關(guān)于正規(guī)族及差分多項(xiàng)式值分布問題的研究.pdf

1、上世紀(jì)二十年代，芬蘭數(shù)學(xué)家R.Nevanlinna以亞純函數(shù)為研究對象，引入了特征函數(shù)的概念并且建立了著名的Nevanlinna理論，它被認(rèn)為二十世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)成就之一.Nevanlinna理論包括兩個基本定理，即Nevanlinna第一基本定理和Nevanlinna第二基本定理，并且后者顯著地推廣Picard小定理.Nevanlinna理論不僅是經(jīng)典函數(shù)論發(fā)展史上的一個里程碑，而且還標(biāo)志著現(xiàn)代亞純函數(shù)理論的開端.現(xiàn)在，Nevanli

2、nna理論廣泛地應(yīng)用于亞純函數(shù)唯一性、正規(guī)族、復(fù)微分方程、復(fù)動力系統(tǒng)等領(lǐng)域的研究中.
　　 最近在文章[11]和[18]中，作者分別獨(dú)立估計(jì)了均值函數(shù)m（r，f(z+c)/f(z)），其中函數(shù)f（z）為有窮級亞純函數(shù).這個結(jié)果可以看做是離散情形下的對數(shù)導(dǎo)數(shù)引理的對應(yīng)形式.在此基礎(chǔ)上，許多學(xué)者研究了涉及差分形式的值分布問題.
　　 正規(guī)族理論是復(fù)分析理論中的一個重要分支.正規(guī)族的概念是由P.Montel于1907年給出，它

3、不僅與值分布理論結(jié)合緊密，也在近年來比較活躍的復(fù)動力系統(tǒng)研究中有重要應(yīng)用.正規(guī)族研究的主要目標(biāo)是尋找正規(guī)定則，Bloch原理在其中起著重要的指導(dǎo)作用，盡管它一般而言并不成立.中國的學(xué)者們，如:楊樂，張廣厚，顧永興，陳懷惠，龐學(xué)誠等對正規(guī)族理論的推動和發(fā)展做出了許多卓越性的貢獻(xiàn).近些年來，特別是將Pang-Zalcman引理以及分擔(dān)值的思想引入正規(guī)族研究之后，亞純函數(shù)的正規(guī)族理論研究變得非?；钴S，很多杰出的成果為數(shù)學(xué)家們所獲得.
　

4、　 本文中，我們得到了關(guān)于亞純函數(shù)差分多項(xiàng)式值分布問題的一些結(jié)果，并且研究了涉及分擔(dān)微分多項(xiàng)式和全純函數(shù)的正規(guī)族問題.論文的結(jié)構(gòu)安排如下:
　　 在第一章中，我們簡單介紹了Nevanlinna理論、涉及差分形式的Nevanlinna理論和亞純函數(shù)正規(guī)族理論.
　　 在第二章中，我們利用經(jīng)典的唯一性中零點(diǎn)和極點(diǎn)分析的方法，研究了亞純函數(shù)差分多項(xiàng)式的值分布問題.之前涉及差分形式的值分布問題基本是在整函數(shù)范圍內(nèi)討論，我們考慮

5、了亞純函數(shù)時的情形并得到下列結(jié)果:
　　 定理0.1.假設(shè)f是一個有窮級亞純函數(shù)，s(z)為f(z)的小函數(shù).令P(z)是一個多項(xiàng)式，m是集合{z:P(z)=0]的勢且滿足deg(P(z))-m＞3，則P(f(z))+f(z+c)-s(z)至少有一個零點(diǎn).若f是超越亞純函數(shù)，則P(f(z))+f(z+c)-s(z)有無窮多個零點(diǎn).
　　 定理0.2.假設(shè)f是一個有窮級超越亞純函數(shù)，不以c≠0為周期，s（z）是f(z)的小

6、函數(shù).令P(z)，m如定理0.1中所述.若deg(P(z))-m＞4，則P(f(z))+f(z+c)-f(z)-s(z)有無窮多個零點(diǎn).
　　 我們同樣研究了亞純函數(shù)涉及q差分形式的值分布問題，得到:
　　 定理0.3.假設(shè)f是一個零級的亞純函數(shù)，q∈(C)\{0}，s(z)是函數(shù)f的小函數(shù).多項(xiàng)式P(z)如定理0.1中的定義.則P(f(z))+f(qz)-s(z)至少有一個零點(diǎn).若f是一個超越亞純函數(shù)，則P(f(z))

7、+f（qz）-s(z)有無窮多零點(diǎn).
　　 在第三章中，我們研究了涉及分擔(dān)微分多項(xiàng)式的亞純函數(shù)正規(guī)族問題，并改進(jìn)了雷春林和方明亮（見[32]）的結(jié)果.實(shí)際上，我們證明了如下結(jié)果:
　　 定理0.4.假設(shè)k是一個正整數(shù)，(g)是區(qū)域D內(nèi)的亞純函數(shù)族且滿足所有函數(shù)的零點(diǎn)重?cái)?shù)不小于k，令P=apzP+...+a2z2+z是一多項(xiàng)式且ap，a2≠0;p=deg(P)≥k十2.若對任意的f，g∈(g)都有P(f)G(f)和P（g）

8、G（g）在D內(nèi)IM分擔(dān)非零常數(shù)b，其中G(f)=f(k)+H(f)是滿足條件w/deg|H≤k/l+1+1或者w(H)-deg(H)＜k的微分多項(xiàng)式.則(g)在D內(nèi)正規(guī).
　　 定理0.5.假設(shè)k是一個正整數(shù)，(g)是區(qū)域D內(nèi)的亞純函數(shù)族且滿足所有函數(shù)的零點(diǎn)與極點(diǎn)的重?cái)?shù)分別大于等于k和2，令P(z)是一至少具有兩個不同零點(diǎn)的多項(xiàng)式.若對任意的f，g∈(g)都有P(f)G(f)和P（g）G（g）在D內(nèi)IM分擔(dān)常數(shù)b，其中G(f)=

9、f(k)+H(f)是滿足條件w(H)-deg(H)＜k的微分多項(xiàng)式.則(g)在D內(nèi)正規(guī).
　　 在第四章中，我們研究涉及分擔(dān)全純函數(shù)的亞純函數(shù)正規(guī)族問題，這些工作改進(jìn)了方明亮、常建明（見[13]）和夏吉英、徐焱（見[57]）等的結(jié)果.
　　 定理0.6.假設(shè)(g)是區(qū)域D內(nèi)的亞純函數(shù)族，(Ψ)((≠)0)，a0，a1，…，ak-1是全純函數(shù)，且k是正整數(shù).若對于任意的函數(shù)f∈(g)在區(qū)域D上都滿足f≠0，P(f)=f(k