計數組合學中若干問題的研究.pdf

1、計數組合學是組合數學的重要研究方向之一，主要研究有限集合上的組合結構在給定條件下的計數問題。本文的主要工作包括以下幾個方面： 在第一章，定義了兩族廣義p-Stirling數，將二項式系數和經典Stirling數統(tǒng)一起來。討論廣義p-Stirling數的組合意義，將一維的有限集合分拆和排列推廣到p-維情形；得到p-Stirling數的封閉形式的差分恒等式；并研究p-Stirling矩陣的行列式性質。 在第二章，研究一種簡單

2、而又重要的組合結構——Dyck路，這是近幾年國內外的組合學者研究的一個熱點課題。首先刻畫了波谷嚴格遞增的Dyck路與整數有序分拆之間的關系；然后利用雙射、生成樹以及Riordan陣的方法來對集合Dm的一些子集進行計數，得到一些以經典的序列如Catalan數、Narayana數、Motzkin數、Fibonacci數、Schr(o)der數以及第一類無符號Stirling數來計數的組合結構。特別地，給出兩個新的Catalan結構，它們并沒

3、有出現在Stanley所給的關于Catalan結構的列表中。最后定義一種新的有禁排列模式，并討論關聯(lián)Dyck路與這種有禁排列之間的一些問題。 在第三章，研究廣義Fibonacci多項式的代數性質，包括廣義Fibonacci多項式的系數組成的矩陣的性質；廣義Fibonacci多項式系數的組合意義；以及廣義Fibonacci多項式的普通型卷積求和公式。 在第四章，基于MacMahon分拆技巧，將Sellers關于整數分拆的一