中常數(shù)磁場(chǎng)和位勢(shì)薛定鄂算子的特征函數(shù)問題【畢業(yè)論文+文獻(xiàn)綜述+開題報(bào)告】

1、<p><b>　　（20_ _屆）</b></p><p><b>　　本科畢業(yè)論文</b></p><p>　　中常數(shù)磁場(chǎng)和位勢(shì)薛定鄂算子的特征函數(shù)問題</p><p>　　所在學(xué)院 </p><p>　　專業(yè)班級(jí) 數(shù)

2、學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) </p><p>　　學(xué)生姓名 學(xué)號(hào) </p><p>　　指導(dǎo)教師 職稱 </p><p>　　完成日期 年 月 </p><p>　　摘要:本文考慮3維歐氏空間中帶常數(shù)磁場(chǎng)和電位勢(shì)的

3、薛定鄂算子</p><p>　　的特征函數(shù)問題。本文通過(guò)研究得到，當(dāng)磁場(chǎng)為（1,1）時(shí)，算子的特征函數(shù)為，特征值為,其中</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　且</b></p><p><b>　?。?lt;/b></p><p&g

4、t;　　當(dāng)磁場(chǎng)為時(shí)，算子的特征函數(shù)為，特征值為。并證明所有的特征函數(shù)構(gòu)成中的一組完備的正交基。</p><p>　　在第一章中，我們簡(jiǎn)要介紹了所研究問題的背景，以及研究的進(jìn)展?fàn)顩r。第二章，介紹一些預(yù)備知識(shí)，主要是與所討論的問題相關(guān)的Hermite函數(shù)、特殊Hermite函數(shù)的一些基本知識(shí)。第三章中證明我們的主要結(jié)論。第四章給出一個(gè)總結(jié)。</p><p>　　關(guān)鍵詞：薛定鄂算子；磁場(chǎng)，特征函

5、數(shù)；特征值.</p><p>　　The Eigen-Functions of Schrodinger Operator with Constant Magnetic Fields in </p><p>　　Abstract：In this paper, we consider the eigenvalues and eigenfunctions of Schrodinger opera

6、tors with constant magnetic fields and electric potentials, which are defined by </p><p>　　in , Euclidean space. We at first prove that when the magnetic field is of the form （1,1）, the functions are the ei

7、genfunctions of the operator corresponding to the eigenvalue ,where </p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　and</b></p><p><b>　　.</b></p><p>

8、;　　When the magnetic field is of the form , are the eigenfunctions corresponding to the eigenvalue . At last, we also show that all of the eigenfunctions are one of the complete orthogonal base in.</p><p>

9、　　In chapter 1, we introduce the background of the problems we will study and simply describe the development in recent years to research them. In chapter 2 we present some preliminary definitions and theory, such as Her

10、mite functions, Special Hermite functions. In chapter 3, we prove the conclusions. We give a summary for our paper in chapter 4.</p><p>　　Key words: Schrodinger operator; magnetic fields; eigenfunction; eige

11、nvalue.</p><p><b>　　目 錄</b></p><p><b>　　1 背 景1</b></p><p><b>　　2 預(yù)備知識(shí)4</b></p><p>　　2.1 Hermite 函數(shù)4</p><p>　　2.2

12、 特殊Hermite函數(shù)8</p><p>　　3 定理及其證明13</p><p>　　3.1 定理1及其證明13</p><p>　　3.2 定理2及其證明15</p><p>　　3.3 定理3及其證明19</p><p><b>　　4 總結(jié)21</b></p&g

13、t;<p><b>　　5 致謝22</b></p><p><b>　　參考文獻(xiàn)23</b></p><p><b>　　1 背 景</b></p><p>　　函數(shù)空間上的算子理論一直是泛函分析的一個(gè)重要課題，作為數(shù)學(xué)的一個(gè)部分，它經(jīng)歷了相當(dāng)長(zhǎng)的研究歷程，并形成了一整套豐富的

14、理論體系。不同函數(shù)空間上的算子具有不同的特征，算子性質(zhì)的研究大體上可以分為有界性、緊性、譜性質(zhì)、代數(shù)性質(zhì) (如正規(guī)性、亞正規(guī)性) 等幾個(gè)方面。基于這點(diǎn)，本課題考慮定義中常數(shù)磁場(chǎng)和位勢(shì)薛定鄂算子，研究該算子的特征函數(shù)問題。</p><p>　　我們?cè)趯W(xué)習(xí)波動(dòng)方程的時(shí)候，給出了一維波動(dòng)方程。在求解齊次一維波動(dòng)方程的初邊值問題時(shí)，我們通過(guò)采用分離變量法，在求解的過(guò)程中，得到兩個(gè)微分方程和，并求解得到，和 ，。前者為特征

15、值，后者為滿足邊界條件 ，的特征函數(shù)。同樣的，在學(xué)習(xí)一維熱傳導(dǎo)方程的時(shí)候，也采用同樣的方法，可以將上述特征值和特征函數(shù)求解出來(lái)。同時(shí)用這種方法求解偏微分方程，在求解過(guò)程中展示了傅里葉級(jí)數(shù)的威力與作用(見文獻(xiàn)[1]）。</p><p>　　我們已經(jīng)證明了很多類算子譜結(jié)構(gòu)的結(jié)論（見文獻(xiàn)[2]，[3]）。常數(shù)磁場(chǎng)的Schrodinger算子從某種意義上說(shuō)是有區(qū)別的，它在中的形式為</p><p>

16、;　?。?.1） ，</p><p>　　這里是實(shí)反對(duì)稱矩陣。如果非退化，則它的特征值有的形式，且。適當(dāng)?shù)剡x擇坐標(biāo)，則該算子為</p><p>　?。?.2） ，</p><p>　　算子(1.2)有相當(dāng)特別的譜性質(zhì)。譜是離散的特征值。常數(shù)磁場(chǎng)的Schrodinger算子與各向異性的Heisenberg群分析相關(guān)，

17、雖然Heisenberg群和不同的代數(shù)同構(gòu)，它們彼此不等距，因此它們的譜性質(zhì)依賴于的選擇。我們考慮Schrodinger算子的譜展開和建立Riesz–Bochner求和（與常規(guī)的差距在一個(gè)空間的參數(shù)，），為退化，則維數(shù)被認(rèn)可且，這里是矩陣的秩，于是算子（1.1）有</p><p><b>　　，</b></p><p>　　這里是在內(nèi)的拉普拉斯算子。當(dāng)所有的等于1時(shí)，

18、譜展開求和的研究如特殊Hermite展開（見文獻(xiàn)[2],[4]），基本上使用了與Heisenberg群和旋轉(zhuǎn)不變性的聯(lián)系。（以上內(nèi)容參見文獻(xiàn)[5]）</p><p>　　Thangavelu研究了關(guān)于Hermite的展開。定義了Hermite多項(xiàng)式：</p><p><b>　　，</b></p><p>　　以及Hermite函數(shù)：</

19、p><p><b>　　，</b></p><p>　　并由此獲得Hermite函數(shù)的一些性質(zhì)。</p><p>　　Hermite函數(shù)是Hermite算子，又可寫成的特征函數(shù),即有：，且函數(shù)在中形成一個(gè)正交族，同時(shí)Hermite函數(shù)也是Fourier變換的特征函數(shù)。通過(guò)定義有，得出結(jié)論：特殊Hermite函數(shù)形成一個(gè)在內(nèi)的完全正交系。</p

20、><p><b>　　又定義算子：</b></p><p><b>　　，</b></p><p>　　說(shuō)明了特殊Hermite函數(shù)是在上的二階橢圓型算子的特征函數(shù)。通過(guò)簡(jiǎn)單的計(jì)算，可以寫成形式 ，這里是算子， 。我們有結(jié)論：Hermite算子的特征函數(shù)是，并且函數(shù)也可以用拉蓋爾多項(xiàng)式表示。</p><p

21、>　　在內(nèi)給出一個(gè)函數(shù)， ，依據(jù)特殊Hermite函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)展開：</p><p><b>　　，</b></p><p>　　是Schwart類函數(shù)，系數(shù)因?yàn)樵诶?，以上?jí)數(shù)在依范數(shù)收斂到。</p><p>　　同時(shí),Thangavelu研究了Riesz平均和臨界的指標(biāo)，涉及到了對(duì)算子的研究，并得出了一些重要的方法。（以上內(nèi)容參見文獻(xiàn)[2]

22、）</p><p>　　程其襄等在線性算子和線性泛函中，給出微分算子的定義以及微分算子的運(yùn)算，對(duì)我們的計(jì)算研究有很大的幫助。(見文獻(xiàn)[6])</p><p>　　我們的問題熟悉中常數(shù)磁場(chǎng)和位勢(shì)薛定鄂算子的定義，對(duì)比磁場(chǎng)（1,1）時(shí)的特征函數(shù)，給出算子的特征值和特征函數(shù)的描述。</p><p>　　二十世紀(jì)初，法國(guó)數(shù)學(xué)家Frechet用抽象的形式表達(dá)了函數(shù)空間。指出：

23、空間中的每一點(diǎn)都是函數(shù)，并引入了一類空間。Hilbert在研究積分方程時(shí)，將一個(gè)函數(shù)看成是由它相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)正交函數(shù)系的Fourier系數(shù)確定的。1907年，德國(guó)數(shù)學(xué)家Schimidt發(fā)展了Hilbert這一思想，并將其抽象為一般的空間。他還據(jù)此導(dǎo)出了正交系的概念。之后Riesz進(jìn)一步由積分方程導(dǎo)出的空間，開始對(duì)抽象算子理論進(jìn)行研究，并引入了范數(shù)的概念。</p><p>　　二十世紀(jì)20年代，Banach用三組公理建

24、立了完備的賦范向量空間，稱之為“Banach空間”。它包括空間，連續(xù)函數(shù)空間，有界可測(cè)函數(shù)空間等。1932年發(fā)表了關(guān)于函數(shù)空間上線性算子的一系列重要定理的線性算子理論。</p><p>　　1929年和1930年von Neumann應(yīng)用公理化方法深入地研究了Hilbert空間中的算子，建立了Hermite算子和酉算子之間的聯(lián)系。他又把有關(guān)結(jié)論推廣到無(wú)界算子，并發(fā)現(xiàn)了這種算子的譜理論。</p>&l

25、t;p>　　后來(lái)，Hormander進(jìn)行了對(duì)橢圓型微分算子譜函數(shù)和特征函數(shù)展開以及線性偏微分算子的研究（見文獻(xiàn)[7]，[8]），Nicole Berline對(duì)狄拉克算子非線性單調(diào)算子進(jìn)行了研究（見文獻(xiàn)[9]）。陳恕行研究了擬微分算子（見文獻(xiàn)[10]）。鐘懷杰通過(guò)對(duì)黎斯算子類的專門探討，反映一般Banach空間算子理論的特殊性（見文獻(xiàn)[11]）。孫炯，王忠系統(tǒng)介紹并分析了有界線性算子、共軛算子、正常算子、自共軛算子、緊算子的結(jié)構(gòu)（見

26、文獻(xiàn)[12]）。</p><p>　　在數(shù)學(xué)中，Hermite多項(xiàng)式是一種經(jīng)典的正交多項(xiàng)式族。Thangavelu研究給出了Hermite函數(shù)與特殊Hermite函數(shù)以及Laguerre函數(shù)的關(guān)系，以及函數(shù)的展開及性質(zhì)。并指出了Hermite函數(shù)與算子特征函數(shù)之間的關(guān)系。介紹并證明了Hermite函數(shù)與Fourier變換之間存在的關(guān)系。同時(shí)，Thangavelu證明了特殊Hermite函數(shù)的一些性質(zhì)，并分析討論它

27、們展開的一些收斂性質(zhì)和有界性情況。同時(shí)也介紹了Riesz平均和臨界的指標(biāo)的情況(見文獻(xiàn)[2])。</p><p>　　G. Rozenblum 和G. Tashchiyan 對(duì)常數(shù)磁場(chǎng)的薛定鄂算子進(jìn)行了研究，得出了一些研究算子的重要的結(jié)論（見文獻(xiàn)[5]）。</p><p>　　但是求3維歐氏空間中帶常數(shù)磁場(chǎng)和電位勢(shì)的薛定鄂算子：</p><p>　　的特征值和特征函

28、數(shù)，并證明所有的特征函數(shù)成為中的一組完備的正交基的工作還沒有研究。所以本文希望通過(guò)對(duì)實(shí)變函數(shù)泛函分析，高等代數(shù)，數(shù)學(xué)分析理論和技巧（詳細(xì)參考文獻(xiàn)[6],[13],[14]）的應(yīng)用，以及Thangavelu對(duì)Hermite函數(shù)及特殊Hermite函數(shù)的特征函數(shù)及特征值的研究，從中獲取我們所需的方法，解決以上問題。</p><p>　　綜合之前的研究，很多學(xué)者深入地研究了Hilbert空間中的算子，建立了空間上的算子

29、理論。算子我們并不陌生，研究從線性賦范空間到另一個(gè)線性賦范空間的映照，就是算子。如果是數(shù)域，則稱這種算子為泛函。對(duì)于微分算子就是從連續(xù)可微函數(shù)空間到上的算子。如果說(shuō)函數(shù)是數(shù)與數(shù)之間的一個(gè)對(duì)應(yīng)，那么算子可以說(shuō)是函數(shù)與函數(shù)之間的對(duì)應(yīng)。由于之前的研究沒有涉及到薛定鄂算子的特征函數(shù)問題上，所以這部分工作將是全新的工作。通過(guò)學(xué)習(xí)Thangavelu關(guān)于Hermite展開的講義，了解Hermite函數(shù)的性質(zhì)，以及熟悉微分算子的運(yùn)算，將進(jìn)行以上問題的

30、研究。</p><p><b>　　2 預(yù)備知識(shí)</b></p><p>　　2.1 Hermite 函數(shù)</p><p>　　本章我們主要參考文獻(xiàn)[2]的第一章的內(nèi)容。</p><p>　　Hermite多項(xiàng)式在實(shí)數(shù)中被定義為：</p><p>　　（2.1.1）

31、，</p><p>　　然后我們定義Hermite函數(shù)：</p><p><b>　　，</b></p><p>　　首先我們有下述的Hermite多項(xiàng)式形成的函數(shù)恒等方程。如果<1，則我們有</p><p>　　（2.1.2） ．</p><p>　　這個(gè)

32、很容易證明，通過(guò)泰勒展開這個(gè)函數(shù)右邊部分，且，以及利用定義（2.1.1）計(jì)算它的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)生成函數(shù)（2.1.2）我們得到以下關(guān)系：</p><p><b>　　, ，</b></p><p>　　再根據(jù)Hermite函數(shù)，這些關(guān)系變形為：</p><p>　　(2.1.3) ，</p><

33、p><b>　　和</b></p><p>　　(2.1.4) ．</p><p>　　算子和在量子力學(xué)中被稱為生成算子和零化算子。公式（2.1.3）和（2.1.4）給出了遞推關(guān)系：</p><p><b>　?。?lt;/b></p><p>　　現(xiàn)在，一個(gè)簡(jiǎn)單

34、的計(jì)算，Hermite算子可以寫成形式：</p><p>　?。?.1.5） ，</p><p>　　Hermite函數(shù)是這個(gè)算子的特征函數(shù)。事實(shí)上，由關(guān)系式（2.1.3），（2.1.4）和（2.1.5）很快給了</p><p>　?。?.1.6） ．</p><p>　

35、　它也證明了函數(shù)在中形成一個(gè)正交族。它的證明可以通過(guò)積分關(guān)系：</p><p><b>　　，</b></p><p>　　它是根據(jù)（2.1.6）得來(lái)的。我們想要適當(dāng)?shù)匕阉鼈冋换?，于是它們將?huì)形成一個(gè)正交族。</p><p>　　引理2.1.1 對(duì)<1，我們有</p><p>　?。?.1.7）

36、 ．</p><p>　　證明：我們通過(guò)已知的公式開始</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　從它我們能得到公式</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　因此，我們有&l

37、t;/b></p><p>　　即完成了引理的證明。</p><p><b>　　引理2.1.2</b></p><p><b>　?。?lt;/b></p><p>　　證明：在公式（2.1.7）中令，我們有</p><p><b>　　，</b>&l

38、t;/p><p><b>　　兩邊積分，我們有</b></p><p>　　兩邊系數(shù)相等，我們得到以上的定理。</p><p>　　于是我們定義標(biāo)準(zhǔn)化的Hermite函數(shù)：</p><p><b>　　，</b></p><p>　　于是它們?cè)谥行纬梢粋€(gè)正交族，同時(shí)可以證明這個(gè)函

39、數(shù)是完全正交族。最后當(dāng)我們估算某些由Hermite 函數(shù)定義的內(nèi)核時(shí)，我們需要知道的值。這些值可以通過(guò)Mehler公式計(jì)算。生成函數(shù)（2.1.2）表明，于是是偶數(shù)，是奇數(shù)。因此，的值可以通過(guò)</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　計(jì)算得到。</b></p><p><b>　　如果我

40、們利用展開</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　它跟隨</b></p><p><b>　　，</b></p><p>　　我們也需要一些Hermite函數(shù)漸近性質(zhì)和估量。</p><p>　　我們已經(jīng)

41、明白，Hermite函數(shù)是算子的特征函數(shù)。非常有意思的是他們也是傅里葉變換的特征函數(shù)。在傅里葉變換下是不變量這個(gè)一點(diǎn)也不驚訝，我們利用傅里葉變換的定義有：</p><p><b>　?。?lt;/b></p><p>　　通過(guò)這個(gè)定義，很容易發(fā)現(xiàn)</p><p>　?。?.1.8） ，，</p><p&

42、gt;　　現(xiàn)在我們證明下面的結(jié)論。</p><p>　　引理2.1.3 Hermite函數(shù)是傅里葉變換的特征函數(shù)。</p><p>　　證明：公式（2.1.3）給了我們</p><p><b>　　，</b></p><p>　　兩邊取傅里葉變換，以及利用（2.1.8），我們有</p><p>

43、<b>　?。?lt;/b></p><p>　　如果我們假設(shè)這個(gè)引理中的是真的，于是它有</p><p>　　因此，它足夠地說(shuō)明。但是，因此很快得到。</p><p>　　我們現(xiàn)在是在上定義Hermite函數(shù)。取多重指標(biāo)和。是通過(guò)利用一維空間的Hermite函數(shù)的乘積定義的：</p><p><b>　　，<

44、/b></p><p>　　它們?cè)谥行纬梢粋€(gè)完全標(biāo)準(zhǔn)的正交系。很多的性質(zhì)來(lái)自一維空間的函數(shù)所對(duì)應(yīng)的性質(zhì)。例如，如果是上的Hermite算子，則</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　算子可以寫成形式</b></p><p><b>　　，</b&g

45、t;</p><p><b>　　其中</b></p><p><b>　　， ，</b></p><p>　　從公式（2.1.3）和（2.1.4）看，有</p><p><b>　　， ，</b></p><p><b>　　其中是矢

46、量坐標(biāo)。</b></p><p>　　2.2 特殊Hermite函數(shù)</p><p>　　我們定義和證明特殊Hermite函數(shù)的一些重要性質(zhì)。</p><p>　　在上函數(shù)和我們定義它們的傅里葉--魏格納變換為</p><p><b>　　，</b></p><p>　　這里。由這個(gè)

47、變換，我們很容易證明下面的結(jié)論。</p><p>　　命題2.2.1 若，，，屬于，則有</p><p>　?。?.2.1） ，</p><p>　　這里右邊的括號(hào)代表中的內(nèi)積。</p><p>　　證明：觀察是半雙線性的，因此它只須證明</p><p><b>　?。?lt;/b&

48、gt;</p><p>　　由傅里葉變換Plancherel定理，我們有</p><p><b>　　，</b></p><p>　　一個(gè)變量的交換證明了（2.2.1）。</p><p>　　現(xiàn)在我們可以證明在這之前學(xué)的用表示法介紹實(shí)際上不可約的。</p><p>　　定理2.2.1 對(duì)任意，表

49、示不可約的。</p><p>　　證明：不失一般性，我們可以假設(shè)，如果對(duì)所有的在是不同的轉(zhuǎn)化。如果對(duì)是正交的，則</p><p><b>　?。?lt;/b></p><p>　　它說(shuō)明了，但是根據(jù)上面的命題，它說(shuō)明了。因此。</p><p>　　我們現(xiàn)在定義特殊Hermite函數(shù)在上Hermite函數(shù)的傅里葉--魏格納變換。

50、對(duì)于每一組的多重指標(biāo)和，我們定義，它也可以代入形式</p><p><b>　　．</b></p><p>　　然后我們有下面的定理</p><p>　　定理2.2.2 特殊Hermite函數(shù)形成一個(gè)在內(nèi)的完全正交系。</p><p>　　證明：正交性根據(jù)命題2.2.1 ，為了證明完全性，假設(shè)對(duì)于所有的和。為了證明，我

51、們計(jì)算。根據(jù)定義，它有</p><p><b>　　，</b></p><p>　　因此。因?yàn)镠ermite函數(shù)形成一個(gè)在的正交基，以上意味著。但是根據(jù)外爾基變換的Plancherel定理，我們有。</p><p>　　特殊Hermite函數(shù)是在上的二階橢圓型算子的特征函數(shù)。為了定義這個(gè)算子，我們介紹下面的在上的向量場(chǎng)。</p>

52、<p><b>　　，</b></p><p><b>　　，</b></p><p>　　這些矢量場(chǎng)和的定義一起生成一個(gè)維空間的同構(gòu)的海森堡代數(shù)學(xué)，該代數(shù)學(xué)在上扮演了扭曲卷積角色，類似于李代數(shù)在李氏群上的左不變矢量場(chǎng)。事實(shí)上，容易證明</p><p><b>　　， , </b></

53、p><p>　　也很容易發(fā)現(xiàn)以下關(guān)系：</p><p><b>　　，，</b></p><p>　　這些相似于傅里葉變換關(guān)系：</p><p><b>　?。?lt;/b></p><p><b>　　算子定義為：</b></p><p>

54、;　?。?.2.2） ．</p><p>　　通過(guò)簡(jiǎn)單的計(jì)算表明可以寫成形式</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　這里是算子，</b></p><p><b>　　．</b></p>&l

55、t;p>　　我們現(xiàn)在證明是算子的特征函數(shù)。</p><p>　　定理2.2.3： 公式</p><p><b>　?。á。?，</b></p><p><b>　?。áⅲ?</b></p><p><b>　　所以有</b></p><p>&

56、lt;b>　?。á＃。?lt;/b></p><p>　　證明：由于函數(shù)（z）是從中來(lái)，只須考慮的情況。于是我們考慮函數(shù)</p><p><b>　?。?lt;/b></p><p>　　考慮微分，和，我們有</p><p>　?。?.2.3） </p><p><

57、b>　　我們還有</b></p><p>　?。?.2.4） </p><p>　　比較（2.2.3）和（2.2.4），使用公式</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　和</b></p><p><b>

58、;　　，</b></p><p><b>　　我們得到</b></p><p>　?。?.2.5） ，</p><p>　?。?.2.6） ．</p><p>　　根據(jù)和分部積分，我們有</p><p><b>　　，</b><

59、;/p><p><b>　　我們還有</b></p><p><b>　?。?lt;/b></p><p><b>　　最后兩個(gè)公式給出</b></p><p>　　（2.2.7） ，</p><p>　?。?.2.8） ．<

60、/p><p>　　命題中的公式（?。┖停áⅲ﹣?lái)自關(guān)系（2.2.5）（2.2.6）（2.2.7）和（2.2.8），（ⅲ）來(lái)自（?。?，（ⅱ）和的定義（2.2.2）。</p><p>　　以上類似計(jì)算我們有也是Hermite算子的特征函數(shù)。事實(shí)上它可以證明</p><p><b>　　，</b></p><p>　　它證明了特殊H

61、ermite函數(shù)的名字。這個(gè)名字由Strichartz給出。下面我們說(shuō)明函數(shù)也可以用拉蓋爾多項(xiàng)式表示。我們首先考慮函數(shù)，回憶 [2]中2.1節(jié)中的定義，當(dāng)，我們簡(jiǎn)寫成。</p><p>　　定理2.2.4 </p><p><b>　?。?lt;/b></p><p>　　證明：它足夠去考慮一維空間的情況。我們從Mehler公式開始（見式（2.1

62、.7））</p><p><b>　?。?lt;/b></p><p>　　如果我們利用傅里葉變換</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　右邊成為</b></p><p><b>　　，</b></p&

63、gt;<p>　　但是它和生成函數(shù)定義（見[2]中式（1.1.33））等價(jià)。</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　因此我們得到</b></p><p><b>　　．</b></p><p>　　下一個(gè)定理開始前，我們介紹一些記法。

64、如果和是多重指標(biāo)，我們定義</p><p><b>　　，</b></p><p>　　我們也寫成 和。伴隨著這些記法，我們有下面的公式</p><p><b>　　命題2.2.5</b></p><p><b>　?。á。?，</b></p><p>&

65、lt;b>　?。áⅲ?lt;/b></p><p>　　證明：通過(guò)定義它有，因此它足以證明（?。?。我們可以假設(shè)。于是我們考慮可以寫成</p><p><b>　　．</b></p><p>　　針對(duì)命題2.2.3 ，但是現(xiàn)在通過(guò)先前的命題</p><p><b>　　，</b><

66、/p><p><b>　　因此計(jì)算得到</b></p><p><b>　　．</b></p><p>　　這個(gè)引出的拉蓋爾多項(xiàng)式滿足以下關(guān)系（見[2]中式（1.1.48））</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　因此

67、，我們有</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　它給出了</b></p><p><b>　?。?lt;/b></p><p><b>　　現(xiàn)在我們用歸納法和</b></p><p>&l

68、t;b>　　，</b></p><p><b>　　完成了該證明。</b></p><p><b>　　3 定理及其證明</b></p><p>　　3.1 定理1及其證明</p><p>　　定理1：記3維歐氏空間中帶常數(shù)磁場(chǎng)和電位勢(shì)的薛定鄂算子為</p><

69、;p><b>　　．</b></p><p>　　若磁場(chǎng)為（1,1），則有</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　其中</b></p><p><b>　　，．</b></p><p>　　證明：

70、因?yàn)椋?，其中?lt;/p><p>　　所以算子可以寫成形式：</p><p><b>　　．</b></p><p><b>　　又因?yàn)?lt;/b></p><p><b>　　， 　，</b></p><p><b>　　故有</b>

71、;</p><p><b>　　所以 </b></p><p><b>　　因?yàn)?</b></p><p><b>　　，其中 ，，</b></p><p><b>　　又因?yàn)?</b></p><p><b>　　，，

72、</b></p><p><b>　　即</b></p><p><b>　　， ．</b></p><p><b>　　所以 </b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　?。?/p>

73、</b></p><p><b>　　從而 </b></p><p><b>　　所以</b></p><p>　　這說(shuō)明了在磁場(chǎng)為（1,1）的時(shí)候，算子的特征函數(shù)為，特征值為 證畢。</p><p>　　3.2 定理2及其證明</p><p>　　定理2：

74、記3維歐氏空間中帶常數(shù)磁場(chǎng)和電位勢(shì)的薛定鄂算子為</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　則有</b></p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　其中，．</b></p><p>

75、;　　證明： </p><p><b>　　，</b></p><p>　　根據(jù)Hermite函數(shù)和特殊Hermite 函數(shù)的特征函數(shù)問題，我們得到該算子的特征函數(shù)為：</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　其中</b>&l

76、t;/p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　以及</b></p><p><b>　　．</b></p><p><b>　　我們令，，</b></p><p><b>　　則有</b>&

77、lt;/p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　且</b></p><p>　?。?.2.1） ． </p><p>　　將（3.2.1）式兩邊關(guān)于求偏微分，并令，則有</p><p><b>　　同樣的，我們有</b&g

78、t;</p><p>　　（3.2.2） </p><p>　　比較上面兩個(gè)式子，利用公式</p><p>　?。╥） ，</p><p><b>　　和</b></p><p>　　（ii） ．</p><p>

79、;　　則可以寫成兩種形式，分別為</p><p><b>　?。?.2.3） </b></p><p><b>　　和</b></p><p><b>　?。?.2.4）</b></p><p>　　式（3.2.3）減去式（3.2.2）得</p><p&g

80、t;　　式（3.2.4）加上式（3.2.2）得</p><p><b>　　即</b></p><p>　?。?.2.5） ，</p><p>　?。?.2.6） ．</p><p><b>　　因?yàn)?，則我們有</b></p><

81、p><b>　　（3.2.7），</b></p><p><b>　　同樣的，我們有</b></p><p>　?。?.2.8） ．</p><p>　　利用公式（i）和（ii），（3.2.8）式可表示成兩種形式，我們有</p><p>　?。?.2.9） </p>&

82、lt;p><b>　　和</b></p><p><b>　　（3.2.10）</b></p><p>　　則式（3.2.7）加上式（3.2.9）得</p><p>　　式（3.2.7）減去式（3.2.10）得</p><p><b>　　即</b></p>

83、<p>　?。?.2.11） ， </p><p>　?。?.2.12） ． </p><p>　　由公式（3.1.5）、（3.1.6）、（3.1.11）、（3.1.12）得</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　?。?/p>

84、</b></p><p><b>　　所以</b></p><p><b>　?。?lt;/b></p><p><b>　　因?yàn)?lt;/b></p><p><b>　　所以 </b></p><p>　　由上述定理1的證明

85、知</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　從而有 </b></p><p><b>　　其中，。證畢。</b></p><p><b>　　定理3及其證明</b></p><p>　　引理：稱之為Wey

86、l變換。Weyl變換將映射到上的緊算子。當(dāng)在里時(shí)，是Hilbert-Schmidt算子，于是我們有Plancherel公式：</p><p><b>　?。?lt;/b></p><p>　　定理3：定理2中所有的特征函數(shù)，構(gòu)成中的一組完備的正交基。</p><p>　　證明：我們證明有函數(shù)列張成的的子空間的閉包的正交補(bǔ)只有零元素，即是證明，如果對(duì)任

87、意的整數(shù)組，有，則有。</p><p>　　事實(shí)上，記，則內(nèi)積可表示為</p><p>　　由假設(shè)對(duì)所有的，若固定，則對(duì)任意的，都有</p><p><b>　?。?lt;/b></p><p>　　注意到是一組完備正交基，因此有</p><p>　?。?.3.1）

88、 ，</p><p>　　對(duì)幾乎處處的成立. 由于(3.3.1) 式對(duì)所有的和都成立，下面我們證明恒有</p><p><b>　　，</b></p><p>　　對(duì)幾乎處處的成立。為此，我們計(jì)算，有</p><p><b>　　，</b></p><p>　　(3.3

89、.1)式包含著 。因?yàn)镠ermite函數(shù)是上的一個(gè)完備的正交基，因此，</p><p>　　由關(guān)于Weyl變換的Plancherel定理知： </p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　即</b></p><p><b>　　．</b></p&g

90、t;<p><b>　　4 總結(jié)</b></p><p>　　根據(jù)第三部分的證明，我們知道了在3維歐氏空間中帶常數(shù)磁場(chǎng)和電位勢(shì)薛定鄂算子：</p><p><b>　　，</b></p><p>　　通過(guò)對(duì)比磁場(chǎng)為（1,1）時(shí)的特征函數(shù)，給出了算子特征值和特征函數(shù)的求解。同時(shí)利用Hermite函數(shù)和特殊He

91、rmite函數(shù)是一組完備的正交基的結(jié)論，證明了該薛定鄂算子所有的特征函數(shù)成為中的一組完備的正交基。</p><p>　　通過(guò)本文的研究，讓我們對(duì)3維歐氏空間中帶常數(shù)磁場(chǎng)和電位勢(shì)的薛定鄂算子有了更為深刻的理解。在研究的整個(gè)過(guò)程中，通過(guò)之前已有的知識(shí)加以分析，并聯(lián)系所要研究的算子的特點(diǎn)，經(jīng)過(guò)一步步的猜想及運(yùn)算，尋求我們所需要的特征函數(shù)的形式，并確定特征函數(shù)的主要的參數(shù)。從參考文獻(xiàn)中，通過(guò)已證得結(jié)論的過(guò)程，從中得出解決

92、問題的方法。在計(jì)算的整個(gè)過(guò)程中，運(yùn)用到了微分算子的運(yùn)算，通過(guò)微分算子的運(yùn)算得出定理的結(jié)論。</p><p>　　本文的研究需要一定的技巧性，這種思考問題的能力是我們學(xué)習(xí)和研究數(shù)學(xué)不可或缺的。在今后的學(xué)習(xí)研究中，要滲透數(shù)學(xué)的思想，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值和文化價(jià)值。</p><p><b>　　參考文獻(xiàn)</b></p><p>　　[1] 谷超豪等，數(shù)

93、學(xué)物理方程，高等教育出版社，2002.</p><p>　　[2] S. Thagavelu, Lecture on Hermite Expansions, Princeton Univ. Press, Princeton 1993.</p><p>　　[3] C. Sogge, Fourier Integrals in Classical Analysis, Cambridge Uni

94、v. Press, Cambridge, 1993.</p><p>　　[4] K. Stempak, J. Zienkiewicz, Twisted convolution and Riesz means, J. Anal. Math. 1998，76:93–107.</p><p>　　[5] G. Rozenblum, G. Tashchiyan ,Riesz $L^p$ summ

95、ability of spectral expansions related to the Schrodinger operator with constant magnetic fields, J. Math..Anal. Appl., 2003, 284:315-331.</p><p>　　[6] 程其襄等，實(shí)變函數(shù)與泛函分析基礎(chǔ)，高等教育出版社，1983.</p><p>　　[7

96、] L. Hormander, On the Riesz means of the spectral functions and eigenfunction expansions for elliptic differential operators, in: Some Recent Advances in the Basic Sciences, Yeshiva University, 1966, pp. 155–202.</p&

97、gt;<p>　　[8]L. Hormander，Linear partial differential operators ，1980.</p><p>　　[9] Nicole Berline，Heat kernels and Dirac operators，2004.</p><p>　　[10]陳恕行，擬微分算子，高等教育出版社，2006.</p>

98、;<p>　　[11]鐘懷杰，巴拿赫空間結(jié)構(gòu)和算子理想  ，科學(xué)出版社，2005.</p><p>　　[12]孫炯，王忠編著，線性算子的譜分析，科學(xué)出版社，2005.</p><p>　　[13] 北京大學(xué)高等代數(shù)研究室，高等代數(shù)，高等教育出版社，1982.</p><p>　　[14] 華東師范大學(xué)分析研究室，數(shù)學(xué)分析（上、下冊(cè)

99、），高等教育出版社，2001.</p><p><b>　　文獻(xiàn)綜述</b></p><p>　　中常數(shù)磁場(chǎng)和位勢(shì)的薛定鄂算子的特征函數(shù)問題 </p><p><b>　　前言部分</b></p><p>　　函數(shù)空間上的算子理論一直是泛函分析的一個(gè)重要課題，作為數(shù)學(xué)的一個(gè)部分，它經(jīng)歷了

100、相當(dāng)長(zhǎng)的研究歷程，并形成了一整套豐富的理論體系。不同函數(shù)空間上的算子具有不同的特征，算子性質(zhì)的研究大體上可以分為有界性、緊性、譜性質(zhì)、代數(shù)性質(zhì)(如正規(guī)性、亞正規(guī)性)等幾個(gè)方面。基于這點(diǎn)，本課題由定義中常數(shù)磁場(chǎng)和位勢(shì)的薛定鄂算子出發(fā)，解決研究過(guò)程中該算子的特征函數(shù)問題。</p><p>　　我們已經(jīng)證明了很多類算子關(guān)于可加性的結(jié)論（見文獻(xiàn)[1]，[2]）。在研究一些光譜展開的可加性算子中，常數(shù)磁場(chǎng)的Schrodin

101、ger算子從某種意義上說(shuō)是有區(qū)別的，它在中的形式為</p><p>　?。?.1） </p><p>　　這里B是實(shí)反對(duì)稱矩陣。如果B非退化，則它的特征值有的形式，且。適當(dāng)?shù)剡x擇坐標(biāo)，則該算子為</p><p><b>　?。?.2）</b></p><p>　　算子

102、(1.2)有相當(dāng)特別的光譜性質(zhì)。該光譜展開與Schrodinger算子的結(jié)合連續(xù)和離散展開的性質(zhì)相關(guān)。同時(shí)常數(shù)磁場(chǎng)的Schrodinger算子與Heisenberg群在各向異性的分析相關(guān)。雖然Heisenberg群和不同的代數(shù)同構(gòu)，它們彼此不等距，因此它們的光譜性質(zhì)依賴于的選擇。我們考慮Schrodinger算子的光譜展開和建立Riesz–Bochner可加性（與常規(guī)的差距在一個(gè)空間的參數(shù)p，β），兩者皆非退化。后者中，單維數(shù)被認(rèn)可且，

103、這里是矩陣B的秩，于是算子（1.1）有</p><p><b>　　（1.3）</b></p><p>　　這里是在內(nèi)的拉普拉斯算子。當(dāng)所有的等于1時(shí)，光譜展開的可加性的研究如特殊的Hermite展開（見文獻(xiàn)[1],[3]）?；旧鲜褂昧伺cHeisenberg群和旋轉(zhuǎn)不變性的聯(lián)系。（以上內(nèi)容參見文獻(xiàn)[4]）</p><p>　　Thangave

104、lu研究了關(guān)于Hermite的展開。定義了Hermite多項(xiàng)式：</p><p>　　k=0,1,2······</p><p>　　以及Hermite函數(shù)：，k=0,1,2······</p><p>　　并由此定義Hermite函數(shù)的一些性質(zhì)。

105、</p><p>　　Hermite函數(shù)是Hermite算子H=，又可寫成H=的特征函數(shù),也是Fourier變換的特征函數(shù)。通過(guò)定義有，得出結(jié)論：特殊的Hermite函數(shù)形成一個(gè)在內(nèi)的完全正交系。</p><p>　　又定義算子L：，說(shuō)明了特殊的Hermite函數(shù)是在上的二階橢圓形算子L的特征函數(shù)。通過(guò)簡(jiǎn)單的計(jì)算，L可以寫成形式 ，這里N是算子， 。我們有結(jié)論Hermite算子的特征函數(shù)

106、是。并且函數(shù)也可以用拉蓋爾多項(xiàng)式表示。</p><p>　　在內(nèi)給出一個(gè)函數(shù)f ， ，依據(jù)特殊的Hermite函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)展開f：</p><p>　　，是schwart類函數(shù)，系數(shù)因?yàn)閒在里，以上級(jí)數(shù)在依范數(shù)收斂到f。</p><p>　　同時(shí),Thangavelu研究了Riesz平均和臨界的指標(biāo)，涉及到了對(duì)算子的研究，并得出了一些重要的方法。（以上內(nèi)容參見文獻(xiàn)[1]

107、）</p><p>　　程其襄等在線性算子和線性泛函中，給出微分算子的定義以及微分算子的運(yùn)算。(見文獻(xiàn)[5])</p><p>　　我們?cè)趯W(xué)習(xí)波動(dòng)方程的時(shí)候，給出了一維波動(dòng)方程。在求解齊次一維波動(dòng)方程的初邊值問題時(shí)，我們通過(guò)采用分離變量法，在求解的過(guò)程中，得到兩個(gè)微分方程和，并求解得到 （k=1,2,……）和 （k=1,2,……） 。前者為滿足邊界條件 ，的特征值，后者為相應(yīng)的特征函數(shù)

108、。同樣的，在學(xué)習(xí)一維熱傳導(dǎo)方程的時(shí)候，也采用同樣的方法，可以將上述特征值和特征函數(shù)求解出來(lái)。同時(shí)用這種方法求解偏微分方程，在求解過(guò)程中展示了傅里葉級(jí)數(shù)的威力與作用見文獻(xiàn)[6]）。</p><p>　　我們的問題熟悉常數(shù)磁場(chǎng)和位勢(shì)的薛定鄂算子的定義，對(duì)比磁場(chǎng)（1,1）時(shí)的特征函數(shù)，給出算子的特征值和特征函數(shù)的的描述。</p><p><b>　　主題部分</b><

109、/p><p>　　二十世紀(jì)初，法國(guó)數(shù)學(xué)家Frechet用抽象的形式表達(dá)了函數(shù)空間。指出：空間中的每一點(diǎn)都是函數(shù)，并引入了一類空間。Hilbert在研究積分方程時(shí)，將一個(gè)函數(shù)看成是由它相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)正交函數(shù)系的Fourier系數(shù)確定的。1907年，德國(guó)數(shù)學(xué)家Schimidt發(fā)展了Hilbert這一思想，并將其抽象為一般的空間。他還據(jù)此導(dǎo)出了正交系的概念。之后Riesz進(jìn)一步由積分方程導(dǎo)出的空間，開始對(duì)抽象算子理論進(jìn)行研究，

110、并引入了范數(shù)的概念。</p><p>　　二十世紀(jì)20年代，Banach用三組公理建立了完備的賦范向量空間，稱之為“Banach空間”。它包括空間，連續(xù)函數(shù)空間，有界可測(cè)函數(shù)空間等。1932年發(fā)表了關(guān)于函數(shù)空間上線性算子的一系列重要定理的線性算子理論。</p><p>　　1929年和1930年von Neumann應(yīng)用公理化方法深入地研究了Hilbert空間中的算子，建立了Hermite

111、算子和酉算子之間的聯(lián)系。他又把有關(guān)結(jié)論推廣到無(wú)界算子，并發(fā)現(xiàn)了這種算子的譜理論。</p><p>　　后來(lái)，Hormander進(jìn)行了對(duì)橢圓型微分算子光譜函數(shù)和特征函數(shù)展開以及線性偏微分算子的研究（見文獻(xiàn)[7]，[8]），Nicole Berline和Slaughter dele也分別對(duì)狄拉克算子非線性單調(diào)算子進(jìn)行了研究（見文獻(xiàn)[9]，[10]）。鐘懷杰通過(guò)對(duì)黎斯算子類的專門探討，反映一般Banach空間算子理論的

112、特殊性（見文獻(xiàn)[11]）。孫炯，王忠系統(tǒng)介紹并分析了有界線性算子、共軛算子、正常算子、自共軛算子、緊算子的結(jié)構(gòu)（見文獻(xiàn)[12]）。</p><p>　　在數(shù)學(xué)中，Hermite多項(xiàng)式是一種經(jīng)典的正交多項(xiàng)式族。Thangavelu研究給出了Hermite函數(shù)與特殊的Hermite函數(shù)以及Laguerre函數(shù)的定義，以及函數(shù)的展開及性質(zhì)。并指出了Hermite函數(shù)與算子特征函數(shù)之間的關(guān)系。介紹并證明了Hermite函

113、數(shù)與Fourier變換之間存在的關(guān)系。同時(shí)，Thangavelu證明了特殊的Hermite函數(shù)的一些性質(zhì)，并分析討論它們展開的一些收斂性質(zhì)和有界性情況。也介紹了Riesz平均和臨界的指標(biāo)的情況([1])。</p><p>　　G. Rozenblum 和G. Tashchiyan 對(duì)常數(shù)磁場(chǎng)的薛定鄂算子進(jìn)行了研究，得出了一些重要的結(jié)論（[4]）。</p><p>　　但是求3維歐氏空間中帶

114、常數(shù)磁場(chǎng)和電位勢(shì)的薛定鄂算子：</p><p>　　的特征值和特征函數(shù)，并證明所有的特征函數(shù)成為中的一組完備的正交基的工作還沒有研究。本文希望通過(guò)對(duì)實(shí)變函數(shù)泛函分析，高等代數(shù)，數(shù)學(xué)分析理論和技巧（詳細(xì)參考文獻(xiàn)[5],[13],[14]）的應(yīng)用，以及Thangavelu對(duì)Hermite展開過(guò)程的方法的研究，解決以上問題。</p><p><b>　　三、總結(jié)部分</b>

115、</p><p>　　綜合之前的研究，很多學(xué)者深入地研究了Hilbert空間中的算子，建立了空間上的算子理論。算子我們并不陌生，研究從線性賦范空間X到另一個(gè)線性賦范空間Y的映照，就是算子。如果Y是數(shù)域，則稱這種算子為泛函。對(duì)于微分算子就是從連續(xù)可微函數(shù)空間到上的算子。如果說(shuō)函數(shù)是數(shù)與數(shù)之間的一個(gè)對(duì)應(yīng)，那么算子可以說(shuō)是函數(shù)與函數(shù)之間的對(duì)應(yīng)。由于之前的研究沒有涉及到薛定鄂算子的特征函數(shù)問題上，所以這部分工作將是全新的

116、工作。通過(guò)學(xué)習(xí)Thangavelu關(guān)于Hermite展開的講義，了解Hermite函數(shù)的性質(zhì)，以及熟悉微分算子的運(yùn)算，將進(jìn)行以上問題的研究。</p><p><b>　　四、參考文獻(xiàn)</b></p><p>　　[1] S. Thagavelu, Lecture on Hermite Expansions, Princeton Univ. Press, Princet

117、on 1993.</p><p>　　[2] C. Sogge, Fourier Integrals in Classical Analysis, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1993.</p><p>　　[3] K. Stempak, J. Zienkiewicz, Twisted convolution and Riesz means, J.

118、Anal. Math. 76 (1998) </p><p>　　[4] G. Rozenblum, G. Tashchiyan ,Riesz $L^p$ summability of spectral expansions</p><p>　　related to the Schrodinger operator with constant magnetic fields, J. Mat

119、h.Anal. Appl., 2003, 284:315-331.</p><p>　　[5] 程其襄等，實(shí)變函數(shù)與泛函分析基礎(chǔ)，高等教育出版社，1983.</p><p>　　[6] 谷超豪等，數(shù)學(xué)物理方程，高等教育出版社，2002</p><p>　　[7] L. Hormander, On the Riesz means of the spectral fun

120、ctions and eigenfunction expansions for elliptic differential operators, in: Some Recent Advances in the Basic Sciences, Yeshiva University, 1966, pp. 155–202.</p><p>　　[8]L. Hormander，Linear partial differe

121、ntial operators ，1980</p><p>　　[9] Nicole Berline，Heat kernels and Dirac operators，2004 </p><p>　　[10]Slaughter dele，Nolinear Functional Analysis and It's Application Vol 2/B Nonli

122、near Monotone operators， 2009</p><p>　　[11]鐘懷杰，巴拿赫空間結(jié)構(gòu)和算子理想  ，科學(xué)出版社，2005</p><p>　　[12]孫炯，王忠編著，線性算子的譜分析，科學(xué)出版社，2005</p><p>　　[13] 北京大學(xué)高等代數(shù)研究室，高等代數(shù)，高等教育出版社，1982</p>&l

123、t;p>　　[14] 華東師范大學(xué)分析研究室，數(shù)學(xué)分析（上、下冊(cè)），高等教育出版社，2001</p><p><b>　　開題報(bào)告</b></p><p>　　中常數(shù)磁場(chǎng)和位勢(shì)的薛定鄂算子的特征函數(shù)問題 </p><p>　　一、選題的背景、意義</p><p>　　函數(shù)空間上的算子

124、理論一直是泛函分析的一個(gè)重要課題，作為數(shù)學(xué)的一個(gè)部分，它經(jīng)歷了相當(dāng)長(zhǎng)的研究歷程，并形成了一整套豐富的理論體系。不同函數(shù)空間上的算子具有不同的特征，算子性質(zhì)的研究大體上可以分為有界性、緊性、譜性質(zhì)、代數(shù)性質(zhì)(如正規(guī)性、亞正規(guī)性)等幾個(gè)方面?；谶@點(diǎn)，本課題由定義中常數(shù)磁場(chǎng)和位勢(shì)的薛定鄂算子出發(fā)，解決研究過(guò)程中該算子的特征函數(shù)問題。</p><p>　　我們已經(jīng)證明了很多類算子關(guān)于可加性的結(jié)論（見文獻(xiàn)[1]，[2]）

125、。以及光譜展開的可加性的研究如特殊的Hermite展開（見文獻(xiàn)[1],[3]）。采用分離變量法求解一維波動(dòng)方程和一維熱傳導(dǎo)方程（見文獻(xiàn)[6]）。</p><p>　　二十世紀(jì)初，法國(guó)數(shù)學(xué)家Frechet用抽象的形式表達(dá)了函數(shù)空間。指出：空間中的每一點(diǎn)都是函數(shù)，并引入了一類空間。Hilbert在研究積分方程時(shí)，將一個(gè)函數(shù)看成是由它相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)正交函數(shù)系的Fourier系數(shù)確定的。1907年，德國(guó)數(shù)學(xué)家Schimidt

126、發(fā)展了Hilbert這一思想，并將其抽象為一般的空間。他還據(jù)此導(dǎo)出了正交系的概念。之后Riesz進(jìn)一步由積分方程導(dǎo)出的空間，開始對(duì)抽象算子理論進(jìn)行研究，并引入了范數(shù)的概念。</p><p>　　二十世紀(jì)20年代，Banach用三組公理建立了完備的賦范向量空間，稱之為“Banach空間”。它包括空間，連續(xù)函數(shù)空間，有界可測(cè)函數(shù)空間等。1932年發(fā)表了關(guān)于函數(shù)空間上線性算子的一系列重要定理的線性算子理論。</p

127、><p>　　1929年和1930年von Neumann應(yīng)用公理化方法深入地研究了Hilbert空間中的算子，建立了Hermite算子和酉算子之間的聯(lián)系。他又把有關(guān)結(jié)論推廣到無(wú)界算子，并發(fā)現(xiàn)了這種算子的譜理論。</p><p>　　后來(lái)，Hormander進(jìn)行了對(duì)橢圓型微分算子光譜函數(shù)和特征函數(shù)展開以及線性偏微分算子的研究（見文獻(xiàn)[7]，[8]），Nicole Berline對(duì)狄拉克算子非線