自相似過程若干問題的研究.pdf

1、自相似過程是在適當時空尺度下分布不變的過程.自上世紀中葉Lamperti給出嚴格定義以來,大批學者的關注為自相似過程研究建立了理論平臺.如今,自相似過程在統(tǒng)計物理、數(shù)理金融、通信網(wǎng)絡、計量經(jīng)濟學、水文學等諸多領域得到廣泛應用.布朗運動是自相似過程理論研究和實際應用中的最杰出代表.然而,部分有關理想模型也存在與現(xiàn)實不符的缺陷.這就促使人們不斷地發(fā)掘新的自相似過程.近些年,分式布朗運動、次分式布朗運動、Rosenblatt過程等在相關領域成

2、功應用極大地激發(fā)了廣大學者對如上自相似過程的研究興趣.它們已經(jīng)成為當今自相似過程研究中的熱點問題.
　　本文緊跟科研前沿,研究了幾類自相似過程的有關理論;討論了兩參數(shù)非Lipschitz系數(shù)隨機Volterra方程解的存在唯一性和正則性問題;并給出了自相似過程的一個應用.
　　首先,分式布朗運動是具有平穩(wěn)增量的中心高斯自相似過程.在第3章,采用Doss-Sussmann變換,先求解含參數(shù)的常微分方程,再根據(jù)其解給出了一類隨機

3、Volterra積分方程和一類由分式布朗運動驅動的隨機微分方程的廣義樣本解,由此得到了方程解的兩個比較定理.
　　其次,研究了長度為m的離散化次分式布朗運動自協(xié)方差矩陣.該過程具有諸多與分式布朗運動類似的性質,但沒有平穩(wěn)增量性.事實上,人們在應用中都是采取離散隨機信號的處理方法.所以,研究離散化次分式布朗運動的有關性質是應用的前提.在第4章,根據(jù)矩陣論線性算子擾動理論,得到了離散化次分式布朗運動自協(xié)方差矩陣的逼近定理和結構定理,并

4、且證明了離散化次分式布朗運動增量的漸近平穩(wěn)性.最后,借用Maple軟件工具進行了數(shù)據(jù)模擬與分析.
　　第三、Rosenblatt過程是Hermite過程的特例,也是第一個具有自相似、平穩(wěn)增量、長相依的非高斯過程.在第5章,利用Rosenblatt過程的Wiener積分給出了一個關于該過程的Fubini定理,并且根據(jù)Young積分和Rosenblatt過程的H¨older連續(xù)性定義了關于該過程的Riemann-Stieltjes積分

5、,同時得到對應的隨機Fubini定理.
　　第四、在過去的三十年,由布朗單驅動的隨機微分方程受到極大關注.然而,對隨機Volterra方程的討論,大量文獻還是集中在Lipschitz系數(shù)的情形.在第6章,根據(jù)平面上的Bihari不等式、推廣的Minkowski不等式等,采用Picard迭代的方法,證明了布朗單驅動的兩參數(shù)非Lipschitz系數(shù)隨機Volterra方程解的存在唯一性和正則性.
　　最后,在第7章,我們給出了自