關(guān)于極小非平凡作用與內(nèi)冪零群的若干探討.pdf

1、一個(gè)有限群G稱(chēng)為內(nèi)冪零群(或極小非冪零群，或Schimdt群)如果其本身不是冪零群，但每個(gè)真子群都是冪零群.熟知這是有限群理論中非?；径匾囊活?lèi)群，經(jīng)常出現(xiàn)在極小反例環(huán)境中.但直到2005年，才由三位群論學(xué)者(其中有著名的群論專(zhuān)家D.Robinson)應(yīng)用了所謂的極小非PST群類(lèi)的結(jié)構(gòu)定理，最終得到內(nèi)冪零群結(jié)構(gòu)的一個(gè)完整刻畫(huà)，即給出了一個(gè)群為內(nèi)冪零群的充要條件.但他們所給的證明是非常復(fù)雜的，并非是一個(gè)直接了當(dāng)?shù)某醯茸C明.
　　

2、本文主要目的是從一個(gè)新的角度重新探討內(nèi)冪零群的結(jié)構(gòu)定理，得到了一個(gè)簡(jiǎn)明的刻畫(huà)，并獲得了新的結(jié)構(gòu)信息.
　　我們首先需要建立一個(gè)關(guān)于不可約自同構(gòu)的判別準(zhǔn)則，該結(jié)果在我們后續(xù)的研究中仍將發(fā)揮重要的技術(shù)功效.
　　定理1.設(shè)V為初等交換p-群,|V|=pn,α∈ Aut(V)為一個(gè)pl自同構(gòu)，視V為p元域F=GF(p)上的向量空間，則α在V上不可約當(dāng)且僅當(dāng)α在V上的特征多項(xiàng)式在F上不可約.特別地，當(dāng)O(α)=qe,其中q≠p為素?cái)?shù)

3、，則α在V上不可約當(dāng)且僅當(dāng)n=ordqe(p),即n是滿(mǎn)足同余方程pn=1(mod qe)的最小正整數(shù).
　　進(jìn)而，我們需要將經(jīng)典的Hall-Higman簡(jiǎn)化定理加以改進(jìn)，獲得了其充要條件形式，據(jù)此得到極小非平凡作用的一個(gè)刻畫(huà).
　　定理2.設(shè)p為素?cái)?shù)，有限群A通過(guò)自同構(gòu)作用在有限p-群P≠1上,p|A|,則該作用為極小非平凡作用當(dāng)且僅當(dāng)下面的兩個(gè)條件是同時(shí)成立的：
　　(1)Cp(A)=φ(P),其中φ(P)為P的F

4、rattini子群；
　　(2)A在P/φ(P)上的誘導(dǎo)作用不可約.
　　另一個(gè)等價(jià)形式是將φ(P)替換成導(dǎo)群P1,我們有類(lèi)似的刻畫(huà).
　　定理2'.設(shè)有限群A互素作用在有限p-群P≠1上，p|A|則該作用為極小非平凡作用當(dāng)且僅當(dāng)下面的兩個(gè)條件是同時(shí)成立的：
　　(1)CP(A)=P1.
　　(2)A在P/P1上的作用不可約.
　　使用上述定理1和定理2,我們即可給出內(nèi)冪零群結(jié)構(gòu)的一個(gè)新的刻畫(huà).

5、>　　定理3.設(shè)G為有限群，則G為內(nèi)冪零群當(dāng)且僅當(dāng)下面的三個(gè)條件是同時(shí)成立的：
　　(1)G=P×Q,P∈Sylp(G)此處為公式正規(guī),而Q∈Sylq(G)循環(huán),其中p,q為不同素?cái)?shù).
　　(2)CQ(P)=φ(Q),CP(Q)=P1=φ(P),其中φ(Q)為Q的Frattini子群;
　　(3)d(P)=Ordq(p),其中d(p)為P的最小生成元個(gè)數(shù),即P/φ(P)=PD(P),而ordq(p)是滿(mǎn)足同余方程PR≡

6、1(modp)的最小正整數(shù)r.
　　從定理3出發(fā)，我們獲得了一個(gè)“極小階”的內(nèi)冪零群的構(gòu)造，可視為具有相同素因子的內(nèi)冪零群的共同的商群.
　　定理4.任取兩個(gè)不同的素?cái)?shù)p和q,設(shè)d=ordq(p),即d為滿(mǎn)足同余方程pd=1(mod q)的最小的正整數(shù).設(shè)P=Cp×…×Cp是pd階初等交換p-群，而Q= Cq為q階循環(huán)群，則Q同構(gòu)于Aut(P)的一個(gè)子群，且相應(yīng)的半直積PxQ為一個(gè)內(nèi)冪零群.進(jìn)而，如果G是任意的一個(gè)內(nèi)冪零群并