自由邊界問題的最優(yōu)控制.pdf

1、自由邊界問題是非常常見的問題，它存在于伴隨著相的變化的能量流動問題和某些擴(kuò)散問題中。經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)域中的美式期權(quán)定價問題也屬于自由邊界問題的范疇。它主要是指控制方程的求解區(qū)域不是完全己知的，其中未知的部分有時甚至是隨時間變化的，它需要隨著方程的解一同求出來。在研究自由邊界問題時，大家首先會很自然的想到，要改寫模型，使自由邊界在模型里消失。本文通過引進(jìn)變分不等式達(dá)到了這一目的，從而可以從弱解的意義下來研究自由邊界問題的解的性質(zhì)。對于與自由邊界問

2、題等價的拋物型變分不等式的障礙問題，本文對障礙的最優(yōu)控制做了一定的研究。障礙是原自由邊界問題中的解需要滿足的某個條件。由于只有很少的一部分自由邊界問題能夠求出它的解析解，因此，如何用一種高精度的數(shù)值方法求解就顯的尤為重要。通過對自由邊界問題的改寫我們很自然想到用變分不等式法求解，即求解它的等價的變分不等式問題。本文采用了有限元法求解變分不等式，并對氧氣擴(kuò)散問題作了數(shù)值實驗得出結(jié)論：變分不等式法在求解自由邊界時，存在著較大的誤差，所以對于

3、以求自由邊界為目的的問題，這一方法不應(yīng)該是求解時的首選。因此，本文引進(jìn)了譜方法，同時也對氧氣擴(kuò)散問題作了數(shù)值實驗，知道了譜方法求解自由邊界是非常精確的。另外，本文針對前面的理論，研究了一個比較實際的問題一美式期權(quán)定價問題。首先改寫此問題為與其等價的拋物型變分不等式模型，利用拋物型變分不等式的極值原理研究了期權(quán)價格的性質(zhì)。然后利用譜方法求它的數(shù)值解得到了最佳實施邊界一自由邊界關(guān)于時間的函數(shù)圖象。由于美式期權(quán)定價問題中的初始條件帶有弱奇性，