有限反射不變測(cè)度下的調(diào)和分析.pdf

1、該文主要研究在有限反射群(Coxeter群)下不變測(cè)度的調(diào)和分析.C.Dunkl自1988年以來(lái)的一系列工作開(kāi)創(chuàng)了研究與反射對(duì)稱(chēng)和根系有關(guān)的多元特殊函數(shù)的有效途徑,對(duì)數(shù)學(xué)中的多個(gè)領(lǐng)域產(chǎn)生了重要影響,也為調(diào)和分析帶來(lái)了一個(gè)新的研究領(lǐng)域.其一,Dunkl理論把歐氏空間Rd上和球面Sd-1上關(guān)于在正交群下不變的Lebesgue測(cè)度的Fourier分析推廣到帶有在有限反射群(作為正交群的子群)下的不變測(cè)度的情況;其二,Dunkl理論又是單變量的

2、Hankel變換、超球展開(kāi)和Jacobi展開(kāi)的高維推廣;其三,在一些特殊參數(shù)下,Dunkl核函數(shù)的群不變部分(廣義Bessel函數(shù))就是歐幾里德型對(duì)稱(chēng)空間上的球面函數(shù),Dunkl理論對(duì)其有著很大的促進(jìn)作用.這一方面反映了Dunkl理論的廣泛性應(yīng)用前景,另一方面反映了Dunkl理論具有巨大的研究潛力和可能性.該文選擇Dunkl理論中一些重要的調(diào)和分析問(wèn)題作為研究課題,取得了許多有重要價(jià)值的結(jié)果,其中包括:·研究了Dunkl變換的Bochn

3、er-Riesz平均BαR(f;x)和相應(yīng)的球形和算子Ba,確定了它們?cè)贚p空間上有界性的指標(biāo)范圍,這個(gè)范圍對(duì)Rd上的徑向函數(shù)來(lái)說(shuō)是充分必要的.通過(guò)建立Dunkl變換的球面(Lp,L2)限制定理,證明了對(duì)Lp(Rd,h2kdx)中具有緊支集的函數(shù)來(lái)說(shuō),該指標(biāo)范圍也是充分的.·研究了Dunkl變換的Poisson積分、共軛Poisson積分以及相應(yīng)的Riesz變換和一類(lèi)奇異核函數(shù)的Dunkl變換.給出了Poisson積分的極大函數(shù)估計(jì),并

4、證明對(duì)反射群G=Zd2,相應(yīng)的Poisson積分是幾乎處處收斂的;通過(guò)給出Rd上關(guān)于反射不變測(cè)度ωk(x)dx局部可積函數(shù)作為緩增廣義函數(shù)的適當(dāng)解釋,給出一類(lèi)奇異核函數(shù)的Dunkl變換表示;利用Dunkl算子引入Cauchy-Riemann方程組,定義了相應(yīng)的共軛調(diào)和函數(shù)系(廣義Stein-Weiss系),由此給出共軛Poisson積分的表述,并研究了其基本性質(zhì).在此基礎(chǔ)上,引入主值意義下的Riesz變換,并對(duì)群G=Zd2的情況證明了這

5、樣的Riesz變換與共軛Poisson積分的邊值在一定意義下是一致的.·研究了關(guān)于反射不變測(cè)度的廣義Hermite展開(kāi)的收斂和求和問(wèn)題,確定了Rd上徑向函數(shù)的廣義Hermite展開(kāi)的Riesz平均SδR(f;x)按Lp范數(shù)一致有界的充要條件.這一結(jié)果推廣了Thangavelu關(guān)于通常多變量Hermite展開(kāi)的工作.·借助微分-差分技術(shù)建立了一類(lèi)(一元)Sturm-Liouville算子的測(cè)不準(zhǔn)原理.作為應(yīng)用,我們得到了關(guān)于Jacobi展