分數階微積分理論及其應用研究.pdf

1、實際系統動態(tài)過程本質上是分數階的。運用整數階系統模型難以更好描述某些類型系統動態(tài)過程。分數階微積分理論是解決這一難題的有效途徑，運用分數階系統模型可以更好描述系統特性。分數階微積分中微分、積分的階次可以是任意的，它擴展了人們所熟知的整數階微積分的描述能力。基于整數階微積分理論的傳統控制方法和模型在不同程度上存在一些問題，隨著實際工業(yè)系統的日益復雜化和人們對控制要求的日益提高，基于整數階理論的控制技術有時難以獲得令人滿意的性能。分數階微積

2、分不僅為系統科學提供了一個新的數學工具，而且為解決實際工業(yè)過程中存在的問題提供了一種可行的有效途徑。
　　 本文著重研究分數階微積分理論應用于實際系統的理論、方法和應用技術。本文具有創(chuàng)新性的研究工作和成果可概括如下：
　　 首先，針對現實世界物理系統模型多是偏微分方程的特點，提出分數階偏微分方程的數值求解方法，充分利用了分數階微積分理論，并結合傳統的整數階偏微分方程的求解方法，提出了基于Laplace變換的方法和基于Ad

3、omain分解的方法。這兩種方法綜合了解析方法，數值方法和現代符號數學。盡管所提出方法的基本原則是簡單的，但是，這些方法能夠應用到廣泛的偏微分模型的邊界控制問題和干擾問題中。這些方法比傳統的有限元方法更簡單，對于整數階偏微分方程也完全適用。此外，可以得到解的解析結構，而不僅僅是數值結果。
　　 其次，針對基于古典微積分理論的建模方法存在物理特性難以完全體現等問題，提出將分數階系統模型推廣應用于現實世界的弦振動系統，并給出了弦振動

4、系統分數階模型，并與目前應用比較廣泛的振動系統整數階模型進行了對比研究。同時，就振動系統中比較關注的邊界控制和抗干擾能力進行了設計和分析。最后通過仿真研究驗證了提出的邊界控制方法和抗干擾設計的有效性。
　　 第三，主要研究并分析了傳輸線上波的傳播特性，推導出時間分數階有損傳輸線模型，并推廣該模型為任意階次來表征傳輸線上電壓電流波的反常擴散；提出基于分數階的Adomian分解方法，得出近似的傳輸線電壓解析解；最后用實驗說明時間分數

5、階傳輸線模型的波動傳播特點，采用分數階模型開辟了傳輸線瞬態(tài)分析的新方向。
　　 最后，研究了分數階微積分理論在控制系統中的PID控制應用問題，系統的闡述了分數階PID控制參數整定的實現過程。在分數階PID控制器的設計中，為了考慮暫態(tài)時間響應的性能，采用誤差平方的積分作為設計最優(yōu)分數階PID控制器的設計性能指標，應用遺傳算法整定分數階PID控制器參數通過使用該遺傳算法，分別進行了采用整數階PID控制器和分數階PID控制器，對整數階