分數(shù)階微積分理論及其應(yīng)用研究.pdf

1、實際系統(tǒng)動態(tài)過程本質(zhì)上是分數(shù)階的。運用整數(shù)階系統(tǒng)模型難以更好描述某些類型系統(tǒng)動態(tài)過程。分數(shù)階微積分理論是解決這一難題的有效途徑，運用分數(shù)階系統(tǒng)模型可以更好描述系統(tǒng)特性。分數(shù)階微積分中微分、積分的階次可以是任意的，它擴展了人們所熟知的整數(shù)階微積分的描述能力?；谡麛?shù)階微積分理論的傳統(tǒng)控制方法和模型在不同程度上存在一些問題，隨著實際工業(yè)系統(tǒng)的日益復(fù)雜化和人們對控制要求的日益提高，基于整數(shù)階理論的控制技術(shù)有時難以獲得令人滿意的性能。分數(shù)階微積

2、分不僅為系統(tǒng)科學(xué)提供了一個新的數(shù)學(xué)工具，而且為解決實際工業(yè)過程中存在的問題提供了一種可行的有效途徑。
　　 本文著重研究分數(shù)階微積分理論應(yīng)用于實際系統(tǒng)的理論、方法和應(yīng)用技術(shù)。本文具有創(chuàng)新性的研究工作和成果可概括如下：
　　 首先，針對現(xiàn)實世界物理系統(tǒng)模型多是偏微分方程的特點，提出分數(shù)階偏微分方程的數(shù)值求解方法，充分利用了分數(shù)階微積分理論，并結(jié)合傳統(tǒng)的整數(shù)階偏微分方程的求解方法，提出了基于Laplace變換的方法和基于Ad

3、omain分解的方法。這兩種方法綜合了解析方法，數(shù)值方法和現(xiàn)代符號數(shù)學(xué)。盡管所提出方法的基本原則是簡單的，但是，這些方法能夠應(yīng)用到廣泛的偏微分模型的邊界控制問題和干擾問題中。這些方法比傳統(tǒng)的有限元方法更簡單，對于整數(shù)階偏微分方程也完全適用。此外，可以得到解的解析結(jié)構(gòu)，而不僅僅是數(shù)值結(jié)果。
　　 其次，針對基于古典微積分理論的建模方法存在物理特性難以完全體現(xiàn)等問題，提出將分數(shù)階系統(tǒng)模型推廣應(yīng)用于現(xiàn)實世界的弦振動系統(tǒng)，并給出了弦振動

4、系統(tǒng)分數(shù)階模型，并與目前應(yīng)用比較廣泛的振動系統(tǒng)整數(shù)階模型進行了對比研究。同時，就振動系統(tǒng)中比較關(guān)注的邊界控制和抗干擾能力進行了設(shè)計和分析。最后通過仿真研究驗證了提出的邊界控制方法和抗干擾設(shè)計的有效性。
　　 第三，主要研究并分析了傳輸線上波的傳播特性，推導(dǎo)出時間分數(shù)階有損傳輸線模型，并推廣該模型為任意階次來表征傳輸線上電壓電流波的反常擴散；提出基于分數(shù)階的Adomian分解方法，得出近似的傳輸線電壓解析解；最后用實驗說明時間分數(shù)

5、階傳輸線模型的波動傳播特點，采用分數(shù)階模型開辟了傳輸線瞬態(tài)分析的新方向。
　　 最后，研究了分數(shù)階微積分理論在控制系統(tǒng)中的PID控制應(yīng)用問題，系統(tǒng)的闡述了分數(shù)階PID控制參數(shù)整定的實現(xiàn)過程。在分數(shù)階PID控制器的設(shè)計中，為了考慮暫態(tài)時間響應(yīng)的性能，采用誤差平方的積分作為設(shè)計最優(yōu)分數(shù)階PID控制器的設(shè)計性能指標，應(yīng)用遺傳算法整定分數(shù)階PID控制器參數(shù)通過使用該遺傳算法，分別進行了采用整數(shù)階PID控制器和分數(shù)階PID控制器，對整數(shù)階