三維近不可壓彈性問(wèn)題的數(shù)值方法及其快速求解算法研究.pdf

1、有限元(FEM)方法是求解三維彈性力學(xué)問(wèn)題的一類重要的數(shù)值方法。在實(shí)際計(jì)算時(shí)，諸如橡膠、塑料等材料呈現(xiàn)出近不可壓縮（即泊松比ν0.5）的性質(zhì)，利用通常的有限元（如線性元）進(jìn)行求解會(huì)出現(xiàn)所謂的體積閉鎖現(xiàn)象，往往需要采用一些特殊的方法。本文，首先基于ANSYS平臺(tái)系統(tǒng)研究了六面體網(wǎng)格剖分下高階單元法、減縮積分法及基于u/p格式的混合高階元法對(duì)求解混合邊界條件的三維近不可壓縮問(wèn)題的有效性和魯棒性（robustness）。數(shù)值結(jié)果表明：這三種協(xié)

2、調(diào)有限元法均能有效地克服三維彈性材料的體積閉鎖現(xiàn)象，其中混合高階元法最為精確，計(jì)算所得位移值均隨網(wǎng)格尺寸變小而穩(wěn)定地收斂于理論解。但混合元方法得到的總體剛度矩陣通常為一半正定矩陣，且計(jì)算規(guī)模比位移法大一倍，在選取快速求解器將帶來(lái)不便。我們希望對(duì)近不可壓縮問(wèn)題進(jìn)行離散后得到的是一個(gè)對(duì)稱、正定矩陣，這樣便于選取更為有效的求解器。本文第二部分針對(duì)混合邊界條件的三維近不可壓縮彈性問(wèn)題，利用基于能量泛函極小的罰函數(shù)有限元方法克服體積閉鎖現(xiàn)象，詳細(xì)

3、推導(dǎo)了相應(yīng)的計(jì)算格式，分析了該方法實(shí)施成功的條件，并通過(guò)數(shù)值實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了該方法對(duì)解決體積閉鎖現(xiàn)象的有效性和魯棒性。在三維有限元分析中，剖分網(wǎng)格的質(zhì)量將對(duì)計(jì)算精度和求解效率產(chǎn)生很大影響，實(shí)際計(jì)算時(shí)若能采用各向同性網(wǎng)格，則對(duì)問(wèn)題的分析將具有更好的收斂性。本文，最后針對(duì)罰函數(shù)有限元分析中形成的大型的、稀疏的和高度病態(tài)的正定方程組，設(shè)計(jì)了幾種預(yù)處理共軛梯度（PCG）法，包括基于塊對(duì)角逆預(yù)條件子的PCG法（即1M-PCG和M2-PCG）和基于整體矩