關(guān)于差分多項(xiàng)式以及微分多項(xiàng)式值分布和分擔(dān)值問(wèn)題的研究.pdf

1、經(jīng)過(guò)Nevanlinna[47]卓越的工作之后，值分布理論基本上建立起來(lái).經(jīng)過(guò)長(zhǎng)足發(fā)展之后，值分布理論成為了復(fù)分析領(lǐng)域重要的研究方向之一。盡管值分布理論已經(jīng)相當(dāng)完善，但對(duì)于一些經(jīng)典問(wèn)題的研究仍在繼續(xù)，而且研究的范圍日趨廣泛。該理論不斷發(fā)展，廣泛應(yīng)用到其他的數(shù)學(xué)領(lǐng)域，如多復(fù)變量理論，復(fù)微分方程，以及復(fù)差分方程等等。
　　 亞純函數(shù)唯一性理論主要研究亞純函數(shù)在滿足何種條件下，函數(shù)唯一的理論。Nevanlinna給出了唯-性理論上的經(jīng)

2、典的結(jié)果，即五值定理以及四值定理.經(jīng)過(guò)上世紀(jì)后期幾十年的發(fā)展，唯一性理論出現(xiàn)了越來(lái)越多的分支，比如對(duì)亞純函數(shù)和其導(dǎo)數(shù)唯一性問(wèn)題的研究，見[60]。
　　 對(duì)應(yīng)著亞純函數(shù)與其導(dǎo)數(shù)唯一性的問(wèn)題，Heittokangas[26，27]等人最近開始考慮亞純函數(shù)與其平移的分擔(dān)值問(wèn)題。而這方面的研究是基于復(fù)差分Nevanlinna理論的確立。其中，最關(guān)鍵的結(jié)果是差分上的對(duì)數(shù)導(dǎo)數(shù)引理，Halburd-Korhonen[20，21]和Chian

3、g-Feng[5]分別獨(dú)立了給出了這個(gè)引理的兩種表達(dá)形式。
　　 本文中，我們主要研究亞純函數(shù)與其差分算子分擔(dān)值的問(wèn)題，這個(gè)問(wèn)題的研究也是Nevanlinna值分布理論的一個(gè)應(yīng)用。本文的結(jié)構(gòu)如下。
　　 在第一章中，做為背景識(shí)識(shí)，我們回憶了值分布理論中的一些經(jīng)典結(jié)果，以及常用的符號(hào)。
　　 為了更好的理解第三章到第六章的證明思想，在第二章里，我們介紹了之前相關(guān)的結(jié)果。
　　 在第三章里，我們考慮了一類非線

4、性差分方程超越整函數(shù)解存在性的問(wèn)題。事實(shí)上，我們研究的方程與[33，61]中的方程相關(guān)。與[33，61]不同的是，我們研究的方程中，微分差分多項(xiàng)式的次數(shù)與f的次數(shù)相等。我們得到以下結(jié)果；定理0.1.假設(shè)α，c，λ為非零常數(shù)，n和m為整數(shù)，且滿足n≥m>0，P(z)，Q(z)為多項(xiàng)式。若n≥2，則下列差分方程
　　 f(z)n+m+λf(z)nf(z+c)m=P(z)eQ(z)+α(0.0.1)不存在有窮級(jí)超越整函數(shù)解。
　

5、　 做為定理0.1的應(yīng)用，我們研究了整函數(shù)多項(xiàng)式的值分布問(wèn)題。定理0.2.假設(shè)f為有窮級(jí)超越整函數(shù)，α，c為非零常數(shù)，n和m為整數(shù)，且滿足n≥m>0。λ，μ為常數(shù)且滿足∣λ∣+∣μ∣≠0。若n≥2，則f(z)n(λf(z+c)m+μf(z)m)-α有無(wú)窮個(gè)零點(diǎn)；或者f(z)≡elog t/czg(z)，其中t=(-μ/λ)1/m，g(z)為以c為周期的周期函數(shù)。
　　 對(duì)應(yīng)定理0.2，我們繼續(xù)考慮f(z)n+μf(z+c)m的

6、值分布問(wèn)題，其中m≠n。更近一步，在定理0.4中，我們部分的解決了當(dāng)n=m的情況。
　　 定理0.3.假設(shè)f為有窮級(jí)超越整函數(shù)，μ和c為非零常數(shù)，α(z)為f的非零小函數(shù)。假設(shè)n，m為正整數(shù)，且滿足n>m+1(或m>n+1)，則差分多項(xiàng)式f(z)n+μf(z+c)m-α(z)有無(wú)窮個(gè)零點(diǎn)。
　　 定理0.4.假設(shè)f為整函數(shù)，且f的級(jí)滿足1≤ρ(f)<∞.設(shè)f存在無(wú)窮個(gè)零點(diǎn)，且其零點(diǎn)收斂指數(shù)λ(f)<1。n，正整數(shù)，μ，α

7、和c為非零常數(shù)滿足f(z)n+μf(z+c)n()0。則差分多項(xiàng)式f(z)n+μf(z+c)n-α存在無(wú)窮個(gè)零點(diǎn)。
　　 對(duì)應(yīng)第三章，在第四章，我們重點(diǎn)考察了相應(yīng)差分多項(xiàng)式的唯一性問(wèn)題。主要結(jié)果如下：
　　 定理0.5.假設(shè)f和g為有窮級(jí)超越整函數(shù)，c為非零常數(shù)，n≥6為正整數(shù)。若fnf(z+c)和gng(z+c)分擔(dān)1 CM，則fg≡t1或者f≡t2g，其中t1和t2分別滿足tn+11=1和tn+12=1。
　　

8、 接下來(lái)，我們考察了fnf(z+c)和gna(z+c)分擔(dān)不動(dòng)點(diǎn)的情況。
　　 定理0.6.假設(shè)g和g為有窮級(jí)超越整函數(shù)，c為非零常數(shù)，n≥6為正整數(shù)。若fnf(z+c)和gng(z+c)分擔(dān)z CM，則f≡tg，其中t滿足tn+1=1。
　　 下面的一個(gè)結(jié)果，與Zhang[65，Theorem6]最近的結(jié)果相同，但我們采用了不同的證明方法。
　　 定理0.7.假設(shè)f和g為有窮級(jí)超越整函數(shù)，c為非零常數(shù)，n≥6

9、為正整數(shù)。若f(z)n(f(z)-1)f(z+c)和g(z)n(g(z)-1)g(z+c)分擔(dān)αCM，其中α∈S(f)∩S(g)＼{0}，則f(z)≡g(z)。
　　 最近，Hcittokangas[26，27]等人證明了有窮級(jí)整函數(shù)f(z)和f(z+c)分擔(dān)周期為c的小函數(shù)α1 IM和α2CM，則有f(z)=f(z+c)。在第五章中，我們證明了條件”1CM+1IM”可以被”2IM”取代。同時(shí)，我們定義F=fn，考慮了F和F(z