碰撞分支過程的對偶理論及其積分半群.pdf

1、馬爾科夫分支過程(MBP)在應(yīng)用概率和隨機(jī)過程等領(lǐng)域占有很重要的地位。眾所周知，控制著Markov分支過程演變的基本性質(zhì)就是它的獨(dú)立性，即不同的粒子在演變過程中是相互獨(dú)立的。然而，在許多的實(shí)際情況中這種獨(dú)立性并不一定成立，由此MBP的應(yīng)用也就受到了限制。所以人們越來越感興趣于推廣普通分支過程到更廣義的相互影響的分支模型。特別地，碰撞分支過程作為一類廣義分支過程引起了很多研究者的巨大興趣。在碰撞分支過程中粒子演變僅由兩兩碰撞產(chǎn)生，隨機(jī)且相

2、互獨(dú)立；每對粒子發(fā)生碰撞的可能性相等，在碰撞后死亡并被一定數(shù)量的子代以一定的概率取代；當(dāng)系統(tǒng)中粒子數(shù)少于兩個(gè)時(shí)不發(fā)生碰撞。
　　 文獻(xiàn)[3，6，7]等對此模型做過一些研究和討論，并得出了較為豐富的成果。然而本文另辟蹊徑，著力于使用分析的方法，以算子半群理論為工具，主要研究碰撞分支Q-矩陣所生成的積分半群及其相關(guān)性質(zhì)。
　　 在本文第二章中，我們首先討論了碰撞分支Q-矩陣的性質(zhì)，然后得出其對偶矩陣并對其對偶轉(zhuǎn)移函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)

3、行了研究。主要結(jié)論如下:
　　 命題2.1.4碰撞分支Q-矩陣是隨機(jī)單調(diào)的。
　　 命題2.1.5碰撞分支Q-矩陣是零流出的當(dāng)且僅當(dāng)m1≤0。
　　 命題2.1.6當(dāng)m1＞0時(shí)，碰撞分支Q-矩陣是零流入的。
　　 定理2.1.8當(dāng)且僅當(dāng)m1≤0時(shí)，碰撞分支過程的最小Q-函數(shù)F(t)是隨機(jī)單調(diào)的。
　　 命題2.2.1對偶碰撞分支過程總是存在的，且其(Q)-矩陣形式為：~qij={(j+12)αi-

4、j+1-(j2)ai-j+2 ai0如果j≥2，i≥j-2如果j=1，i≥0其他
　　 定理2.2.2令(Q)為對偶碰撞分支q-矩陣，則(1)(Q)是Feller；(2)(Q)是保守的；(3)(Q)是對偶的，即(Q)是隨機(jī)單調(diào)的；(4)當(dāng)m1≤0時(shí)，(Q)在l1上零流入。
　　 定理2.2.3當(dāng)m1≤0時(shí)，對偶碰撞分支過程的最小(Q)-函數(shù)(F)(t)是對偶的。
　　 定理2.2.4當(dāng)m1≤0時(shí)，轉(zhuǎn)移函數(shù)(F)(

5、t)是Feller的。
　　 定理2.2.5當(dāng)m1≤0時(shí)，轉(zhuǎn)移函數(shù)(F)(t)不是強(qiáng)遍歷的。
　　 在第三章中我們討論了碰撞分支過程在Banach空間l∞上所生成的積分半群，在不同條件下其生成元是什么以及積分半群的Feller性質(zhì)，主要結(jié)果如下：
　　 定理3.1.1當(dāng)且僅當(dāng)m1≤0時(shí)，碰撞分支矩陣Q∞在l∞上可以生成一個(gè)積分半群T(t)=(Tij(t)；i,j∈Z+)。特別地，T(t)是一個(gè)Markov積分半群

6、，且T"(0)=Q。
　　 定理3.2.3當(dāng)m1＞0時(shí)，T(t)在l∞上的生成元是Q**5。
　　 定理3.2.1當(dāng)m1＞0時(shí)，由碰撞分支Q-矩陣所生成的積分半群T(t)滿足Feller性質(zhì)。
　　 在討論積分半群的同時(shí)，我們也研究出了當(dāng)碰撞分支過程的最小轉(zhuǎn)移函數(shù)分別作為c0，l1上的算子半群時(shí)它的生成元:
　　 定理3.2.2當(dāng)m1＞0時(shí)，Q0是F(t)在c0上的生成元，Q*0是F(t)在l1上的生成元

7、，這里F(t)是碰撞分支過程的最小Q-函數(shù)。
　　 根據(jù)文獻(xiàn)[2]，我們得出在不同情況下積分半群的生成元有如下性質(zhì)：
　　 命題3.1.3當(dāng)且僅當(dāng)m1≤0時(shí)，有(1)Q∞耗散，且ρ(Q∞)(∪)(0，∞)；(2)R(λ，Q∞)對于所有λ＞0是一個(gè)正矩陣算子；(3)對于(A）j∈E，limλ→∞λR(λ，Q∞)ej=ej弱*成立。
　　 命題3.1.4當(dāng)且僅當(dāng)m1≤0時(shí)，1∈D(Q∞)且Q∞·1=0，其中1=(1，

8、1，1……)T∈l∞。
　　 命題3.2.4當(dāng)m1＞0時(shí)，Q0，Q*0，Q**0是耗散的，且D(Q0)在c0上稠密。
　　 命題3.2.6當(dāng)m1＞0時(shí)，以下三條件成立：(1)Q**0是Q∞的限制，即Q**0(∩)Q∞；(2)Spani∈E{ei}(∩）D(Q*0)；(3)對(A)i,j∈E，t≥0，后項(xiàng)方程F'ij(t)=∑k∈EqikFkj(t)總成立。
　　 當(dāng)系統(tǒng)中沒有或者只有一個(gè)粒子的時(shí)候，碰撞分支過程系

9、統(tǒng)就會停止演變。所以我們對碰撞分支過程進(jìn)行推廣，在本文第四章我們將研究他們各自的積分半群。當(dāng)系統(tǒng)停止演變時(shí)候我們希望能夠存在某種外在的移民來拯救系統(tǒng)，而第一小節(jié)研究的就是這種帶拯救的系統(tǒng)的積分半群。主要結(jié)果如下：
　　 命題4.1.3當(dāng)且僅當(dāng)mb≤0時(shí)，矩陣Q(R)是零流出的。
　　 命題4.1.4當(dāng)mb＞0時(shí)，矩陣Q(R)是零流入的。
　　 定理4.1.5當(dāng)且僅當(dāng)mb≤0時(shí)，帶拯救的碰撞分支過程在l∞上生成的積

10、分半群S(t)的生成元為Q(R)∞。S"(0)=Q(R)。
　　 定理4.1.6當(dāng)mb≥0時(shí)，積分半群S(t)滿足Feller性質(zhì)。
　　 由于碰撞分支過程中每一對粒子發(fā)生碰撞的可能性是相同的，碰撞是隨機(jī)的且相互獨(dú)立的，而在實(shí)際中很多時(shí)候粒子碰撞并不是這樣進(jìn)行的，所以陳安岳等人推廣出一類更廣義的模型一含兩個(gè)參數(shù)的廣義碰撞分支過程。在本章第二小節(jié)我們研究該系統(tǒng)的積分半群，并得到如下結(jié)果：
　　 命題4.2.3矩陣Q

11、(G)是零流出的當(dāng)且僅當(dāng)下列條件中一個(gè)成立：(1)md≥mb(2)md＜mb＜+∞且α+β≤1(3)mb=+∞，α+β≤1且∫1ε(1-s)α+β-1/-U(s)ds=+∞
　　 命題4.2.4當(dāng)md＜mb≤+∞時(shí)，矩陣Q(G)是零流入的。
　　 定理4.2.5廣義碰撞分支過程在l∞上生成的積分半群G(t)，當(dāng)且僅當(dāng)滿足命題4.2.3中條件(1)(2)(3)中的某條時(shí)，其生成元為Q(G)∞。G"(0)=Q(G)。