有限群子群的正規(guī)性及其對偶.pdf

1、長期以來，研究子群的某種正規(guī)性與有限群的結(jié)構(gòu)的關(guān)系一直是有限群論重要的課題之一。人們不僅給出了各種各樣的廣義正規(guī)性的概念，而且獲得了大量的研究成果，為有限群理論的發(fā)展起到了強(qiáng)有力的推動作用．在這些眾多的廣義正規(guī)性的概念中，c-正規(guī)與覆蓋遠(yuǎn)離性的研究非?；钴S。然而這兩個重要概念之間并沒有必然聯(lián)系。最近，樊惲，郭秀云與K.P.Shum等人提出了所謂的半覆蓋遠(yuǎn)離性的概念．他們的研究表明：半覆蓋遠(yuǎn)離性既涵蓋了覆蓋遠(yuǎn)離性，也涵蓋了c-正規(guī)性，從而

2、半覆蓋遠(yuǎn)離性是這兩個概念的統(tǒng)一推廣。本文前面一部分繼續(xù)這方面的工作，研究某些子群的半覆蓋遠(yuǎn)離性與有限群結(jié)構(gòu)的關(guān)系。一方面，我們研究了極大子君群、2-極大子群的半覆蓋遠(yuǎn)離性與群的可解性之間的相互作用關(guān)系，得出一系列有限群可解的充要條件。這些工作的新穎之處就是從各個不同角度，極力用盡可能少的極大子群來刻劃有限群的可解性。許多已知的結(jié)果被推廣。另一方面，我們研究了Sylow-子群的某些特殊子群的半覆蓋遠(yuǎn)離性對有限群結(jié)構(gòu)的影響，給出了一些有限群

3、為p-冪零和超可解的充分條件。部分結(jié)果被推廣到群系上去。 作為上述思想的對偶，還嘗試研究了冪自同構(gòu)群對有限群結(jié)構(gòu)的影響。研究群的自同構(gòu)群與群的結(jié)構(gòu)的關(guān)系是十分重要但又非常困難的問題。而研究冪自同構(gòu)群對群結(jié)構(gòu)的影響目前國內(nèi)外還不多見。我們首先對群的Norm進(jìn)行了細(xì)致深入的研究，為進(jìn)一步的工作奠定了基礎(chǔ)．所謂群 G 的Norm N(G)是G中誘導(dǎo)G的冪自同構(gòu)的全體元素構(gòu)成的 G 的一個特征子群。第四章運(yùn)用Norm推廣了著名的Ito和

4、Burnside關(guān)于p-冪零的定理。第五章則以群作用為工具，克服了p-群分類的困難，給出了幾類具有較大階的冪自同構(gòu)群的有限群的分類．為此，首先對不同的素數(shù)P，g，確定了滿足條件|G：N(G)|=P或p q的有限群的結(jié)構(gòu)。然后在此基礎(chǔ)上綜合運(yùn)用多方面的知識，進(jìn)一步給出了滿足條件|Aut(G)：Paut(G)|=1，P或Pq的有限群的完全分類，其中Aut(G)是群G的自同構(gòu)群，Paut(G)是G的冪自同構(gòu)群，P，q仍是不同的素數(shù)。特別地，我

5、們證明了若群G滿足|Aut(G)：Paut(G)|=Pq，P，q是不同的素數(shù)，則Aut(G)/Paut(G)?S<,3>這一饒有趣味的結(jié)果．作為本文的重要組成部分，第六章應(yīng)用所獲得的有關(guān)Norm的性質(zhì)，通過換位子的運(yùn)算技巧，確定了一類較Dedekind群類更廣泛的群—N-群類的結(jié)構(gòu)。稱群G是N-群，若對任意的x ∈G，總有(x)≤G或x∈N(G)．研究N-群是基于以下考慮：一方面，群G是Dedekind群當(dāng)且僅當(dāng)對任意的x ∈G，有(x