統(tǒng)一模分配性.pdf

1、把一組數據轉換/合并成一個可表示值的過程稱之為聚合，并稱實現此過程的算子為聚合算子。聚合應用于需要聚合專家意見或綜合判斷的領域，如決策、統(tǒng)計、經濟計量等領域。至今，已有大量文獻研究聚合問題。這類問題的一個共同特征是，實現聚合過程的聚合算子滿足一定的函數方程系統(tǒng)，而所滿足的具體函數方程系統(tǒng)則與聚合算子的應用領域密切相關。如，在多屬性決策中，若所有屬性的滿意度均為某個常值，則整體的滿意度也應為這個常值。事實上，滿足上述性質的聚合算子須滿足冪

2、等性方程，即，若干個相同元素的聚合值仍為該元素。
　　現今，存在諸多不同種類的聚合算子，如何選取適當的聚合算子取決于其應用背景，不同的應用背景須不同的聚合算子。按其行為、功能的不同，聚合算子可分為四類:合取型聚合算子，以三角模，簡稱t-模為代表;析取型聚合算子，以三角余模，簡稱t-余模為代表;平均型聚合算子，以OWA算子、積分算子為代表;混合型聚合算子，以統(tǒng)一模和零模（又稱t-算子）為代表?；旌闲途酆纤阕右话慵婢吆先⌒汀⑽鋈⌒秃推?/p>

3、均型聚合算子特征，是一類有廣泛應用的聚合算子。作為混合型聚合算子代表的統(tǒng)一模，具有良好的性能，其模型解釋為:聚合存在閾值，在數學上，此閾值可稱為單位元或中立元，其含義是:讓其他輸入決定輸出，此輸入與輸出無關。當所有的輸入小于此閾值時，此時聚合為合取型;當所有輸入大于閾值時，此時聚合為析取型;若閾值介于某兩個輸入之間，則此時聚合為平均型。從代數角度講，三角模和三角余模是定義在單位區(qū)間上分別以1，0為單位元的阿貝爾序半群，而統(tǒng)一模是定義在單

4、位區(qū)間上以任意給定正常數為單位元的阿貝爾序半群。從應用角度而言，統(tǒng)一?？蓱糜谛畔⒕酆?，專家系統(tǒng)，神經元網絡，模糊系統(tǒng)模型，偽分析和測度論，模糊數學形態(tài)學，模糊集和模糊邏輯，近似推理等領域。統(tǒng)一模不是合取的，便是析取的。因此它能應用于模糊集理論及模糊邏輯中。故，在邏輯聯結詞的背景下，統(tǒng)一模這一邏輯聯結詞被廣泛研究。由于統(tǒng)一模在實踐中的廣泛應用，從理論角度研究統(tǒng)一模是有意義的，且是必須的。其中，理論研究的一個主題是，刻畫具有一定性質的統(tǒng)一

5、模，給出其結構特征。而至于統(tǒng)一模要滿足何種性質則與其應用領域相關。如前文所述，研究具有一定性質的聚合算子通常轉化為求解相關的函數方程，如冪等性、模態(tài)性、Frank與Alsina方程、遷移性、分配性等等。因此，不須區(qū)分性質和相應的函數方程。
　　兩個算子之間分配性有著悠久的研究歷史，如:在環(huán)中，乘法關于加法分配;在格中，乘法關于并分配。分配性適用的領域可歸納如下:某一領域中有兩種不同的行為，此兩種行為可用兩個聚合模型來解釋且此兩個聚

6、合模型之間關聯假設為分配性，如模糊邏輯中的邏輯“且”和邏輯“或”;偽分析中的偽加和偽乘;效用論中的博弈和聯合接受度;心理物理學中的感覺強度和刺激強度等等。
　　本文將研究統(tǒng)一模分配性，實質上是尋求分配性方程的統(tǒng)一模解。統(tǒng)一模僅要求滿足四條公理，即，交換性，結合性，單調性及有單位元。故，對一般統(tǒng)一模而言，無良好的結構特征。事實上，也無法刻畫其結構特征。然而，通過附加額外的條件，可得到五類結構特征良好的統(tǒng)一模，即，Umax和Umin類

7、統(tǒng)一模，冪等統(tǒng)一模，可表示統(tǒng)一模，單位開區(qū)間上連續(xù)統(tǒng)一模及局部內統(tǒng)一模。上述五類統(tǒng)一模的結構特征已經被完全刻畫。現有關于統(tǒng)一模分配性的研究僅涉及上述五類常見統(tǒng)一模。其主要思路是利用此五類常見統(tǒng)一模的良好結構特征來進一步確定滿足分配性方程的充分必要條件，換言之，利用此五類常見統(tǒng)一模的良好結構特征來進一步確定滿足分配性所需的結構特征。因此，若統(tǒng)一模不屬于上述五類具有良好結構特征的統(tǒng)一模，則上述方法失效，即對一般無良好結構特征的統(tǒng)一模，上述方

8、法失效。盡管五類常見統(tǒng)一模具有良好的結構特征且已被完全刻畫，但關于五類常見統(tǒng)一模分配性的研究亦不完善，缺乏系統(tǒng)性的研究，僅有一些零散的結論。五類常見統(tǒng)一模僅占統(tǒng)一模的極小一部分，事實上，五類常見統(tǒng)一模均是邊界局部內的。文獻中已出現非邊界局部內統(tǒng)一模，但未被系統(tǒng)的研究且其結構特征亦未知。本文將采用一些新的研究方法與研究技術來求分配性方程的一般統(tǒng)一模解，即不再要求分配性方程中的兩個統(tǒng)一模均屬于五類常見統(tǒng)一模。在統(tǒng)一模定義的四條公理中，有單位

9、元是一條重要的公理。當兩個統(tǒng)一模有相同的單位元時，分配性方程變得十分特殊，其所有統(tǒng)一模解可被完全刻畫。此為本文解決的第一個問題（詳見第二章）。當單位元不同時，情況十分復雜，完全刻畫分配性方程所有統(tǒng)一模解十分困難。本文在將在一個較弱的條件，即在其中一個統(tǒng)一模屬于五類常見統(tǒng)一模條件下求解分配性方程的統(tǒng)一模解。此研究思路可分為兩個平行的部分，即，常見統(tǒng)一模關于一般統(tǒng)一模分配性（詳見第三章）和一般統(tǒng)一模關于常見統(tǒng)一模（詳見第四章）。此為本文解決