計(jì)數(shù)組合學(xué)中若干問題的研究.pdf

1、計(jì)數(shù)組合學(xué)是組合數(shù)學(xué)的重要研究方向之一，主要研究有限集合上的組合結(jié)構(gòu)在給定條件下的計(jì)數(shù)問題。本文的主要工作包括以下幾個(gè)方面： 在第一章，定義了兩族廣義p-Stirling數(shù)，將二項(xiàng)式系數(shù)和經(jīng)典Stirling數(shù)統(tǒng)一起來。討論廣義p-Stirling數(shù)的組合意義，將一維的有限集合分拆和排列推廣到p-維情形；得到p-Stirling數(shù)的封閉形式的差分恒等式；并研究p-Stirling矩陣的行列式性質(zhì)。 在第二章，研究一種簡單

2、而又重要的組合結(jié)構(gòu)——Dyck路，這是近幾年國內(nèi)外的組合學(xué)者研究的一個(gè)熱點(diǎn)課題。首先刻畫了波谷嚴(yán)格遞增的Dyck路與整數(shù)有序分拆之間的關(guān)系；然后利用雙射、生成樹以及Riordan陣的方法來對集合Dm的一些子集進(jìn)行計(jì)數(shù)，得到一些以經(jīng)典的序列如Catalan數(shù)、Narayana數(shù)、Motzkin數(shù)、Fibonacci數(shù)、Schr(o)der數(shù)以及第一類無符號Stirling數(shù)來計(jì)數(shù)的組合結(jié)構(gòu)。特別地，給出兩個(gè)新的Catalan結(jié)構(gòu)，它們并沒

3、有出現(xiàn)在Stanley所給的關(guān)于Catalan結(jié)構(gòu)的列表中。最后定義一種新的有禁排列模式，并討論關(guān)聯(lián)Dyck路與這種有禁排列之間的一些問題。 在第三章，研究廣義Fibonacci多項(xiàng)式的代數(shù)性質(zhì)，包括廣義Fibonacci多項(xiàng)式的系數(shù)組成的矩陣的性質(zhì)；廣義Fibonacci多項(xiàng)式系數(shù)的組合意義；以及廣義Fibonacci多項(xiàng)式的普通型卷積求和公式。 在第四章，基于MacMahon分拆技巧，將Sellers關(guān)于整數(shù)分拆的一