中考二次函數(shù)壓軸題解題通法(重點(diǎn)中學(xué)整理)

1、中考二次函數(shù)壓軸題 中考二次函數(shù)壓軸題———解題通法研究 解題通法研究二次函數(shù)在全國(guó)中考數(shù)學(xué)中常常作為壓軸題，同時(shí)在省級(jí)，國(guó)家級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽中也有二次函數(shù)大題，在宜賓市的拔尖人才考試中同樣有二次函數(shù)大題，在成都，綿陽(yáng)，瀘縣二中等地的外地招生考試中也有二次函數(shù)大題，很多學(xué)生在有限的時(shí)間內(nèi)都不能很好完成。由于在高中和大學(xué)中很多數(shù)學(xué)知識(shí)都與函數(shù)知識(shí)或函數(shù)的思想有關(guān)，學(xué)生在初中階段函數(shù)知識(shí)和函數(shù)思維方法學(xué)得好否，直接關(guān)系到未來(lái)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)。所以二次函

2、數(shù)綜合題自然就成了相關(guān)出題老師和專家的必選內(nèi)容。我通過(guò)近６年的研究，思考和演算了上 1000 道二次函數(shù)大題，總結(jié)出了解決二次函數(shù)壓軸題的通法，供大家參考。幾個(gè)自定義概念：1 三角形基本模型：有一邊在 X 軸或 Y 上，或有一邊平行于 X 軸或 Y 軸的三角形稱為三角形基本模型。2 動(dòng)點(diǎn)（或不確定點(diǎn)）坐標(biāo)“一母示”：借助于動(dòng)點(diǎn)或不確定點(diǎn)所在函數(shù)圖象的解析式，用一個(gè)字母把該點(diǎn)坐標(biāo)表示出來(lái)，簡(jiǎn)稱“設(shè)橫表縱” 。如：動(dòng)點(diǎn) P 在 y=2x+1

3、 上， 就可設(shè) P（t, 2t+1）.若動(dòng)點(diǎn)Ｐ在ｙ＝ ，則可設(shè)為Ｐ（ｔ， ）當(dāng)然 2 3 2 1 x x ? ? 2 3 2 1 t t ? ?若動(dòng)點(diǎn) M 在 X 軸上，則設(shè)為（t, 0）.若動(dòng)點(diǎn) M 在Ｙ軸上，設(shè)為（０，ｔ） ．3 動(dòng)三角形：至少有一邊的長(zhǎng)度是不確定的，是運(yùn)動(dòng)變化的?；蛑辽儆幸粋€(gè)頂點(diǎn)是運(yùn)動(dòng)，變化的三角形稱為動(dòng)三角形。4 動(dòng)線段：其長(zhǎng)度是運(yùn)動(dòng)，變化，不確定的線段稱為動(dòng)線段。5 定三角形：三邊的長(zhǎng)度固定，或三個(gè)

4、頂點(diǎn)固定的三角形稱為定三角形。6 定直線：其函數(shù)關(guān)系式是確定的，不含參數(shù)的直線稱為定直線。如：ｙ＝３ｘ－６。 7 X 標(biāo)，Y 標(biāo)：為了記憶和闡述某些問(wèn)題的方便，我們把橫坐標(biāo)稱為 x 標(biāo)，縱坐標(biāo)稱為 y 標(biāo)。 8 直接動(dòng)點(diǎn)：相關(guān)平面圖形（如三角形，四邊形，梯形等）上的動(dòng)點(diǎn)稱為直接動(dòng)點(diǎn)，與之共線的問(wèn)題中的點(diǎn)叫間接動(dòng)點(diǎn)。動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)“一母示”是針對(duì)直接動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)而言的。1.求證“兩線段相等”的問(wèn)題： 求證“兩線段

5、相等”的問(wèn)題：借助于函數(shù)解析式，先把動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)用一個(gè)字母表示出來(lái)；然后看兩線段的長(zhǎng)度是什么距離（即是“點(diǎn)點(diǎn)”距離，還是“點(diǎn)軸距離” ，還是“點(diǎn)線距離” ，再運(yùn)用兩點(diǎn)之間的距離公式或點(diǎn)到 x 軸（y 軸）的距離公式或點(diǎn)到直線的距離公式，分別把兩條線段的長(zhǎng)度表示出來(lái)，分別把它們進(jìn)行化簡(jiǎn)，即可證得兩線段相等。２、 ２、 “平行于 “平行于 y 軸的動(dòng)線段長(zhǎng)度的最大值”的問(wèn)題： 軸的動(dòng)線段長(zhǎng)度的最大值”的問(wèn)題：由于平行于 y 軸的線段上各個(gè)點(diǎn)的橫

6、坐標(biāo)相等（常設(shè)為 t） ，借助于兩個(gè)端點(diǎn)所在的函數(shù)圖象解析式，把兩個(gè)端點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別用含有字母 t 的代數(shù)式表示出來(lái)，再由兩個(gè)端點(diǎn)6. 6.“在定直線（常為拋物線的對(duì)稱軸，或 “在定直線（常為拋物線的對(duì)稱軸，或 x 軸或 軸或 y 軸或其它的定直線）上是否存在一 軸或其它的定直線）上是否存在一點(diǎn)，使之到兩定點(diǎn)的距離之和最小”的問(wèn)題： 點(diǎn)，使之到兩定點(diǎn)的距離之和最小”的問(wèn)題：先求出兩個(gè)定點(diǎn)中的任一個(gè)定點(diǎn)關(guān)于定直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，再把該對(duì)稱

7、點(diǎn)和另一個(gè)定點(diǎn)連結(jié)得到一條線段，該線段的長(zhǎng)度〈應(yīng)用兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算〉即為符合題中要求的最小距離，而該線段與定直線的交點(diǎn)就是符合距離之和最小的點(diǎn)，其坐標(biāo)很易求出（利用求交點(diǎn)坐標(biāo)的方法） 。7.三角形周長(zhǎng)的“最值 三角形周長(zhǎng)的“最值(最大值或最小值 最大值或最小值)”問(wèn)題： ”問(wèn)題：1 “在定直線上是否存在一點(diǎn)，使之和兩個(gè)定點(diǎn)構(gòu)成的三角形周長(zhǎng)最小”的問(wèn)題（簡(jiǎn)稱“一邊固定兩邊動(dòng)的問(wèn)題）：由于有兩個(gè)定點(diǎn)，所以該三角形有一定邊（其長(zhǎng)度可利用兩

8、點(diǎn)間距離公式計(jì)算） ，只需另兩邊的和最小即可。2 “在拋物線上是否存在一點(diǎn)，使之到定直線的垂線，與 y 軸的平行線和定直線，這三線構(gòu)成的動(dòng)直角三角形的周長(zhǎng)最大”的問(wèn)題（簡(jiǎn)稱“三邊均動(dòng)的問(wèn)題）：在圖中尋找一個(gè)和動(dòng)直角三角形相似的定直角三角形，在動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)一母示后，運(yùn)用 ，把動(dòng)三角形的周長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為一個(gè)開(kāi)口向下的拋物線來(lái)破解。 = CC A AA A動(dòng)動(dòng)定定斜邊斜邊8. 8.三角形面積的最大值問(wèn)題： 三角形面積的最大值問(wèn)題：1 “拋物線上是否存在

9、一點(diǎn)，使之和一條定線段構(gòu)成的三角形面積最大”的問(wèn)題（簡(jiǎn)稱“一邊固定兩邊動(dòng)的問(wèn)題” ）：(方法 1)先利用兩點(diǎn)間的距離公式求出定線段的長(zhǎng)度；然后再利用上面３的方法，求出拋物線上的動(dòng)點(diǎn)到該定直線的最大距離。最后利用三角形的面積公式 12底·高。即可求出該三角形面積的最大值，同時(shí)在求解過(guò)程中，切點(diǎn)即為符合題意要求的點(diǎn)。（方法 2）過(guò)動(dòng)點(diǎn)向 y 軸作平行線找到與定線段（或所在直線）的交點(diǎn)，從而把動(dòng)三角形分割成兩個(gè)基本模型的三角形，動(dòng)點(diǎn)

10、坐標(biāo)一母示后，進(jìn)一步可得到，轉(zhuǎn)化為一個(gè)開(kāi)口向下的二次函數(shù)1 ( - ) -x2S y y ? ? 動(dòng)三角形上（動(dòng)）下（動(dòng)）右（定）左（定） （x ）問(wèn)題來(lái)求出最大值。2 “三邊均動(dòng)的動(dòng)三角形面積最大”的問(wèn)題（簡(jiǎn)稱“三邊均動(dòng)”的問(wèn)題）：先把動(dòng)三角形分割成兩個(gè)基本模型的三角形（有一邊在 x 軸或 y 軸上的三角形，或者有一邊平行于 x 軸或 y 軸的三角形，稱為基本模型的三角形）面積之差，設(shè)出動(dòng)點(diǎn)在 x 軸或 y 軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)，而此類題型

11、，題中一定含有一組平行線，從而可以得出分割后的一個(gè)三角形與圖中另一個(gè)三角形相似（常為圖中最大的那一個(gè)三角形） 。利用相似三角形的性質(zhì)（對(duì)應(yīng)邊的比等于對(duì)應(yīng)高的比）可表示出分割后的一個(gè)三角形的高。從而可以表示出動(dòng)三角形的面積的一個(gè)開(kāi)口向下的二次函數(shù)關(guān)系式，相應(yīng)問(wèn)題也就輕松解決了。9. 9.“一拋物線上是否存在一點(diǎn)，使之和另外三個(gè)定點(diǎn)構(gòu)成的四邊形面積最大的問(wèn) “一拋物線上是否存在一點(diǎn)，使之和另外三個(gè)定點(diǎn)構(gòu)成的四邊形面積最大的問(wèn)題”： 題”：由