常數(shù)磁場(chǎng)薛定鄂算子的調(diào)和分析問(wèn)題.pdf

1、隨著Schrodjnger算子理論的發(fā)展，調(diào)和分析在研究其中的很多問(wèn)題中起到越來(lái)越重要的作用。2006年，B.Simon(Schrodinger operators in the twentieth century)在總結(jié)二十世紀(jì)Schrodinger算子的研究進(jìn)展時(shí)指出，與Schrodinger算子的現(xiàn)代理論最緊密相關(guān)的數(shù)學(xué)是泛函分析、調(diào)和分析和復(fù)分析。經(jīng)典調(diào)和分析在一定的意義上可以看作是與Laplace算子緊密相關(guān)的數(shù)學(xué)理論，與Sc

2、hrodinger相關(guān)的調(diào)和分析問(wèn)題的研究，是對(duì)經(jīng)典調(diào)和分析理論的進(jìn)一步的發(fā)展，成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)領(lǐng)域的一個(gè)熱門(mén)的研究方向。
　　 本文充分結(jié)合了譜理論和經(jīng)典調(diào)和分析的方法，在已有結(jié)論的基礎(chǔ)上，對(duì)常數(shù)磁場(chǎng)Schrodinger算子相關(guān)的一些調(diào)和分析問(wèn)題進(jìn)行了深入的研究。本文主要分為以下幾個(gè)部分。
　　 第一章是本文的緒論，主要介紹了Schrodinger算子的理論產(chǎn)生的背景，與該算子相關(guān)的調(diào)和分析問(wèn)題研究的簡(jiǎn)要發(fā)展歷程，以及磁

3、場(chǎng)Schrodinger算子的研究發(fā)展?fàn)顩r。
　　 第二章研究常數(shù)磁場(chǎng)Schrodinger算子的Marcinkiewicz譜乘子的Lp有界光滑性條件，其中p在2的附近。研究譜乘子的基本工具是，根據(jù)常數(shù)磁場(chǎng)Schrodinger算子的譜表示，利用譜展開(kāi)的Reisz平均構(gòu)造兩個(gè)Littlewood-Paley g-函數(shù)，應(yīng)用譜投影算子限制性定理，對(duì)這兩個(gè)g-函數(shù)Lp有界與求和指標(biāo)β之間的關(guān)系給出精細(xì)的刻畫(huà)。并利用得到的結(jié)果，在H.

4、Dappa工作的基礎(chǔ)上，給出了常數(shù)磁場(chǎng)Schrodinger算子的譜乘子的Marcinkiewicz準(zhǔn)則。
　　 在第三章中，我們討論與常數(shù)磁場(chǎng)Schrodinger算子譜展開(kāi)的Riesz平均的幾乎處處收斂性問(wèn)題。對(duì)有關(guān)Laplace算子，Hermite算子等有所研究，對(duì)于常數(shù)磁場(chǎng)Schrodinger算子并沒(méi)有這方面的研究。我們通過(guò)建立一類g-函數(shù)的L2估計(jì)，獲得相應(yīng)的極大函數(shù)的估計(jì)，從而得到求和指標(biāo)β>0時(shí)，Riesz平均在

5、L2中是幾乎處處收斂的。當(dāng)0<β<(n-1)/2時(shí)，我們通過(guò)對(duì)緊支乘子的加權(quán)L2估計(jì)得到了Riesz平均這Lp(2≤p<2n/n-1-2β)中的幾乎處處收斂性。這個(gè)結(jié)論與經(jīng)典的傅里葉積分的結(jié)論相似。
　　 在第四章，我們研究與常數(shù)磁場(chǎng)Schrodinger算子相關(guān)的Hardy空間。對(duì)于卷積核相關(guān)的Hardy空間以及扭曲卷積核相關(guān)的Hardy空間已經(jīng)有了充分的研究，并且都已經(jīng)得到了很好的結(jié)果。但是這種卷積和扭曲卷積混合的熱核相關(guān)的

6、Hardy空間還沒(méi)有被研究過(guò)，因此這種探索也是一個(gè)新的嘗試。我們得到其Hardy空間的原子分解，這些原子其消失條件與對(duì)應(yīng)的扭曲平移相關(guān)。并引入一類Heisenberg型群，用與之對(duì)應(yīng)的熱核相關(guān)的極大函數(shù)來(lái)等價(jià)地刻畫(huà)群上的Hardy空間，通過(guò)討論磁場(chǎng)Hardy空間與群上的Hardy空間兩者之間的關(guān)系，我們得到了常數(shù)磁場(chǎng)Hardy空間的Riesz變換的特征。
　　 本文第五章主要研究多參數(shù)的、沿曲面的、帶粗糙核的奇異積分算子在Lp上

7、的有界性問(wèn)題。當(dāng)核函數(shù)球面部分屬于L(log+L)ε(Sm-1×Sn-1)(ε=1或2)，在乘積空間中沿著一個(gè)超曲面的奇異積分算子及其相應(yīng)的Marcinkiewicz算子是Lp上有界的算子。問(wèn)題的研究歸結(jié)為一個(gè)低維的極大函數(shù)的估計(jì)。這里的光滑性條件幾乎是最優(yōu)的。
　　 最后，我們總結(jié)本文得到的主要成果，并且著重介紹了科研成果中的創(chuàng)新性結(jié)論和創(chuàng)新性方法。還對(duì)常數(shù)磁場(chǎng)Schrodinger算子今后的研究工作做出了進(jìn)一步的展望與設(shè)想。