穩(wěn)定耗散矩陣的構造及其在動力學中的應用.pdf

1、本文考慮的Lotka-Volterra(LV)系統(tǒng)為由如下常微分方程組:(x)i=xi（ri+n∑j=1aijxj）(i=1,...,n).
　　 上述系統(tǒng)已是應用數學領域中重要的方程模型之一.目前，它不僅被廣泛應用于物理、化學、生物、動態(tài)博弈論、經濟和其他社會科學中，還被廣泛應用于許多熱門學科，如神經網絡、生物反應、細胞演化、資源管理和病毒傳播等.
　　 眾所周知，Lotka-Voltrra系統(tǒng)的動力學性質與其作用矩陣

2、A=(aij)n×n的代數性質具有緊密的聯系.前人根據作用矩陣的不同代數性質，抽象出三類不同的LV系統(tǒng):互利合作型（或相互競爭型），保守型和耗散型.其中，關于前兩類系統(tǒng)的研究已有豐富的成果，而有關耗散系統(tǒng)的研究相對較少.
　　 在Lotka-Voltrra系統(tǒng)的實際應用中，由于其作用矩陣A=（aij)n×n中數據的精確度問題，有必要對作用矩陣進行小擾動，從而就有了穩(wěn)定耗散的概念.國內外對穩(wěn)定耗散Lotka-Voltrra系統(tǒng)的研

3、究也相對比較少，其中大部分研究開始結合圖論的方法，亦有了最大穩(wěn)定耗散圖的概念.最大穩(wěn)定耗散圖的獲得對穩(wěn)定耗散矩陣的判別與構造起到了重要的作用.
　　 本文主要研究的是穩(wěn)定耗散矩陣的構造及其對應Lotka-Volterra系統(tǒng)的動力學性質分析.研究內容與結果主要有以下三方面:
　　 一、通過對低維最大穩(wěn)定耗散圖作圖過程的整理、分析，本文歸納總結出一套一般的作圖算法,按此作圖步驟可得到n階最大穩(wěn)定耗散圖.為了證實該作圖步驟的

4、可行性，我們對n≤6的情況進行了驗證，結果顯示與已有文獻得到的最大穩(wěn)定耗散圖的分類一致.因此，有理由相信按此作圖步驟，可以得到更高階的最大穩(wěn)定耗散圖.通過對n=7情形的實踐，我們發(fā)現，對于高維情形,徒手作圖方法效率較低，高維最大穩(wěn)定耗散圖的完全歸類需要大量作圖步驟.因此，在該部分中，將探索計算機作圖的方法，希望通過符號的轉換將作圖過程程序化.本文詳細介紹了作者對計算機作圖法的研究思路，并提出了一些創(chuàng)新性構想.但計算機程序法極有可能出現N

5、P問題，因此，最大穩(wěn)定耗散圖計算機作圖的實現有待編程愛好者在本文基礎上進一步完善與解決.
　　 二、從圖形組合出發(fā)，結合簡單的代數性質，給出構造穩(wěn)定耗散矩陣的幾種方法，包括疊加法、造橋法、強連接法等.首先，將所研究的作用矩陣轉化成圖的表示形式，即引入（穩(wěn)定）耗散圖.于是，矩陣的構造問題就轉化為圖的構造問題.其次，通過對圖的判別，排除一些不恰當的組合方式，從而減少不正確的構造方法.最后，根據圖的組合方式，再將問題回歸到矩陣的代數判

6、別，即穩(wěn)定耗散性的判別.
　　 三、討論了穩(wěn)定耗散矩陣對應Lotka-Volterra系統(tǒng)的動力學性質.為了更凸顯動力系統(tǒng)理論的現實意義，本文詳細考慮生物入侵的現象.以一類五階穩(wěn)定耗散系統(tǒng)為原始生態(tài)系統(tǒng)，通過模擬第六種生物的各類入侵方式，研究第六種生物對原五物種生態(tài)系統(tǒng)的影響.并具體分析了其中一類入侵方式下的新六物種系統(tǒng)的動力學性質，且給出了其極限行為是周期運動的充要條件.特別研究了初值與吸引子之間的關系，通過全面的數值分析，得