應用隨機過程 期末復習資料

1、1第一章 第一章 隨機過程的基本概念 隨機過程的基本概念一、隨機過程的定義 一、隨機過程的定義例 1：醫(yī)院登記新生兒性別，0 表示男，1 表示女，Xn 表示第 n 次登記的數(shù)字，得到一個序列 X1 ， X2 ， ···，記為{Xn，n=1,2, ···}，則 Xn 是隨機變量，而{Xn，n=1,2, ···}是隨機過程。例 2：在地

2、震預報中，若每半年統(tǒng)計一次發(fā)生在某區(qū)域的地震的最大震級。令 Xn 表示第 n次統(tǒng)計所得的值，則 Xn 是隨機變量。為了預測該區(qū)域未來地震的強度，我們就要研究隨機過程{Xn，n=1,2, ···}的統(tǒng)計規(guī)律性。例 3：一個醉漢在路上行走，以概率 p 前進一步，以概率 1-p 后退一步（假設步長相同） 。以 X(t)記他 t 時刻在路上的位置，則{X(t), t 0}就是（直線上的）隨機游動。 ?例 4：乘客

3、到火車站買票，當所有售票窗口都在忙碌時，來到的乘客就要排隊等候。乘客的到來和每個乘客所需的服務時間都是隨機的，所以如果用 X(t)表示 t 時刻的隊長，用Y(t)表示 t 時刻到來的顧客所需等待的時間，則{X(t), t T}和{Y(t), t T}都是隨機過程。 ? ?定義 定義：設給定參數(shù)集合 T，若對每個 t T, X(t)是概率空間 上的隨機變量，則稱 ? ) , , ( P ? ?{X(t), t T}為隨機過程，其中 T 為

4、指標集或參數(shù)集。 ?，E 稱為狀態(tài)空間，即 X(t)的所有可能狀態(tài)構(gòu)成的集合。 E X t ? ? : ) (?例 1：E 為{0,1}例 2：E 為[0, 10]例 3：E 為 } , 2 , 2 , 1 , 1 , 0 { ? ? ?例 4：E 都為 ) , 0 [ ? ?注：（1）根據(jù)狀態(tài)空間 E 的不同，過程可分為連續(xù)狀態(tài)和離散狀態(tài)，例 1，例 3 為離散狀態(tài)，其他為連續(xù)狀態(tài)。（2）參數(shù)集 T 通常代表時間，當 T 取 R, R

5、+, [a,b]時，稱{X(t), t T}為連續(xù)參數(shù)的隨機過 ?程；當 T 取 Z, Z+時，稱{X(t), t T}為離散參數(shù)的隨機過程。 ?（3）例 1 為離散狀態(tài)離散參數(shù)的隨機過程，例 2 為連續(xù)狀態(tài)離散參數(shù)的隨機過程，例 3 為離散狀態(tài)連續(xù)參數(shù)的隨機過程，例 4 為連續(xù)狀態(tài)連續(xù)參數(shù)的隨機過程。二、有限維分布與 二、有限維分布與 Kolmogorov 定理 定理隨機過程的一維分布： 隨機過程的一維分布： } ) ( { ) ,

6、( x t X P x t F ? ?隨機過程的二維分布： 隨機過程的二維分布：T t t x t X x t X P x x F t t ? ? ? ? 2 1 2 2 1 1 2 1 , , }, ) ( , ) ( { ) , (2 1?3三、隨機過程的基本類型 三、隨機過程的基本類型獨立增量過程 獨立增量過程：如果對任意 隨機變量, , , , 2 1 T t t t n ? ? ? ? , 2 1 n t t t ? ? ?

7、? ? ? , ) ( ) ( 1 2 ?? ? ? t X t X是相互獨立的，則稱{X(t), t T}是獨立增量過程。 ) ( ) ( 1 ? ? n n t X t X ?平穩(wěn)增量過程 平穩(wěn)增量過程：如果對任意 ，有 X(t1+h)-X(t1)X(t2+h)-X(t2)，則稱{X(t), t T}是平 2 1, t t d ?穩(wěn)增量過程。平穩(wěn)獨立增量過程 平穩(wěn)獨立增量過程：兼有獨立增量和平穩(wěn)增量的過程稱為平穩(wěn)獨立增量過程，例如

8、Poisson過程和 Brownian motionPoisson 過程 過程2.1 Poisson 過程 過程1. 計數(shù)過程 計數(shù)過程定義：隨機過程 稱為計數(shù)過程，如果 表示從 0 到 t 時刻某一特定事件 } 0 ), ( { ? t t N ) (t NA 發(fā)生的次數(shù)，它具備以下兩個特點：（1） 且取值為整數(shù)； 0 ) ( ? t N（2） 時， 且 表示 時間內(nèi)事件 A 發(fā)生的次數(shù)。 t s ? ) ( ) ( t N s N

9、 ? ) ( ) ( s N t N ? ] , ( t s2. Poisson 過程 過程定義 2.1.1：計數(shù)過程 稱為參數(shù)為 （ ）的 Poisson 過程，如果 } 0 ), ( { ? t t N ? 0 ? ?（1） ; 0 ) 0 ( ? N（2）過程具有獨立增量性；（3）在任一長度為 t 的時間區(qū)間中事件發(fā)生的次數(shù)服從均值為 的 Poisson 分布，即對一 t ?切 ，有 0 , 0 ? ? t s ? ? ? ,