高等代數(shù)答案王萼芳

1、第一章第一章多項(xiàng)式多項(xiàng)式多項(xiàng)式理論是高等數(shù)學(xué)研究的基本對象之一，在整個(gè)高等代數(shù)課程中既相對獨(dú)立，又貫穿其他章節(jié)。換句話說，多項(xiàng)式理論的討論可以不依賴于高等數(shù)學(xué)的其他內(nèi)容而自成體系，卻可為其他章節(jié)的內(nèi)容提供范例與理論依據(jù)。本章主要討論多項(xiàng)式的基本概念與基本性質(zhì)，包括數(shù)域的概念、一元多項(xiàng)式的定義與運(yùn)算規(guī)律、整除性、因式分解及根等概念。對于多元多項(xiàng)式，則主要討論字典排列法與對稱多項(xiàng)式。一重難點(diǎn)歸納與分析(一)基本內(nèi)容概述多項(xiàng)式理論又分為一元多

2、項(xiàng)式與多元多項(xiàng)式兩大部分，其中一元多項(xiàng)式主要討論：1一元多項(xiàng)式的基本概念與基本性質(zhì)：主要討論數(shù)域的概念、一元多項(xiàng)式的定義與運(yùn)算規(guī)律。2一元多項(xiàng)式的整除性理論：主要討論帶余除法與余數(shù)定理、整除的基本概念與基本性質(zhì)、最大公因式和互素的基本概念與基本性質(zhì)。3一元多項(xiàng)式的因式分解理論：主要討論不可約多項(xiàng)式的基本概念與基本性質(zhì)、因式分解及其唯一性定理、三個(gè)特殊數(shù)域上的多項(xiàng)式分解。4一元多項(xiàng)式的根與重根：主要討論重因式的定義與性質(zhì)、多項(xiàng)式的根、多項(xiàng)

3、式根的個(gè)數(shù)定理。多元多項(xiàng)式則主要討論多元多項(xiàng)式的基本概念、字典排列法與對稱多項(xiàng)式。（二）重難點(diǎn)歸納本章的重點(diǎn)為一元多項(xiàng)式的概念，因式分解理論，多項(xiàng)式的根和對稱多項(xiàng)式；難點(diǎn)為最大公因式的定義，一元多項(xiàng)式的整除性，一元多項(xiàng)式的整除、最大公因式、互素及不可約多項(xiàng)式等概念的聯(lián)系與區(qū)別。（三）題型歸類與分析本章的基本題型主要有：1關(guān)于一元多項(xiàng)式的基本概念，通常有一元多項(xiàng)式的比較次數(shù)法、比較系數(shù)法，用以確定多項(xiàng)式的次數(shù)及證明有關(guān)命題。2關(guān)于一元多項(xiàng)

4、式整除性理論，通常有多項(xiàng)式整除性的檢驗(yàn)、最大公因式的求法、互素的判別、按冪展開等等，可采取綜合除法、帶余除法、輾轉(zhuǎn)相除法、待定系數(shù)法、反證法及利用多項(xiàng)式的整除、最大公因式、互素等定義與性質(zhì)求證有關(guān)命題。3關(guān)于一元多項(xiàng)式的因式分解理論，通常有多項(xiàng)式的可約性判別、因式分解、重因式的判別等等，可采取艾森斯坦判別法、克龍萊克爾分解法、求有理根的分解法、分離重因式法、輾轉(zhuǎn)相除法以及利用不可約多項(xiàng)式的定義與性質(zhì)求證有關(guān)命題。4關(guān)于一元多項(xiàng)式的根與重

5、根，通常有根的檢驗(yàn)及重根的判別、根與系數(shù)的關(guān)系以及球多項(xiàng)式的根與重根等等，可利用輾轉(zhuǎn)相除法、結(jié)式判別法、分離重因式法、艾森斯坦判別法等進(jìn)行討論，以及利用某些基本定理求解。5關(guān)于多元多項(xiàng)式，通常有對稱多項(xiàng)式化初等對稱多項(xiàng)式的化法與對稱多項(xiàng)式的應(yīng)用，其中化對稱多項(xiàng)式為初等對稱多項(xiàng)式的方法主要有公式法、首項(xiàng)消去法及待定系數(shù)法；應(yīng)用對稱多項(xiàng)式，可以對具有對稱多項(xiàng)式形式的線性方程組求解、進(jìn)行因式分解、進(jìn)行恒等式的證明及求多元多項(xiàng)式的零點(diǎn)。（四）綜

6、合舉例))()()()(())()((xgxgxhxfxgxff?=證：由已知，可設(shè))())()((xdxgxf=則)()()()()()(21xdxqxgxdxqxf==于是)()]()()([)()()(21xdxqxhxqxgxhxf?=?即)(xd是)()()(xgxhxf?與)(xg的一個(gè)公因式。若)(1xd是)()()(xgxhxf?與)(xg的任意一個(gè)公因式，則由多項(xiàng)式的整除性質(zhì)，可得)()()(13xdxqxf=。這表明

7、)()(1xfxd，從而)()(1xdxd即)(xd還是)()()(xgxhxf?與)(xg的一個(gè)首項(xiàng)系數(shù)為1的最大公因式，故有))()()()(())()(()(xgxgxhxfxgxfxd?==例3設(shè))()()()(2121xgxgxfxf是實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式，且0)()2()()1()()1(2112=?xgxxgxxfx（1）0)()2()()1()()1(2122=?xgxxgxxfx（2）試證)()(21xgxg皆能被12x整除。