三維近不可壓彈性問題的數值方法及其快速求解算法研究.pdf

1、有限元(FEM)方法是求解三維彈性力學問題的一類重要的數值方法。在實際計算時，諸如橡膠、塑料等材料呈現(xiàn)出近不可壓縮（即泊松比ν0.5）的性質，利用通常的有限元（如線性元）進行求解會出現(xiàn)所謂的體積閉鎖現(xiàn)象，往往需要采用一些特殊的方法。本文，首先基于ANSYS平臺系統(tǒng)研究了六面體網格剖分下高階單元法、減縮積分法及基于u/p格式的混合高階元法對求解混合邊界條件的三維近不可壓縮問題的有效性和魯棒性（robustness）。數值結果表明：這三種協(xié)

2、調有限元法均能有效地克服三維彈性材料的體積閉鎖現(xiàn)象，其中混合高階元法最為精確，計算所得位移值均隨網格尺寸變小而穩(wěn)定地收斂于理論解。但混合元方法得到的總體剛度矩陣通常為一半正定矩陣，且計算規(guī)模比位移法大一倍，在選取快速求解器將帶來不便。我們希望對近不可壓縮問題進行離散后得到的是一個對稱、正定矩陣，這樣便于選取更為有效的求解器。本文第二部分針對混合邊界條件的三維近不可壓縮彈性問題，利用基于能量泛函極小的罰函數有限元方法克服體積閉鎖現(xiàn)象，詳細

3、推導了相應的計算格式，分析了該方法實施成功的條件，并通過數值實驗驗證了該方法對解決體積閉鎖現(xiàn)象的有效性和魯棒性。在三維有限元分析中，剖分網格的質量將對計算精度和求解效率產生很大影響，實際計算時若能采用各向同性網格，則對問題的分析將具有更好的收斂性。本文，最后針對罰函數有限元分析中形成的大型的、稀疏的和高度病態(tài)的正定方程組，設計了幾種預處理共軛梯度（PCG）法，包括基于塊對角逆預條件子的PCG法（即1M-PCG和M2-PCG）和基于整體矩