有限單群的純數(shù)量刻畫.pdf

1、設(shè)G是有限群,π<,e>(G)表示G中元素的階的集合,h(π<,e>(G))表示滿足條件π<,e>(G)=π<,e>(H)的有限群H的同構(gòu)類類數(shù),稱h(π<,e>(G))=h(G)為G的h函數(shù).群G稱為可用元素階的集合刻畫的群(可分辨群,不可分辨群),如果h(G)=1(1≤h(G)<∞,h(G)=∞).在1989年,施武杰教授提出了如下猜想:猜想設(shè)G,H為有限群,H為單群,則G≌H當(dāng)且僅當(dāng)(1)π<,e>(G)=π<,e>(H),(2)

2、|G|=|H|.作者在第二,三節(jié)對(duì)上述猜想進(jìn)行討論,得到下面的定理A,定理B:定理A設(shè)G為有限群,M(q)為L(zhǎng)ie型單群<'2>Dn(q),n≥4或Dl(q),其中l(wèi)為奇數(shù),l≥5.則G≌M(q)當(dāng)且僅當(dāng)(1)π<,e>(G)=π<,e>(M(q)),(2)|G|=|M(q)|.定理B設(shè)G為有限群,S<,4>(q)為辛型單群.則G≌S<,4>(q)當(dāng)且僅當(dāng)(1)π<,e>(G)=π<,e>(S<,4>(q)),(2)|G|=|S<,4>

3、(q)|.上述猜想是用兩個(gè)條件對(duì)有限單群進(jìn)行刻畫,而不少單群可僅用元素的階的集合這一個(gè)條件刻畫,作者在第四節(jié)做了這方面的工作,得到如下定理:定理C設(shè)G為有限群,L=L<,3>(3<'(2m-1)>),m≥2或者G<,2>(3<'n>).則G≌L當(dāng)且僅當(dāng)π<,e>(G)=π<,e>(L).群G的元素的階之集合相同,即G的循環(huán)子群的階之集合相同.在2002年,日本數(shù)學(xué)家S.Abe,N.Iiyori用可解子群的階的集合代替循環(huán)子群的階的集合,