數(shù)論論文-二元一次不定方程

1、二元一次不定方程數(shù)學計算機科學學院摘 要:不定方程在歷史上有極其豐富的研究,文獻極其豐富 ，也留下很多經(jīng)典難題,主要研究二元一次不定方程有整數(shù)解的條件,以及利用輾轉相除法求出它的一切整數(shù)解.關鍵詞:輾轉相除法;整數(shù)解;最大公約數(shù)引言未知數(shù)個數(shù)多于方程個數(shù),且對解有一定限制(比如要求解為正整數(shù)等)的方程.數(shù)論中最古老的分支之一.古希臘的丟番圖早在公元 3 世紀就開始研究不定方程,因此常稱不定方程為丟番圖方程.研究不定方程要解決三個問題:

2、①判斷何時有解.②有解時決定解的個數(shù).③求出所有的解.中國是研究不定方程最早的國家,公元初的五家共井問題就是一個不定方程組問題,公元 5 世紀的《 張丘建算經(jīng)》中的百雞問題標志中國對不定方程理論有了系統(tǒng)研究.秦九韶的大衍求一術將不定方程與同余理論聯(lián)系起來.百雞問題說：“雞翁一,直錢五,雞母一,直錢三,雞雛三,直錢一.百錢買百雞,問雞翁、母、雛各幾何?”.設 x,y,z 分別表雞翁、母、雛的個數(shù),則此問題即為不定方程組的非負整數(shù)解 x,

3、y,z,這是一個三元不定方程組問題.1 預備知識定理 定理 1 設二元一次不定方程ax+by=c (1)(其中 a,b,c 是整數(shù)且 a,b 都不是 0),有一整數(shù)解 x=x ,y=y ;又設(a,b)=d,a= a 0 0 1d,b=b ,則(1)的一切解可以表成 1而又有(b,r )=(a,b)=1,故方程 by +rx =r 有整數(shù)解. 1' ' ' 1設 x=x ,y

4、=y 是 ax+by=c 的任一整數(shù)解,則 0 0y = =q -q x + . 0 bax c 0 ? ' 1 1 0 bx r r 0 1' 1 ?又因為 y ，q - q x 都是整數(shù)，所以 也是整數(shù). 0' 1 1 0 bx r r 0 1' 1 ?令 =y ， 則 x =x ，y = y 是 by +rx =r 的一個整數(shù)解，即 ax+by=c 的 bx r r 0 1' 1 ? 

5、9; 0'0' ' 0' ' ' 1任一整數(shù)解能寫成下列形狀:x=x ,y= q -q x +y , ' ' 1 1' '其中 x ，y 是 by +rx =r 的某一整數(shù)解,反之,若 x ,y 是 by +rx =r 的任一正整 ' ' ' ' ' 1' ' ' ' ' 1數(shù)解

6、,則由 x=x ,y= q -q x +y 所求得的 x，y 是 ax+by=c 的一解. ' ' 1 1' '例 2 求 107x+37y=25 的一切整數(shù)解.解 由給定的方程得y= =-2x+ =-2x+y , 37107 25 x ?3733 25 x ? '其中 y = 應該是整數(shù)，故得一新的不定方程 '3733 25 x ?37y +33x=25 （1） &#

7、39;又 x==-y +=-y +x , 3337 25 y ? '334 25 ' y ? ' '仿上令 x = ，又得一新的不定方程： '334 25 ' y ?33x +4y =25 （2） ' '又 y = =6-8x + =6-8x +y ， '433 25 ' x ? '41 ' x ? ' '