非線性優(yōu)化的直接搜索算法及其在分形粗糙面散射問題中的應用.pdf

1、陸地、海面及某些人工材料往往具有非常復雜的粗糙表面，電磁波在這些粗糙表面的散射特性在光學、電磁學與聲學等領域均有十分重要的研究與應用，比如光學界面特性，電磁散射與波傳播，海底聲波探測等． 在研究粗糙面電磁散射問題時，常常需要將符合實際情況的粗糙面構造出來．粗糙面具有非線性的幾何結構，電磁波與粗糙面的相互作用也是非線性的，因此采用非線性的理論和方法研究電磁波與粗糙面的相互作用更能反映其物理本質．在過去的研究中，粗糙面的數(shù)學模型經(jīng)常

2、用周期函數(shù)和隨機函數(shù)描述，而這里用B．B．Mandelbrot提出的分形的概念，用分形幾何描述自然界中粗糙面的不規(guī)則結構．由于分形幾何具有自相似性，可以兼顧大范圍有序和小范圍的無序的特點，因此用分形帶限函數(shù)來描述既不是周期的又不是完全隨機的實際的粗糙面．目前分形幾何已經(jīng)成功應用于分形表面與波的相互作用的研究．分形粗糙面可以通過與物理現(xiàn)象密切相關的一些參數(shù)進行特征化，它的最大優(yōu)勢在于觀察得到的一個非常復雜的形狀，能夠被分形幾何的一些特征參

3、數(shù)簡單描述：即在給定精度條件下，一個非常復雜的形狀可以用少量的信息來表示． 分形粗糙面的特征參數(shù)不僅由通常粗糙面的隨機起伏的相關函數(shù)及其相關長度f、起伏方差δ來表示，而且往往還應用分維數(shù)D來表示．在應用極小化目標函數(shù)的方法對分形粗糙面的分形維數(shù)進行反演時，目標函數(shù)本身就是經(jīng)過復雜的偏微分方程數(shù)值解法求得的，要計算其導數(shù)非常困難，而使用數(shù)值微分的一些方法會帶來較大的誤差，因此有必要采用不用導數(shù)信息的直接搜索算法來求解． 本

4、文針對這一問題，給出一種求解無約束極小值的高效的直接搜索算法，證明了算法的收斂性定理，并通過若干算例驗證了算法的收斂性．最后將此算法應用于粗糙面散射問題，對分形粗糙面的分形維數(shù)進行反演，得到了很好的反演效果．整篇文章的組織結構如下： 第一章是緒論部分，主要對粗糙面散射問題的研究背景和物理意義進行了介紹，并給出了分形的相關理論及其應用． 第二章先是介紹了粗糙面散射問題的數(shù)學建模過程，然后用有限元素法對正問題進行了推導和計算

5、，最后給出了求解反問題的目標函數(shù)并對最優(yōu)化理論進行了介紹． 第三章給出了非線性優(yōu)化的直接搜索算法及收斂性證明，第一節(jié)給出了直接搜索算法的具體步驟，第二節(jié)證明了收斂性定理，為算法的實際有效的應用提供了理論依據(jù)． 第四章的第一節(jié)中，構造了簡單的算例進行了數(shù)值計算，并與前進后退法的計算結果進行了比較，驗證了算法的有效性；第二節(jié)就參數(shù)η的選取和全局最優(yōu)化問題做了進一步的討論；第三節(jié)給出了算法在分形粗糙面的分形維數(shù)反演中的數(shù)值模擬