衍射光柵數(shù)值模擬的模展開(kāi)方法及Chebyshev配置Dirichlet-to-Neumann映射方法.pdf

1、衍射光柵是一種劇期結(jié)構(gòu),具有很多實(shí)際的應(yīng)用,例如單色儀,光譜儀,激光器,波分復(fù)用器,光脈沖壓縮設(shè)備及其他光學(xué)儀器等方面。數(shù)值方法在衍射光柵的設(shè)計(jì),分析和結(jié)構(gòu)優(yōu)化等方面是必不可少的。理論上,當(dāng)光柵結(jié)構(gòu)在一個(gè)方向具有周期性的時(shí)候,可以用標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)值方法,如有限元方法來(lái)解決問(wèn)題。然而運(yùn)用這些方法會(huì)產(chǎn)生一些很大的,復(fù)值的,不正定的線性方程組,求解這些方程組要用很多的計(jì)算時(shí)間。其他一些利用光柵結(jié)構(gòu)現(xiàn)有的幾何特性的方法反而更為有效。在衍射光柵方面現(xiàn)有

2、的方法包括解析模展開(kāi)法,Fourier模展開(kāi)法,有限差分模展開(kāi)法,差分法和積分方程法等等。所有的模展開(kāi)法都要求結(jié)構(gòu)具有均勻?qū)訝?這樣波場(chǎng)才能在每一層用特征根和特征向量的展開(kāi)形式來(lái)表示。在應(yīng)用這些方法的過(guò)程中,求解每一層中的特征值問(wèn)題是花費(fèi)計(jì)算時(shí)間最多的一部分。
　　 在本文中,首先介紹解析模展開(kāi)法和Fourier模展開(kāi)法。Fourier模展開(kāi)法是用Fourier序列展開(kāi)法來(lái)解特征根問(wèn)題的,由于較容易實(shí)現(xiàn),所以Fourier模展開(kāi)

3、法是很常用的一種方法。然后給出一個(gè)四階有限差分的模展開(kāi)法。所有的這些模展開(kāi)方法都需要求解特征根問(wèn)題。由于解特征根問(wèn)題相對(duì)的用時(shí)較多,所以對(duì)于均勻?qū)訝畹难苌涔鈻?我們給出一種Dirichlet-to-Neumann(DtN)算子法。為了避免在每一層解特征根問(wèn)題,我們構(gòu)造一個(gè)算子,這個(gè)算子把區(qū)域內(nèi)的波場(chǎng)映射到它在每一層邊界的法向?qū)?shù)上去。在實(shí)際應(yīng)用中,這個(gè)算子被稱為DtN算子,用一個(gè)矩陣來(lái)估計(jì)它。接下來(lái)在均勻?qū)訝罘较蛴靡粋€(gè)Chebyshev

4、配置方法離散,在周期方向用一個(gè)四階有限差分格式來(lái)離散,最后就可以高效地解出這個(gè)算子。在以前的工作中,DtN算子法被用于周期層狀的圓柱體結(jié)構(gòu)和分段均勻排列韻咣敲導(dǎo)。對(duì)于圓柱體結(jié)構(gòu),DtN算子用圓柱波來(lái)構(gòu)造。對(duì)于分段均勻排列的光波導(dǎo),在橫截面方向,用Chebyshev配置法和二階有限差分法來(lái)離散,從而構(gòu)造DtN算子。在四階有限差分的模展開(kāi)法中,我們用了同樣的四階有限差分格式來(lái)離散周期方向。通過(guò)數(shù)值算例可以看出,DtN算子法比Fourier模