拋物方程系數(shù)反演的優(yōu)化方法.pdf

1、本文討論反演下列拋物型偏微分方程定解問題{ut=a2△u-q(x)u(x，t)∈Q×(0，T)u(x，t)=0(x，t)∈Ω×[0，T]u(x，0)=u0(x)x∈Ω未知系數(shù)q(x)的數(shù)值優(yōu)化方法，其中初始條件u0(x)是已知的。所使用的反演輸入數(shù)據(jù)是終端時刻的溫度u(x，T)=x(x).由于解u(x，t)依賴于系數(shù)q(x)，因此此問題是非線性的不適定問題。另一方面，解u(x，t)關(guān)于時間t以指數(shù)衰減，因此u(x，T)包含q(x)的信息

2、非常弱，而且對于一般的初始條件u0及觀察值z(x)，此反問題的解沒有唯一性。因此采用最優(yōu)化方法來得到原問題的解，反演過程是找q(x)使得相應(yīng)的解u(q)(x，t)在終端時刻T附近的溫度u(q)(x，t)(其中t∈[T，T-σ])在L2范數(shù)意義下與z(x)充分接近.這兒σ是一個非常小常數(shù)，取為一個時間步長. 主要思想是：首先利用最小二乘法將問題轉(zhuǎn)化為求受約束的泛函極小元問題，并證明了無限維空間上泛函的極小元存在.然后利用有限元方法