樣本比例的抽樣分布6.6 兩個(gè)樣本平均值之差的分布6.7 關(guān)于樣本方差的分布,學(xué)習(xí)目標(biāo),了解統(tǒng)計(jì)量及其分布的幾個(gè)概念了解由正態(tài)分布導(dǎo)出的幾個(gè)重要分布 理解樣本均值的分布與中心極限定理掌握單樣本比例和

2、樣本方差的抽樣分布,6.1 統(tǒng)計(jì)量,6.1.1 統(tǒng)計(jì)量的概念6.1.2 常用統(tǒng)計(jì)量6.1.3 次序統(tǒng)計(jì)量 6.1.4 充分統(tǒng)計(jì)量,統(tǒng)計(jì)量(statistic),設(shè)X1,X2,…,Xn是從總體X中抽取的容量為n的一個(gè)樣本，如果由此樣本構(gòu)造一個(gè)函數(shù)T(X1,X2,…,Xn)，不依賴于任何未知參數(shù)，則稱函數(shù)T(X1,X2,…,Xn)是一個(gè)統(tǒng)計(jì)量樣本均值、樣本比例、樣本方差等都是常用統(tǒng)計(jì)量當(dāng)獲得樣本的一組具體觀測(cè)

3、值x1,x2,…,xn時(shí)，代入T函數(shù)，就得到一個(gè)具體的統(tǒng)計(jì)量值統(tǒng)計(jì)量是樣本的一個(gè)函數(shù)，樣本X1,X2,…,Xn是隨機(jī)變量，故統(tǒng)計(jì)量也是一個(gè)隨機(jī)變量,#簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本的兩個(gè)基本特性,獨(dú)立性即X1,X2,…,Xn中各個(gè)隨機(jī)變量的取值互不影響稱X1,X2,…,Xn是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量代表性（同分布性）即樣本中的每個(gè)樣本點(diǎn)都與總體同分布；X1,X2,…,Xn中每一個(gè)隨機(jī)變量都與總體X有相同的概率分布,次序統(tǒng)計(jì)量,設(shè)（X1,X2,…,

4、Xn）是從總體X中抽取的一個(gè)樣本，記x1,x2,…,xn為樣本的一組觀測(cè)值,將觀測(cè)值按從小到大的遞增序列重新排列為 x（1）≤ x（2）≤…≤ x（i）≤…≤ x（n） 當(dāng)（X1,X2,…,Xn ）取值為（ x1,x2,…,xn ），定義X（ i ）取值為x （ i ）（i=1,2, …,n）,由此得到（X（1），X（2），…，X（n） ）,稱為次序統(tǒng)計(jì)量 中位數(shù)、分位數(shù)、四分位數(shù)等都是次序統(tǒng)計(jì)量,充分統(tǒng)計(jì)量

5、,設(shè)X1,X2,…,Xn為取自總體分布F θ的樣本，θ為未知參數(shù)，T為一個(gè)統(tǒng)計(jì)量。若當(dāng)給定T時(shí)，樣本X1,X2,…,Xn的條件分布與未知參數(shù)θ無(wú)關(guān)，則稱T為充分統(tǒng)計(jì)量。充分統(tǒng)計(jì)量并不依賴于被估計(jì)的參數(shù)。充分統(tǒng)計(jì)量是指能夠完整反映樣本中所包含的總體信息的統(tǒng)計(jì)量?！俺浞帧倍?，并不是指能夠充分反映總體參數(shù)，而是指能夠充分反映樣本中與總體參數(shù)相關(guān)的信息。,6.2 關(guān)于分布的幾個(gè)概念,6.2.1 抽樣分布6.2.2 漸進(jìn)分布

6、6.2.3 隨機(jī)模擬獲得的近似分布,樣本統(tǒng)計(jì)量的概率分布，就是抽樣分布在重復(fù)選取容量為n的樣本時(shí)，由該統(tǒng)計(jì)量的所有可能取值形成的相對(duì)頻數(shù)分布抽樣分布結(jié)果來(lái)自容量相同的所有可能樣本樣本統(tǒng)計(jì)量是隨機(jī)變量樣本均值, 樣本比例，樣本方差等抽樣分布提供了樣本統(tǒng)計(jì)量長(zhǎng)遠(yuǎn)而穩(wěn)定的信息，是進(jìn)行推斷的理論基礎(chǔ)，也是抽樣推斷科學(xué)性的重要依據(jù),抽樣分布 (sampling distribution),6.3 由正態(tài)分布導(dǎo)出的幾個(gè)重要分布,6

7、.3.1 ?2分布6.3.2 t 分布6.3.3 F 分布,正態(tài)分布,正態(tài)分布(normal distribution),描述連續(xù)型隨機(jī)變量的最重要的分布經(jīng)典統(tǒng)計(jì)推斷的基礎(chǔ),概率密度函數(shù),,f(x) = 隨機(jī)變量 X 的頻數(shù) ? =3.14159; e = 2.71828x = 隨機(jī)變量的取值 (-? < x < +?)? = 總體均值?? = 總體方差,正態(tài)分布函數(shù)的性質(zhì),概率密度函數(shù)在x 的上

8、方，即f (x)>0正態(tài)分布是一個(gè)分布族，每一特定正態(tài)分布通過(guò)均值?和標(biāo)準(zhǔn)差?來(lái)區(qū)分正態(tài)曲線的最高點(diǎn)在均值?，它也是分布的中位數(shù)和眾數(shù)；? 決定了圖形的中心位置, ?決定曲線的平緩程度，即寬度曲線f(x)相對(duì)于均值?對(duì)稱，尾端向兩個(gè)方向無(wú)限延伸，且理論上永遠(yuǎn)不會(huì)與橫軸相交隨機(jī)變量X的概率由曲線下的面積給出正態(tài)曲線下的總面積等于1,? 和? 對(duì)正態(tài)曲線的影響,正態(tài)分布的概率,概率是曲線下的面積!,標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布(stand

9、ard normal distribution),,一般的正態(tài)分布取決于均值?和標(biāo)準(zhǔn)差 ?計(jì)算概率時(shí) ，每一個(gè)正態(tài)分布都需要有自己的正態(tài)概率分布表，這種表格是無(wú)窮多的若能將一般的正態(tài)分布轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，計(jì)算概率時(shí)只需要查一張表,標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù),標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度函數(shù),任何一個(gè)一般的正態(tài)分布，可通過(guò)下面的線性變換轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù),,,-b,,,標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表的使用,,將一個(gè)一般的正態(tài)分

10、布轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布計(jì)算概率時(shí) ，查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)概率分布表對(duì)于負(fù)的 x ，可由? (-x)???? ?x?得到對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，即X~N(0,1)，有P (a? X ?b)? ? ?b? ?? ?a?P (|X| ?a)? 2? ?a? ?1對(duì)于一般正態(tài)分布，即X~N(? , ?)，有,正態(tài)分布(例題分析),【例】設(shè)X~N(0，1)，求以下概率： (1) P(X 2)； (3) P(-12)=1- P(X ? 2)=1-0

11、.9973=0.0227 (3) P(-1<X ?3)= P(X ?3)- P(X <-1) = ?(3)- ?(-1)= ?(3) – [1-?(1)] = 0.9987-(1-0.8413)=0.84 (4) P(| X | ? 2

12、) = P(-2? X ? 2)= ?(2)- ?(-2) = ?(2)- [1-?(2)]=2 ?(2)- 1=0.9545,正態(tài)分布 (例題分析),【例】設(shè)X~N(5，32)，求以下概率 (1) P(X ?10) ； (2) P(2<X <10) 解： (1),(2),?2 分布,分布的定義,?2分布(?2

13、distribution),X1,X2,…,Xn為獨(dú)立同分布于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體N(0,1)的隨機(jī)變量，則稱隨機(jī)變量：,所服從的分布為自由度是n的 分布，記為,隨機(jī)變量取非負(fù)值期望：E(?2)=n，方差：D(?2)=2n(n為自由度)可加性：若U和V為兩個(gè)獨(dú)立的?2分布隨機(jī)變量，U~?2(n1)，V~?2(n2),則U+V這一隨機(jī)變量服從自由度為n1+n2的?2分布 ：U+V~?2(n1+n2)?2分布的形狀取決于其自由度n的大

14、?。▓D示），通常為不對(duì)稱的正偏分布，但隨著自由度的增大逐漸趨于對(duì)稱 ；當(dāng)n→+ ∞時(shí)， ?2分布的極限分布是正態(tài)分布,?2分布(性質(zhì)和特點(diǎn)),,c2分布(圖示),,?2分布的分位數(shù),f(?2),t 分布,t 分布,設(shè)隨機(jī)變量X~N（0,1）,Y~ ?2（n）,X與Y獨(dú)立，則有 t 分布是類似正態(tài)分布的一種對(duì)稱分布，它通常要比正態(tài)分布平坦和分散一個(gè)特定的分布依賴于稱之為自由度的參數(shù)。隨著自由度的增大，分布也逐漸趨于正態(tài)分布,,,

15、t 分布圖示,t 分布(性質(zhì)和特點(diǎn)),,2,t 分布(重要定理),設(shè)X1,X2,…,Xn是從正態(tài)分布總體X中隨機(jī)抽取的一個(gè)樣本， X~N（ μ ，σ2 ）則有,F 分布,設(shè)若Y為服從自由度為m的?2分布，即Y~?2(m)，Z為服從自由度為n的?2分布，即Z~?2(n),且Y和Z相互獨(dú)立，則稱隨機(jī)變量F為服從第一自由度為m，第二自由度為n的F分布，記為注：兩個(gè)自由度位置不可以互換,F分布(F distribution),,

16、F分布(圖示),? 不同自由度的F分布,F分布的數(shù)學(xué)期望和方差若F~F（m,n）,則 1/F~F（n,m）Fp(v1,v2) = 1/F1-p(v2,v1),F分布(性質(zhì)),,,6.4 樣本均值的分布與中心極限定理,在重復(fù)選取容量為n的樣本時(shí)，由樣本均值的所有可能取值形成的概率分布是一種理論概率分布推斷總體均值?的理論基礎(chǔ),樣本均值的抽樣分布,樣本均值的抽樣分布與中心極限定理,當(dāng)總體服從正態(tài)分布N(μ,σ2)時(shí)，來(lái)

17、自該總體的所有容量為n的樣本的均值?x也服從正態(tài)分布，?x 的數(shù)學(xué)期望為μ，方差為σ2/n。即?x～N(μ,σ2/n),中心極限定理(central limit theorem),從均值為?，方差為? 2的一個(gè)任意總體中抽取容量為n的樣本，當(dāng)n充分大時(shí)，樣本均值的抽樣分布近似服從均值為μ、方差為σ2/n的正態(tài)分布,中心極限定理 (central limit theorem),?x 的分布趨于正態(tài)分布的過(guò)程,,6.5 樣本比例的抽樣

18、分布,總體(或樣本)中具有某種屬性的單位與全部單位總數(shù)之比不同性別的人與全部人數(shù)之比合格品(或不合格品) 與全部產(chǎn)品總數(shù)之比總體比例可表示為樣本比例可表示為X為具有某一特征的個(gè)體數(shù)n為樣本容量,比例(proportion),,在重復(fù)選取容量為n的樣本時(shí)，由樣本比例的所有可能取值形成的概率分布一種理論概率分布當(dāng)樣本容量很大時(shí)，樣本比例的抽樣分布可用正態(tài)分布近似 推斷總體比例?的理論基礎(chǔ),樣本比例的抽

19、樣分布,樣本比例的期望樣本比例的方差n很大時(shí)，樣本比例的抽樣分布趨近正態(tài)分布，即,樣本比例的抽樣分布(數(shù)學(xué)期望與方差),,,,N,6.6 兩個(gè)樣本均值之差的抽樣分布,兩個(gè)總體都為正態(tài)分布，即 ， 兩個(gè)樣本均值之差 的抽樣分布服從正態(tài)分布，其分布的數(shù)學(xué)期望為兩個(gè)總體均值之差 方差為各自的方差之和3. 當(dāng)較大

20、時(shí)， 的抽樣分布近似于正態(tài)分布,兩個(gè)樣本均值之差的抽樣分布,,兩個(gè)樣本比例之差的抽樣分布,6.7 關(guān)于樣本方差的分布,6.7.1 樣本方差的分布 6.7.2 兩個(gè)樣本方差比的分布,樣本方差的分布,在重復(fù)選取容量為n的樣本時(shí)，由樣本方差的所有可能取值形成的概率分布對(duì)于來(lái)自正態(tài)總體的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，則比值 的抽樣分布服從自由度為 (n -1) 的?2分布，即,兩個(gè)樣本方差比的分布,兩個(gè)總體都為正態(tài)分

21、布，即X1~N(μ1 ,σ12)，X2~N(μ2 ,σ22 )從兩個(gè)總體中分別抽取容量為n1和n2的獨(dú)立樣本兩個(gè)樣本方差比的抽樣分布，服從分子自由度為(n1-1)，分母自由度為(n2-1) 的F分布，即,,,是,不是,是,是,是,不是,習(xí)題,例1 調(diào)節(jié)一個(gè)裝瓶機(jī)使其對(duì)每個(gè)瓶子的灌裝量均值為?盎司，通過(guò)觀察這臺(tái)裝瓶機(jī)對(duì)每個(gè)瓶子的灌裝量服從標(biāo)準(zhǔn)差?=1.0盎司的正態(tài)分布. 隨機(jī)抽取由這臺(tái)機(jī)器灌裝的9個(gè)瓶子形成一個(gè)樣本，測(cè)定灌裝量.

22、 試確定樣本均值偏離總體均值不超過(guò)0.3盎司的概率.,習(xí)題,解 因?yàn)?所求概率,例2 上例中，若我們希望樣本均值與?的偏差在0.3盎司之間的概率達(dá)到0.95，應(yīng)該抽取多大的樣本？,習(xí)題,解 設(shè),則概率,查表得,習(xí)題,例3 Z1、 Z2……Z6表示從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體中隨機(jī)抽取的容量n=6的一個(gè)樣本，試確定常數(shù)b使得,解 因?yàn)?查表得 b= 12.5916,解 因?yàn)?習(xí)題,,習(xí)題,,習(xí)題,2. 設(shè)X1,X2, X3