幾種高精度求積公式的構(gòu)造與研究.pdf

1、博士學(xué)位論文幾種高精度求積公式的構(gòu)造與研究ConstructionsandStudiesofSeveralKindsofNumericalIntegrationFormulaeofHighDegree作者姓名：學(xué)科、專業(yè)：學(xué)號(hào)：指導(dǎo)教師：完成日期：于冉計(jì)算數(shù)學(xué)10601055羅鐘鉉教授2013年12月大連理工大學(xué)DalianUniversityofTechnology大連理工大學(xué)博士學(xué)位論文摘要數(shù)值積分是用數(shù)值逼近的方法近似計(jì)算一個(gè)積分

2、的數(shù)值無(wú)論在數(shù)學(xué)領(lǐng)域本身，還是機(jī)械工程等應(yīng)用領(lǐng)域，數(shù)值積分都占據(jù)著非常重要的地位，其主要研究?jī)?nèi)容是如何構(gòu)造具有一定標(biāo)準(zhǔn)的求積公式鑒于求積公式對(duì)多項(xiàng)式計(jì)算的精確程度，目前已知的眾多標(biāo)準(zhǔn)中，代數(shù)精度和三角精度是兩個(gè)經(jīng)典的標(biāo)準(zhǔn)雖然數(shù)值積分的研究已經(jīng)有超過(guò)數(shù)百年的歷史，但至今仍有許多未能解決的問(wèn)題本文主要研究?jī)刹糠謨?nèi)容：具有一定代數(shù)精度的二維或更高維求積公式的構(gòu)造以及具有一定三角精度的一維求積公式的構(gòu)造詳細(xì)內(nèi)容如下高維求積公式的構(gòu)造一直是數(shù)值積

3、分研究領(lǐng)域的重點(diǎn)和難點(diǎn)實(shí)際應(yīng)用中，最常用的求積公式是乘積型區(qū)域上的乘積型求積公式為了具有盡可能高的代數(shù)精度，該類型公式大多借助于一維Gauss型求積公式的簡(jiǎn)單張量積形式雖然構(gòu)造方式非常簡(jiǎn)單，但其所含有的節(jié)點(diǎn)數(shù)隨維數(shù)成指數(shù)級(jí)增長(zhǎng)，以致于非常不利于實(shí)際應(yīng)用，尤其當(dāng)維數(shù)較大時(shí)為了減少節(jié)點(diǎn)數(shù)，Smolyak公式逐漸興起其優(yōu)點(diǎn)在于該公式不僅仍是一維求積公式的某種張量積形式，而且，其節(jié)點(diǎn)數(shù)較乘積型公式有明顯減少本文主要研究一般乘積型區(qū)域上具有4次代

4、數(shù)精度的求積公式對(duì)于此情形，Gauss乘積型公式需要用到3n個(gè)節(jié)點(diǎn)；Smolyak公式至多大約需要2n2個(gè)節(jié)點(diǎn)，其中n代表維數(shù)而本文中的公式僅至多大約需要佗2個(gè)節(jié)點(diǎn)，是目前所知的最小節(jié)點(diǎn)數(shù)不僅如此，其構(gòu)造方法本身非常易于實(shí)際應(yīng)用本文方法將高維求積公式構(gòu)造問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一系列一維矩問(wèn)題這不僅大大減少了計(jì)算量，還保證了構(gòu)造過(guò)程的順利進(jìn)行除此之外，本文所構(gòu)造的公式都具有顯示表達(dá)式，這一點(diǎn)是Smolayk公式所不具備的實(shí)際應(yīng)用中，如何估計(jì)一個(gè)求積公

5、式對(duì)其計(jì)算所產(chǎn)生的誤差是非常重要的目前，比較流行的方法是用兩個(gè)或多個(gè)求積公式的差去估計(jì)其中次數(shù)較低的求積公式的誤差為了最大程度地減少計(jì)算量，這些公式的節(jié)點(diǎn)往往被要求具有嵌套性此時(shí)，稱其為嵌入式求積公式。現(xiàn)在已知的嵌入式求積公式基本上是通過(guò)添加或刪除節(jié)點(diǎn)構(gòu)造的。然而，關(guān)于高維嵌入式求積公式，如何添加或刪除節(jié)點(diǎn)實(shí)際上并沒(méi)有非常有效的方法大部分已知方法都是直接處理高維問(wèn)題本文將利用理想理論和多項(xiàng)式沿代數(shù)曲線插值理論構(gòu)造二維嵌入式求積公式本文方

6、法將既定次數(shù)的構(gòu)造問(wèn)題轉(zhuǎn)化成次數(shù)較低的構(gòu)造問(wèn)題，在一定程度上減少了計(jì)算量并且，在某些特殊情形下，本文方法僅需要處理一維問(wèn)題，從而進(jìn)一步減少計(jì)算量不僅如此，本文還給出一定條件下構(gòu)造二維嵌入式求積公式的遞推算法當(dāng)被積函數(shù)具有一定周期性時(shí)，一般采用具有一定三角精度的求積公式去逼近其積分值研究表明，當(dāng)權(quán)函數(shù)非負(fù)時(shí)，n個(gè)節(jié)點(diǎn)所能達(dá)到的最高三角精度是n一1但當(dāng)其中有部分節(jié)點(diǎn)給定時(shí)，并沒(méi)有這個(gè)最高三角精度的統(tǒng)一答案針對(duì)給定1或2個(gè)節(jié)點(diǎn)，通過(guò)復(fù)分析技術(shù)