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1、本文主要討論了分析轉(zhuǎn)移矩陣(ATM)理論在一維波動(dòng)力學(xué)中的幾大應(yīng)用,分別是精確的量子化條件,超對(duì)稱(chēng)量子力學(xué),量子反射,以及精確的反射、透射時(shí)間等。
在論文的開(kāi)始部分介紹了ATM理論,包括光學(xué)與一維波動(dòng)力學(xué)的相似性,分析轉(zhuǎn)移矩陣的建立,以及最基本的位相方程的推導(dǎo)。ATM理論處理問(wèn)題的最基本思想在于將勢(shì)函數(shù)進(jìn)行分層,用一系列的均勻薄層來(lái)取代原勢(shì)函數(shù);當(dāng)分層的層數(shù)趨于無(wú)窮,并且每一層的厚度趨向于零的時(shí)侯,其極限形式就是原先的勢(shì)函數(shù)。
2、將每一薄層里面的波函數(shù)都以三角函數(shù)線(xiàn)性表示出來(lái),再結(jié)合邊界條件上的波函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的連續(xù)條件,就可以方便的用分析轉(zhuǎn)移矩陣來(lái)表征每一薄層。同時(shí),在具體的推導(dǎo)過(guò)程中,我們引入了等效波函數(shù)q(x),它的引入使得邊界上的兩個(gè)連續(xù)條件合并成為一個(gè),即等效波函數(shù)的連續(xù)條件,隨后可以推導(dǎo)出最基本的位相方程,等效波函數(shù)是聯(lián)系分析轉(zhuǎn)移矩陣與位相方程的重要紐帶。
利用超對(duì)稱(chēng)量子力學(xué),人們逐漸總結(jié)出一整套尋找和歸納精確可解勢(shì)的辦法。1983年,形狀不
3、變的概念被提出,人們驚奇地發(fā)現(xiàn)所有已知的精確可解勢(shì)都屬于第一類(lèi)形狀不變勢(shì),而由超對(duì)稱(chēng)概念啟發(fā)而得到的超對(duì)稱(chēng)量子化條件出人意料的給出了所有的精確可解勢(shì)的正確能譜;在這個(gè)問(wèn)題上,我們利用ATM理論成功的解釋了超對(duì)稱(chēng)量子化條件對(duì)這類(lèi)勢(shì)函數(shù)精確的原因,并且發(fā)現(xiàn)了所有精確可解勢(shì)都滿(mǎn)足的一個(gè)條件:子波位相在兩轉(zhuǎn)折點(diǎn)的區(qū)域內(nèi)的積分是不變量。
接下來(lái),本文利用ATM理論推導(dǎo)粒子隧穿中的透射系數(shù)的精確計(jì)算公式。利用我們之前引入的散射子波,主波和
4、總波矢等概念可以使分析轉(zhuǎn)移矩陣的透射公式更加簡(jiǎn)潔,而且物理意義也更加明確。這一公式的最大優(yōu)點(diǎn)在于將半經(jīng)典近似理論中的轉(zhuǎn)折點(diǎn)概括在一般的情況中,而不需要特別考慮。因此這一公式可以廣泛的適用于各種情況,無(wú)論是對(duì)粒子能量低于勢(shì)壘的隧穿情形,還是高于勢(shì)壘的峰值的量子反射情形,對(duì)ATM的透射系數(shù)公式來(lái)說(shuō),對(duì)上述兩個(gè)問(wèn)題的處理在本質(zhì)上是一致的。
量子反射是近來(lái)在超冷原子領(lǐng)域中比較熱門(mén)的研究課題,它可以發(fā)生在能量高于勢(shì)壘頂部的情況下,也可以
5、發(fā)生在吸引勢(shì)的拖尾區(qū)域。用來(lái)解釋量子反射的理論一直比較含糊,其中WKB近似理論通過(guò)利用廣義的連接公式將WKB區(qū)域的WKB波函數(shù)與已知的波函數(shù)精確解相連接的辦法,構(gòu)造出近似的全局波函數(shù),通過(guò)這個(gè)全局波函數(shù)來(lái)解決量子反射的問(wèn)題。這種方法不太容易使用,并且使用范圍受到很大的局限,物理意義也十分含糊。而我們通過(guò)對(duì)ATM理論推導(dǎo)的精確反射系數(shù)公式研究發(fā)現(xiàn),所謂的量子反射其實(shí)完全是子波的反射,并且簡(jiǎn)化過(guò)的反射系數(shù)公式可以適用于各種情況下的量子反射。
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