doe實驗設(shè)計基礎(chǔ)

1、實 驗 設(shè) 計 基 礎(chǔ),課程安排,第一講：正交試驗第二講：方差分析(ANOVA)第三講：正交試驗的方差分析第四講：穩(wěn)健設(shè)計第五講：可靠性設(shè)計,第一講：正交試驗,第一節(jié)：實驗設(shè)計的意義及其發(fā)展過程第二節(jié)：正交試驗、正交表及其用法第三節(jié)：混合水平的正交試驗設(shè)計第四節(jié)：有交互作用的正交試驗設(shè)計,實驗設(shè)計（DOE）,Design of Experiment為什么要進(jìn)行試驗設(shè)計？,==> 讓我們先看兩個例子,例1:,這里有2

2、7個球， 其中有且只有一個球質(zhì)量為9克, 其它26個都為10克。給你一架天平，請找出重為9克的那個球。請問，你至少要稱幾次？,例2:,這里有9框球(每框100個)， 其中有且只有一框里的球質(zhì)量全為9克, 其它8框里的球都為10克。給你一架天平，請找出里面的球重為9克的那個框。請問，你至少要稱幾次？,實驗設(shè)計,Design of Experiment為什么要進(jìn)行試驗設(shè)計？,==>我們要進(jìn)行試驗設(shè)計！,實驗設(shè)計的意義:應(yīng)用數(shù)理

3、統(tǒng)計學(xué)的基本知識，討論如何合理地安排試驗、取得數(shù)據(jù)，然后進(jìn)行綜合科學(xué)分析，從而盡快獲得最優(yōu)組合方案。在工程學(xué)領(lǐng)域是改進(jìn)制造過程性能的非常重要的手段。在開發(fā)新工序中亦有著廣泛的應(yīng)用。在工序開發(fā)的早期應(yīng)用實驗設(shè)計方法能得出以下成果：1. 提高產(chǎn)量；2. 減少變異性，與額定值或目標(biāo)值更為一致；3. 減少開發(fā)時間；4. 減少總成本；,第一節(jié)：實驗設(shè)計的意義及其發(fā)展過程,實驗設(shè)計在生產(chǎn)/制造過程中的位置：,生產(chǎn)/ 制造 過程,,,

4、,,,,,,,可控制因素,不可控制因素,,資源,產(chǎn)品,,,,統(tǒng)計技術(shù)在 生產(chǎn)/制造過程 中的應(yīng)用是對 過程中輸入

5、 的變量 (人,機,料,法,環(huán)) 進(jìn)行有目的地優(yōu)化, 使輸出的結(jié)果更加理想.

6、 實驗設(shè)計 是其中較為有效的一種工程工具.,通過實驗進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計,通過實驗,控制其不良的影響程度,第一節(jié)：進(jìn)行實驗設(shè)計的意義及其發(fā)展過程,實驗設(shè)計的發(fā)展過程:試驗設(shè)計始于20世紀(jì)20年代，其發(fā)展過程大致可分為三個階段：1. 早期的方差分析法: 20世紀(jì)20年代由英國生物統(tǒng)計學(xué) 家、數(shù)學(xué)家費歇(R.A.Fisher)提出的，開始主要應(yīng)用于農(nóng)業(yè)、生物學(xué)、遺傳學(xué)方面，取得了豐碩成果。二戰(zhàn)期間，英、美采用這

7、種方法在工業(yè)生產(chǎn)中取得顯著效果；2. 傳統(tǒng)的正交試驗設(shè)計法：以日本的田口玄一為代表；3. 信噪比試驗設(shè)計與三階段設(shè)計：1957年，田口玄一提出信噪比 設(shè)計法和產(chǎn)品的三階段設(shè)計法。他把信噪比設(shè)計和正交表設(shè)計、方 差分析相結(jié)合，開辟了更為重要、更為廣泛的應(yīng)用領(lǐng)域。,為什么要進(jìn)行正交試驗:在實際生產(chǎn)中，影響試驗的因素往往是多方面的，我們要考察各因素對試驗影響的情況。在多因素、多水平試驗中，如果對每個因素的每個水平

8、都互相搭配進(jìn)行全面試驗，需要做的試驗次數(shù)就會很多.比如對3因素7水平的試驗，如果3因素的各個水平都互相搭配進(jìn)行全面試驗，就要做73=343次試驗，對6因素7水平，進(jìn)行全面試驗要做76=117649次試驗。這顯然是不經(jīng)濟的。我們應(yīng)當(dāng)在不影響試驗效果的前提下，盡可能地減少試驗次數(shù)。正交設(shè)計就是解決這個問題的有效方法。正交設(shè)計的主要工具是正交表。,第二節(jié)：正交試驗、正交表及其用法,右圖是一個比較典型的正交表.“L”表示此為正交

9、表, “8”表示試驗次數(shù), “2”表示兩水平, “7”表示試驗最多可以有7個因素 (包括單個因素及其交互作用).,第二節(jié)：正交試驗、正交表及其用法,正交表:,正交表的表示方法:一般的正交表記為Ln(mk)，n是表的行數(shù)， 也就是要安排的試驗數(shù);k 是表中的列數(shù)，表示因素的個數(shù)；m 是各因素的水平數(shù)；常見的正交表:2水平的有 L4(23), L8(27), L12(211)

10、, L16(215)等；3水平的有 L9(34), L27(313)等；4水平的有 L15(45);5水平的有 L25(56);,第二節(jié)：正交試驗、正交表及其用法,正交表的兩條重要性質(zhì):1) 每列中不同數(shù)字出現(xiàn)的次數(shù)是相等的，如L9(34)中，每列中不同的 數(shù)字是1，2，3，它們各出現(xiàn)3次；,第二節(jié)：正交試驗、正交表及其用法,2) 在任意兩列中，將同一行的兩個 數(shù)字看成一個有序數(shù)對，則每一數(shù)對出現(xiàn)的次數(shù)是

11、相等的，如L9(34)中有序數(shù)對共有9個: (1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3), 它們各出現(xiàn)一次。所以，用正交表來安排試驗時，各因素的各種水平的搭配是均衡的，這是正交表的優(yōu)點。,例1：(單指標(biāo)的分析方法)某煉鐵廠為提高鐵水溫度，需要通過試驗選擇最好的生產(chǎn)方案經(jīng)初步分析，主要有3個因素影響鐵水溫度，它們是焦比、風(fēng)壓和底焦高度， 每個因素

12、都 考慮3個水平，具體情況見表。問對這3個因素的3個水平如何安排，才能獲得最高的鐵水溫度?,第二節(jié)：正交試驗、正交表及其用法,解：如果每個因素的每個水平都互相搭配著進(jìn)行全面試驗，必須做試驗33=27次?，F(xiàn)在我們使用L9(34)正交表來安排試驗。,第二節(jié)：正交試驗、正交表及其用法,我們按選定的9個試驗進(jìn)行試驗，并將每次試驗測得的鐵水溫度記錄下來：為了便于分析計算，我們把這些溫度值和正交表列在一起組成一個新表。另外，由于鐵水

13、溫度數(shù)值較大，我們把每一個鐵水溫度的值都減去1350，得到9個較小的數(shù)，這樣使計算簡單。,第三節(jié)：正交試驗、正交表及其用法,分析表,第二節(jié)：正交試驗、正交表及其用法,解釋：K1這一行的3個數(shù)分別是因素A, B, C的第1水平所在的試驗中對應(yīng)的鐵水溫度之和;K2這一行的3個數(shù)分別是因素A, B, C的第2水平所在的試驗中對應(yīng)的鐵水溫度之和;K3這一行的3個數(shù)分別是因素A, B, C的第3水平所在的試驗中對應(yīng)的鐵水溫度之和;k1,

14、 k2, k3這3行的3 個數(shù)，分別是K1, K2, K3這3行中的3個數(shù)的平均值；極差是同一列中， k1, k2, k33個數(shù)中的最大者減去最小者所得的差。極差越大，說明這個因素的水平改變時對試驗指標(biāo)的影響越大。極差最大的那一列，就是那個因素的水平改變時對試驗指標(biāo)的影響最大，那個因素就是我們要考慮的主要因素.通過分析可以得出：各因素對試驗指標(biāo)(鐵水溫度)的影響按大小次序應(yīng)當(dāng)是C (底焦高度) A (焦比) B (風(fēng)壓)；最

15、好的方案應(yīng)當(dāng)是C2A3B2。與此結(jié)果比較接近的是第9號試驗。為了最終確定上面找出的試驗方案是不是最好的，可以按這個方案再試驗一次，并同第9號試驗相比，取效果最佳的方案。,第二節(jié)：正交試驗、正交表及其用法,例2：(多指標(biāo)的分析方法---- 綜合平衡法)為提高某產(chǎn)品質(zhì)量，要對生產(chǎn)該產(chǎn)品的原料進(jìn)行配方試驗。要檢驗3項指標(biāo)：抗壓強度、落下強度 和裂紋度，前2個指標(biāo)越大越好，第3個指標(biāo)越小越好。根據(jù)以往的經(jīng)驗，配方中有3個重要因

16、素：水分、粒度和堿度。它們各有3個水平。試進(jìn)行試驗分析，找出最好的配方方案。,第二節(jié)：正交試驗、正交表及其用法,解：我們選用正交表L9(34)來安排試驗。,第三節(jié)：正交試驗、正交表及其用法,A水分,B粒度,C堿度,k3,k3,k3,k3,k3,k3,k3,k3,k3,k1,k1,k1,k1,k1,k1,k1,k1,k1,k2,k2,k2,分析：1) 粒度B對抗壓強度和落下強度來講，極差都是最大的，說明它是影響最大的因素，而且以取8

17、為最好；對裂紋度來講，粒度的極差不是最大，不是影響最大的因素，而且也以取8為最好；2) 堿度C對三個指標(biāo)的極差都不是最大的，是次要的因素。對抗壓強度和裂紋度來講，堿度取1.1最好；對落下強度，取1.3最好，但取1.1也不是太差，綜合考慮堿度取1.1；3) 水分A對裂紋度來講是最大的因素，以取9為最好；但對抗壓強度和落下強度來講，水分的極差都是最小的，是影響最小的因素。綜合考慮水分取9；最后較好的試驗方案是B3C1A2

18、,第二節(jié)：正交試驗、正交表及其用法,例3：(多指標(biāo)的分析方法---- 綜合評分法)某廠生產(chǎn)一種化工產(chǎn)品，需要檢驗兩下指標(biāo)：核酸統(tǒng)一純度和回收率，這兩個指標(biāo)都是越大越好。有影響的因素有4個，各有3個水平。試通過試驗分析找出較好的方案解：這是4因素3水平的試驗，可以選用正交表L9(34)。試驗結(jié)果如表。,第二節(jié)：正交試驗、正交表及其用法,第二節(jié)：正交試驗、正交表及其用法,總分 = 4 x 純度 + 1 x 回收率,分

19、析：1) 根據(jù)綜合評分的結(jié)果，直觀上第1號試驗的分?jǐn)?shù)最高，應(yīng)進(jìn)一步分析它是不是最好的試驗方案；2) 通過直觀分析法可以得知，最好的試驗方案是A1B3C2D1。A，D 兩個因素的極差都很大，是對試驗影響較大的兩個因素；3) 分析出來的最好方案，在已經(jīng)做過的9個試驗中是沒有的?？梢园催@個方案再試驗一次，看能不能得出比第一號試驗更好的結(jié)果，從而確定出真正最好的試驗方案；綜合評分法是將多指標(biāo)的問題，通過加權(quán)計算總分的方法化

20、成一個指標(biāo)的問題，使對結(jié)果的分析計算都比較方便、簡單。,第二節(jié)：正交試驗、正交表及其用法,利用正交表進(jìn)行試驗的步驟：1) 明確試驗?zāi)康?，確定要考核的試驗指標(biāo)；2) 根據(jù)試驗?zāi)康?，確定要考察的因素和各因素的水平；要通過對實際問題的具體分析選出主要因素，略去次要因素；3) 選用合適的正交表，安排試驗計劃；4) 根據(jù)安排的計劃進(jìn)行試驗，測定各試驗指標(biāo)；5) 對試驗結(jié)果進(jìn)行計算分析，得出合理的結(jié)論；6)若最佳組合方案在試驗中未出

21、現(xiàn)，如果條件允許，應(yīng)安排一次驗證試驗，進(jìn)行確認(rèn)。,第二節(jié)：正交試驗、正交表及其用法,混合水平正交表及其用法:混合水平正交表就是各因素的水平數(shù)不完全相等的正交表。譬如：L8(41 x 24)就是一種混合水平的正交表。,第三節(jié)：混合水平的正交試驗設(shè)計,例4：(直接利用混合水平正交表)某農(nóng)科站進(jìn)行品種試驗，共有4個因素：A(品種)、B(氮肥量)、C(氮、磷、鉀比例)、D(規(guī)格)。因素A是4水平的，另外3個因素是2水平的。試驗指標(biāo)

22、是產(chǎn)量，數(shù)值越大越好。,第三節(jié)：混合水平的正交試驗設(shè)計,解：分析結(jié)果見下表。,第三節(jié)：混合水平的正交試驗設(shè)計,例5：(擬水平法)今有一試驗，試驗指標(biāo)只有一個，它的數(shù)值越小越好，這個試驗有4個因素，其中因素C是2水平的，其余3個因素都是3水平的，試安排試驗。解：我們從第1、第2兩個水平中選一個水平讓它重復(fù)一次作為第3水平，這就叫虛擬水平。一般應(yīng)根據(jù)實際經(jīng)驗，選取一個較好的水平。,第三節(jié)：混合水平的正交試驗設(shè)計,分析結(jié)

23、果見下表。,第三節(jié)：混合水平的正交試驗設(shè)計,總結(jié)：擬水平法是將水平少的因素歸入水平數(shù)多的正交表中的一種處理問題的方法。在沒有合適的混合水平的正交表可用時，擬水平法是一種比較好的處理多因素混合水平試驗的方法。它不僅可以對一個因素虛擬水平，也可以對多個因素虛擬水平。,第三節(jié)：混合水平的正交試驗設(shè)計,什么是交互作用：在多因素試驗中，各因素不僅各自獨立地在起作用，而且各因素還經(jīng)常聯(lián)合起來起作用。也就是說，不僅各個因素的水平改變

24、時對試驗指標(biāo)有影響，而且各因素的聯(lián)合搭配對試驗指標(biāo)也有影響。這后一種影響就叫做因素的交互作用。因素A和因素B的交互作用記為A X B.,第四節(jié)：有交互作用的正交試驗設(shè)計,單個因子的影響與其交互作用的影響比較,,30 m,50Kg 磷,25 m,,50Kg 鉀,20kg 磷30kg 鉀,,40 m,交互作用 = 總效果 - (20kg 磷的效果 + 30kg 鉀的效果),,,,交互作用表（以正交表L8(27)為例）：用正交表安排

25、有交互作用的試驗時，我們把兩個因素的交互作用當(dāng)成一個新的因素來看，讓它占有一列，叫交互作用列。,第四節(jié)：有交互作用的正交試驗設(shè)計,例6：(水平數(shù)相同)我們用一個3因素2水平的有交互作用的例子來說明某產(chǎn)品的產(chǎn)量取決于3個因素A，B，C，每個因素都有兩個水平。每兩個因素之間都有交互作用，試驗指標(biāo)為產(chǎn)量，越高越好。具體如下：,第四節(jié)：有交互作用的正交試驗設(shè)計,解：這是3因素2水平的試驗。3個因素A, B, C要占3列，它們之間的

26、交互作用A x B, B x C, A x C 又占3列。可用正交表L8(27).,第四節(jié)：有交互作用的正交試驗設(shè)計,分析：從極差大小看，影響最大的因素是C，以2水平為好；其次是AxB，以2水平為好，第3是因素A，以1水平為好，第4是因素B以1水平為好。列出A和B進(jìn)行組合的幾種效果表：從此表可知，A和B的最佳組合為A1B2。AxC 和 BxC的極差很小，對試驗的影響很小，忽略不計。綜合分析，最好的方案應(yīng)是A1B2C

27、2，這與試驗4相吻合。,第四節(jié)：有交互作用的正交試驗設(shè)計,作 業(yè) 要 求,1. 按照正交試驗(直觀分析法)的原理，解決你實際工作中的一個問題，并總結(jié)成實驗分析報告。2. 補充作業(yè)(另附),第一節(jié)：問題的提出第二節(jié)：單因素試驗的方差分析第三節(jié)：雙因素試驗的方差分析,第二講：方差分析（ANOVA）,第一節(jié)：問題的提出,先看一個例子：考察溫度對某一化工廠產(chǎn)品的得率的影響，選了五種不同的溫度，同一溫度做了三次試驗，測得結(jié)果如下

28、：要分析溫度的變化對得率的影響,總平均得率=89.6%,第一節(jié)：問題的提出,從平均得率來看，溫度對得率的影響?1) 同一溫度下得率并不完全一樣，產(chǎn)生這種差異的原因是由于試驗過程中各種偶然性因素的干擾及測量誤差等所致，這一類誤差統(tǒng)稱為試驗誤差；2) 兩 種溫度的得率在不同的試驗中的傾向有所差別。如 65oC 與 70oC相比較，第一次65oC比70oC 好，而后二次70oC比65oC 好。產(chǎn)生這種矛盾的現(xiàn)象也是由于試驗

29、誤差的干擾。由于試驗誤差的存在，對于不同溫度下得率的差異自然要提出疑問，這差異是試驗誤差造成的，還是溫度的影響呢?,第一節(jié)：問題的提出,1) 由于溫度的不同引起得率的差異叫做條件變差； 例中的全部15個數(shù)據(jù)，參差不齊，它們的差異叫做總變差(或總離差)。產(chǎn)生總變差的原因一是試驗誤差，一是條件變差。2) 方差分析解決這類問題的思想是：a. 由數(shù)據(jù)的總變差中分出試驗誤差和條件變差，并賦予它們的數(shù)量表示；b. 用條件變差

30、和試驗誤差在一定意義下進(jìn)行比較，如兩者相差不大，說明條件的變化對指標(biāo)影響不大；反之，則說明條件的變化影響是很大的，不可忽視；c. 選擇較好的工藝條件或確定進(jìn)一步試驗的方向；,第一節(jié)：問題的提出,變差的數(shù)量表示：有n個參差不齊的數(shù)據(jù) x1, x2, …, xn, 它們之間的差異稱為變差。如何給變差一個數(shù)量表示呢?1) 一個最直觀的想法是用這n個數(shù)中最大值與最小值之差，即極差來表達(dá)，用R記之；2) 變差平方和，以S記之。S

31、是每個數(shù)據(jù)離平均值有多遠(yuǎn)的一個測度，它越大表示數(shù)據(jù)間的差異越大。,其中,第一節(jié)：問題的提出,對變差平方和的進(jìn)一步討論：例：測得某高爐的六爐鐵水含碳量為: 4.59，4.44，4.53，4.52，4.72，4.55，求其變差平方和。,第一節(jié)：問題的提出,對變差平方和的進(jìn)一步討論(2)：我們看到S的計算是比較麻煩的，原因是計算x時有效位數(shù)增加了因而計算平方時工作量就大大增加。另外，在計算x時由于除不盡而四舍五入，在計算S時，累計

32、誤差較大。為此常用以下公式:,對于前面的例子,,,第一節(jié)：問題的提出,自由度的提出：例2：在上例的基礎(chǔ)上在同樣的工藝條件下又測了四爐鐵水，它們是：4.60, 4.42, 4.68, 4.54, 加上原來的六爐共十爐，求其變方和。,第一節(jié)：問題的提出,自由度的提出(2)：平均數(shù)與過去的結(jié)果是相近的，但平方和是顯著地變大了。我們要設(shè)法消除數(shù)據(jù)個數(shù)的多少給平方和帶來的影響。一個直觀的想法是用平方和除以相應(yīng)的項數(shù)，但從數(shù)學(xué)理論上推

33、知這不是一個最好的辦法，而應(yīng)把項數(shù)加以修正，這個修正的數(shù)就叫做自由度。,第一節(jié)：問題的提出,自由度的提出(3)：設(shè)有n個數(shù)y1, y2, … , yn, 它們的平方和 的自由度是多少呢? 這就看{yi} 之間有沒有線性約束關(guān)系，如果有m個(0<m<n)線性約束方程 a11y1+a12y2+… +a1nyn = 0 a21y1+a22y2+… +a2nyn = 0

34、 … am1y1+am2y2+… +amnyn = 0并且這m個方程相互獨立，即方程系數(shù)矩陣的秩等于m, 則S的自由度是n - m.,,第一節(jié)：問題的提出,自由度的提出(4)：根據(jù)這個定義，如令yi = xi - x (i=1, 2, … , n)則顯然 {yi}之間有一個線性約束關(guān)系，即即m = 1, a11 = a12 = … = a1n = 1所以變差平方和的自由度 = n - m = n

35、- 1,,第一節(jié)：問題的提出,均方的概念：平均平方和(簡稱均方)等于變差平方和除以相應(yīng)的自由度f.平均平方和以MS表示，它的開方叫做均方差對例1、MS = 0.043483/5 = 0.0086966, 均方差為0.09326對例2、MS = 0.07949/9 = 0.0088322，均方差為0.09398我們看到六爐和十爐的MS是很相近的，這與工藝條件相同是吻合的，說明用MS反映波動的大小是更為合理的。,假設(shè)：單因素

36、A有a個水平A1，A2, … … , Aa，在水平Ai (i=1, 2, … … , a)下，進(jìn)行ni次獨立試驗，得到試驗指標(biāo)的觀察值列于下表：我們假定在各個水平Ai下的樣本來自具有相同方差σ2，均值分別為μi的正態(tài)總體Xi~N(μi , σ2 )，其中μi , σ2均為未知，并且不同水平Ai下的樣本之間相互獨立。,第二節(jié)：單因素試驗的方差分析,總離差平方和的分解:記在水平Ai 下的樣本均值為樣本數(shù)據(jù)的總平均值為

37、總離差平方和為將ST改寫并分解得,第二節(jié)：單因素試驗的方差分析,總離差平方和的分解(2):上面展開式中的第三項為0若記 SA= SE=則有： ST = SA + SEST表示全部試驗數(shù)據(jù)與總平均值之間的差異SA表示在Ai水平下的樣本均值與總平均值之間的差異, 是組間差SE表示在Ai水平下的樣本均值與樣本值之間的差異, 是組內(nèi)差， 它是由

38、隨機誤差引起的。,第二節(jié)：單因素試驗的方差分析,自由度的概念:在實際計算中，我們發(fā)現(xiàn)在同樣的波動程度下，數(shù)據(jù)多的平方和要大于數(shù)據(jù)少的平方和，因此僅用平方和來反映波動的大小還是不夠的。我們要設(shè)法消去數(shù)據(jù)個數(shù)的多少給平方和帶來的影響。為此引入了自由度的概念。一個直觀的想法是用平方和除以相應(yīng)的項數(shù)，但應(yīng)把項數(shù)加以修正，這個修正的數(shù)就叫自由度。ST的自由度為 ( n - 1);SA的自由度為 ( a - 1);SE的自由度為

39、( n - a);均方:MSA = SA/ (a-1); MSE = SE/ (n-a),第二節(jié)：單因素試驗的方差分析,F檢驗法：統(tǒng)計量 F = MSA/MSE ~ F (a - 1, n - a) ，對于給出的α，查出Fα(a - 1, n - a)的值， 由樣本計算出SA和SE， 從而算出F值。從而有如下判斷：若F > Fα (a - 1, n - a)，則說明試驗條件的變化對試驗結(jié)果有顯著影響；

40、若F < Fα(a - 1, n - a)，則說明試驗條件的變化對試驗結(jié)果無顯著影響；為了方便計算，我們采用下面的簡便計算公式：記 i= 1, 2, … … , a, 則有,第二節(jié)：單因素試驗的方差分析,方差分析表:,第二節(jié)：單因素試驗的方差分析,例1：(單因素的方差分析)人造纖維的抗拉強度是否受摻入其中的棉花的百分比的影響是有疑問的?，F(xiàn)確定棉花百分比的5個水平:

41、 15%, 20%, 25%, 30%, 35%。每個水平中測5個抗拉強度的值，列于下表。問：抗拉強度是否受摻入棉花百分比的影響(α＝0.01)?,第二節(jié)：單因素試驗的方差分析,解: a = 5, ni = 5 (i = 1, 2, … … , 5), n = 25ST, SA, SE的自由度分別為24，4，20,第二節(jié)：單因素試驗的方差分析,解(2):已給出α=0.01，查表得Fα(a-1, n-

42、a)=F0.01(4,20)= 4.43這里F=14.76>4.43=F0.01(4, 20)說明棉花的百分比對人造纖維的抗拉強度有影響。,,第二節(jié)：單因素試驗的方差分析,無交互作用的方差分析:設(shè)兩因素A，B，A有a個水平A1，A2, … … , Aa，B有b個水平，B1，B2, … …, Bb, 在每一個組合水平(Ai, Bj)下，進(jìn)行一次無重復(fù)試驗，得到試驗指標(biāo)的觀察值列于下表：設(shè)Xij~N(μij , σ2

43、 )，各xij相互獨立。,第三節(jié)：雙因素試驗的方差分析,總離差平方和的分解:記在水平Ai 下的樣本均值為記在水平Bj 下的樣本均值為樣本數(shù)據(jù)的總平均值為總離差平方和為將ST改寫并分解得記為ST = SA (效應(yīng)平方和)+ SB (效應(yīng)平方和)+ SE (誤差平方和),第三節(jié)：雙因素試驗的方差分析,自由度:ST的自由度為 ( ab - 1);SA的自由度為 ( a - 1);SB的自由度為 ( b - 1);

44、SE的自由度為 ( a - 1)(b-1);均方:,第三節(jié)：雙因素試驗的方差分析,F檢驗法:統(tǒng)計量對于給出的α，查出Fα(a - 1, (a - 1)(b-1)), Fα(b - 1, (a - 1)(b-1))的值， 由樣本計算出F1, F2值。從而有如下判斷：若F 1> Fα (a - 1, (a-1)(b-1))，則說明因素A的變化對試驗結(jié)果有顯著影響；若F2 > Fα (b - 1, (a-1)(

45、b-1))，則說明因素B的變化對試驗結(jié)果有顯著影響；為了方便計算，我們采用下面的簡便計算公式：,第三節(jié)：雙因素試驗的方差分析,方差分析表:,第三節(jié)：雙因素試驗的方差分析,例2：(雙因素?zé)o交互作用的方差分析)使用4種燃料，3種推進(jìn)器作火箭射程試驗，每一種組合情況做一次試驗，則得火箭射程列在表中，試分析各種燃料(Ai)與各種推進(jìn)器(Bj)對火箭射程有無顯著影響(α=0.05),第三節(jié)：雙因素試驗的方差分析,解:這里a=4, b

46、=3, ab=12,第三節(jié)：雙因素試驗的方差分析,解(2):給出的α=0.05, 查出F0.05(3, 6)=4.76, F0.05(2, 6) = 5.14因為F1=0.43<4.76, F2=0.92<5.14故不同的燃料、不同的推進(jìn)器對火箭射程均無顯著影響。,第三節(jié)：雙因素試驗的方差分析,有交互作用的方差分析(分析過程略):自由度:ST的自由度為 ( abn - 1); （ n為重復(fù)試驗次數(shù)）S

47、A的自由度為 ( a - 1);SB的自由度為 ( b - 1);SAxB的自由度為(a-1)(b-1):SE的自由度為 ab(n-1);均方:,第三節(jié)：雙因素試驗的方差分析,有交互作用的方差分析(2):簡化公式,第三節(jié)：雙因素試驗的方差分析,有交互作用的方差分析(3):方差分析表,第三節(jié)：雙因素試驗的方差分析,第一節(jié)：正交設(shè)計方差分析的步驟第二節(jié)：3水平正交設(shè)計的方差分析第三節(jié)：混合型正交設(shè)計的方差分析第四節(jié)：擬水

48、平法的方差分析第五節(jié)：重復(fù)試驗的方差分析,第三講：正交試驗的方差分析,計算離差的平方和:設(shè)用正交表安排m個因素的試驗，試驗總次數(shù)為n, 試驗的結(jié)果分別為x1, x2, … … , xn. 假定每個因素有na個水平，每個水平做a次試驗，則n = ana.1) 總離差的平方和ST記記為 其中ST反映了試驗結(jié)果的總差異，它越大，說明各次試驗的結(jié)果之間的差異越大。試驗結(jié)果之所

49、以有差異，一是由因素水平的變化所引起的，二是因為有試驗誤差。,第一節(jié)： 正交設(shè)計方差分析的步驟,2) 各因素離差的平方和下面以計算因素A的離差的平方和SA為例來說明。設(shè)因素A安排在正交表的某列，可看作單因素試驗。用xij表示因素A的第i個水平的第j個試驗的結(jié)果(i = 1, 2, …, na; j = 1, 2, …, a)，則有由單因素的方差分析記為 其中Ki 表示因素的第i 個

50、水平a次試驗結(jié)果的和。SA反映了因素A的水平變化時所引起的試驗結(jié)果的差異，即因素A對試驗結(jié)果的影響。用同樣的方法可以計算其它因素的離差平方和。對于兩因素的交互作用，我們把它當(dāng)作一個新的因素。如果交互作用占兩列，則交互作用的離差的平方和等于這兩列的離差的平方和之和。比如 SAxB = S(AxB)1 + S(AxB)2,第一節(jié)： 正交設(shè)計方差分析的步驟,3) 試驗誤差的離差的平方和SE設(shè)S因+交為所有因素以及要考慮的交互作用

51、的離差的平方和，因為 ST = S因+交 + SE, 所以 SE = ST - S因+交計算自由度:試驗的總自由度 f總 = 試驗總次數(shù) - 1 = n - 1各因素的自由度 f因 = 因素的水平數(shù) - 1 = na - 1兩因素交互作用的自由度等于兩因素的自由度之積fAxB = fA X fB試驗誤差的自由度fE = f總 - f因+交,第一節(jié)： 正交設(shè)計方差分析的步驟,計算平均離差平方和(均方):在計算各因

52、素離差平方和時，我們知道，它們都是若干項平方的和, 它們的大小與項數(shù)有關(guān)，因此不能確切反映各因素的情況。為了消除項數(shù)的影響，我們計算它們的平均離差的平方和。因素的平均離差平方和 = (因素離差的平方和)/因素的自由度 = S因/f因試驗誤差的平均離差平方和 = (試驗誤差的離差的平方和)/試驗誤差的自由度 = SE / fE求F比:將各因素的平均離差的平方和與誤差的平均離差平方和相比，得出F值。這個比值的大小反

53、映了各因素對試驗結(jié)果影響程度的大小。,第一節(jié)： 正交設(shè)計方差分析的步驟,對因素進(jìn)行顯著性檢驗:給出檢驗水平α，從F分布表中查出臨界值Fα(f因，fE)。將在“求 F 比”中算出的F值與該臨界值比較，若F> Fα(f因，fE)，說明該因素對試驗結(jié)果的影響顯著，兩數(shù)差別越大，說明該因素的顯著性越大。,第一節(jié)： 正交設(shè)計方差分析的步驟,第二節(jié)： 3水平正交設(shè)計的方差分析,例1 (無交互作用):磁鼓電機是彩色錄像機磁鼓組件

54、的關(guān)鍵部件之一，按質(zhì)量要求其輸出力矩應(yīng)大于210g.cm。某生產(chǎn)廠過去這項指標(biāo)的合格率較低，從而希望通過試驗找出好的條件，以提高磁鼓電機的輸出力矩。根據(jù)工程技術(shù)人員的經(jīng)驗，取試驗因素和相應(yīng)水平如下表：,第二節(jié)： 3水平正交設(shè)計的方差分析,解：(選用正交表L9(34)表頭設(shè)計：試驗計劃與試驗結(jié)果：,第二節(jié)： 3水平正交設(shè)計的方差分析,詳細(xì)計算如下：,第二節(jié)： 3水平正交設(shè)計的方差分析,列方差分析表如下：最佳條

55、件的選擇：對顯著因子應(yīng)取最好的水平，對不顯著因子的水平可以任意選?。辉趯嶋H中通常從降低成本操作方便等角度加以選擇，上面的例子中對因子A與B應(yīng)選擇A2B2，因子C可以任選，譬如為節(jié)約材料可選擇C1,第二節(jié)： 3水平正交設(shè)計的方差分析,驗證試驗：對A2B2C1進(jìn)行三次試驗，結(jié)果為：234，240，220，平均值為231.3. 此結(jié)果是滿意的,例2(有交互作用):為提高某產(chǎn)品的產(chǎn)量，需要考慮3個因素：反應(yīng)溫度、反應(yīng)壓力和溶液濃度

56、。每個因素都取3個水平，具體數(shù)值見表。考慮因素之間的所有一級交互作用，試進(jìn)行方差分析，找出最好的工藝條件。,第二節(jié)： 3水平正交設(shè)計的方差分析,解：(選用正交表L27(313)根據(jù)前面的公式作如下計算：,第二節(jié)： 3水平正交設(shè)計的方差分析,由此得出類似地最后計算總平方和，得出,第二節(jié)： 3水平正交設(shè)計的方差分析,用公式計算自由度：再用公式計算平均離差的平方和，然后計算F值，再與F分布表中查出的相應(yīng)的臨界值

57、Fα(f因，fE)比較，判斷各因素顯著性的大小。通常，若F> F0.01(f因，fE)，就稱該因素是高度顯著的，用兩個星號表示；若F F0.05(f因，fE)，則稱該因素的影響是顯著的，用一個星號表示；若F<F0.05(f因，fE)，就稱該因素的影響是不顯著的，不用星號表示。,第二節(jié)： 3水平正交設(shè)計的方差分析,方差分析表：因為SAXC和SBXC都很小，和誤差項合并，作為誤差項。通過F值與臨界值比較

58、看出，因素A,B,C和交互作用AXB對試驗的影響都是顯著的，從F值的大小看，因素C最顯著，以下依次為A，B，AXB,第二節(jié)： 3水平正交設(shè)計的方差分析,方差分析(2)：由于這里的試驗指標(biāo)是產(chǎn)品的產(chǎn)量，越大越好，所以最優(yōu)方案應(yīng)取各因素中K的最大值所對應(yīng)的水平。因素A應(yīng)取第1水平，因素B應(yīng)取第3水平，因素C應(yīng)取第3水平。交互作用AXB也是顯著的，但由于AXB占兩列，直觀分析法有些困難，因此把A和B的各種組合的試驗結(jié)果對照起來分析

59、。從表中看出，當(dāng)A取第1水平、B取第3水平時，試驗結(jié)果為13.17，是所有結(jié)果中的最大值，因此取A1B3。于是，最優(yōu)方案就取A1B3C3.,第二節(jié)： 3水平正交設(shè)計的方差分析,混合型正交設(shè)計的方差分析，本質(zhì)上與一般水平數(shù)相等正交設(shè)計的方差分析相同，只要在計算時注意到各水平數(shù)的差別就行了。現(xiàn)以L8(4X24)混合型正交表為例：總離差平方和為因素偏差平方和有兩種情況：2水平因素：4水平因素：,第三節(jié)：混合型正交設(shè)

60、計的方差分析,例4:某鋼廠生產(chǎn)一種合金，為便于校直冷拉，需要進(jìn)行一次退火熱處理,以降低合金的硬度。根據(jù)冷加工變形量，在該合金技術(shù)要求范圍內(nèi),硬度越低越好。試驗的目的是尋求降低硬度的退火工藝參數(shù)。考察的指標(biāo)是洛氏硬度(HR)，經(jīng)分析研究，要考慮的因素有3個： 退火溫度A，保溫時間B，冷卻介質(zhì)C。,第三節(jié)：混合型正交設(shè)計的方差分析,解：,第三節(jié)：混合型正交設(shè)計的方差分析,方差分析表：從F值和臨界值的比較看出，各因

61、素均無顯著影響，相對來說，B的影響大些。為提高分析精度，我們只考慮因素B，把因素A，C都并入誤差。這樣一來，SE就變成SA + SC + S4 + S5 = 0.445 + 0.18 + 1.125 + 0.500 = 2.250，再列方差分析表。,第三節(jié)：混合型正交設(shè)計的方差分析,方差分析表(2)：臨界值 F0.05(1，6) = 5.99, F0.01(1, 6) = 13.75從F值和臨界值的比較來看，因素B

62、就是顯著性因素了。因素影響從大到小的順序為BCA，選定的最優(yōu)方案應(yīng)為A2B2C1,第三節(jié)：混合型正交設(shè)計的方差分析,例5:鋼片在鍍鋅前要用酸洗的方法除銹。為了提高除銹效率，縮短酸洗時間，先安排酸洗試驗?？疾熘笜?biāo)是酸洗時間。在除銹效果達(dá)到要求的情況下，酸洗時間越短越好。要考慮的因素及其水平如表：選取正交表L9(34)，將因素C虛擬1個水平。據(jù)經(jīng)驗知，海鷗牌比OP牌的效果好，故虛擬第2水平并安排在第1列。,第四節(jié)：擬

63、水平法的方差分析,解：虛擬水平的因素C的第1水平重復(fù)3次，第二水平重復(fù)6次。因此，離差平方和為：其余因素的離差平方和為誤差的離差平方和為：,第四節(jié)：擬水平法的方差分析,方差分析表：從F值和臨界值比較看出，各因素均無顯著影響，相對來說，因素D的影響大些。我們把影響最小的因素B并入誤差，使得新的誤差平方和為SE‘= SE + SB，再列方差分析表,第四節(jié)：擬水平法的方差分析,方差分析表(2)：

64、由此看出，因素D有顯著影響，因素A，B均無顯著影響。因素重要性的順序為DCAB，最優(yōu)方案為A3B1C2D3.,第四節(jié)：擬水平法的方差分析,第一節(jié)：穩(wěn)健性和穩(wěn)健設(shè)計第二節(jié)：產(chǎn)品的三階段設(shè)計第三節(jié)：信噪比,第四講：穩(wěn)健設(shè)計,穩(wěn)健性：穩(wěn)健性(robustness), 也叫魯棒性，是指因素狀況發(fā)生微小變差對因變量影響的不敏感性。換句話說，產(chǎn)品性能與某個因素有關(guān)，因素狀態(tài)變化時，產(chǎn)品的性能也隨之變化。如果因素狀態(tài)的變化對產(chǎn)品性能的

65、影響不大，我們就說產(chǎn)品性能對該因素的變化是不敏感的，又稱是穩(wěn)健性的，或說產(chǎn)品性能對該因素的變化具有穩(wěn)健性。如使產(chǎn)品性能對所用材質(zhì)變差不靈敏，就能在一些情況下使用較低廉的或低等級的材料；使產(chǎn)品對制造尺寸變差不靈敏，可以提高產(chǎn)品的可制造性、降低制造費用；使產(chǎn)品對使用環(huán)境變化不靈敏，就能保證產(chǎn)品使用的可靠性和降低操作費用；,第一節(jié)：穩(wěn)健性和穩(wěn)健設(shè)計,穩(wěn)健設(shè)計：在實際問題中存在不少誤差因素，它們影響著產(chǎn)品質(zhì)量。對這些誤差因素可以

66、采取兩種辦法：1) 消除這些因素: 實際上往往很難做到，有的情況下，即使能做到,也要花費很大力氣和很高的費用，這是不值得的；2) 盡量降低誤差因素的作用，使產(chǎn)品性能因誤差因素變化而變化的敏感性最小。根據(jù)這種指導(dǎo)思想，對產(chǎn)品的性能、質(zhì)量和成本綜合考慮，選擇出最佳設(shè)計，既提高了產(chǎn)品質(zhì)量，又降低了成本，這種設(shè)計方法叫做穩(wěn)健設(shè)計；穩(wěn)健設(shè)計是一種最優(yōu)化設(shè)計方法，它的兩個主要工具是信噪比和正交表，用信噪比作為特征數(shù)衡量質(zhì)量，用正交表

67、安排試驗。,第一節(jié)：穩(wěn)健性和穩(wěn)健設(shè)計,何謂三階段設(shè)計：三階段設(shè)計就是在專業(yè)設(shè)計的基礎(chǔ)上，用正交設(shè)計方法選擇最佳參數(shù)組合和最合理的容差范圍，盡量用價格低廉的、低等級的零部件來組裝整機的優(yōu)化設(shè)計方法。三階段設(shè)計由以下三個階段組成：1) 系統(tǒng)設(shè)計 (system design)2) 參數(shù)設(shè)計 (parameter design)3) 容差設(shè)計 (tolerance design)系統(tǒng)設(shè)計的設(shè)計質(zhì)量由設(shè)計人員的專業(yè)技術(shù)水平和應(yīng)

68、用這些專業(yè)知識的能力所決定。三階段設(shè)計的重點是參數(shù)設(shè)計和容差設(shè)計。,第二節(jié)：產(chǎn)品的三階段設(shè)計,參數(shù)設(shè)計：在系統(tǒng)設(shè)計的基礎(chǔ)上，對影響產(chǎn)品輸出特性值的各項參數(shù)及其水平，運用DOE方法，找出使輸出特性值波動最小的最佳參數(shù)水平組合的一種優(yōu)化設(shè)計方法。根據(jù)實踐經(jīng)驗，零部件、元器件全部采用優(yōu)質(zhì)品，裝出的整機不一定就是優(yōu)質(zhì)品，這是因為整機質(zhì)量不僅與元器件、零部件本身的質(zhì)量有關(guān)，更主要的是取決于參數(shù)水平的組合。參數(shù)設(shè)計就是要找出參數(shù)水平的