關(guān)于有限Abel群計(jì)數(shù)的若干問題.pdf

1、設(shè)a(n)表示所有的非同構(gòu)Abel群的個(gè)數(shù).熟知對每一個(gè)素?cái)?shù)p,自然數(shù)α≥1有a(pα)=P(α),這里P(α)表示α的無約束劃分的個(gè)數(shù).特別我們有：
　　a(1)=1,a(p)=1,a(p2)=2,a(p3)=3,
　　a(p4)=5,a(p5)=7,a(p6)=11,a(p7)=15.
　　有關(guān)有限Abel群的個(gè)數(shù)函數(shù)a(n)的均值,許多數(shù)論家做了深入的研究：
　　P.Erdos,G.Szekeres首先證明

2、：
　　∑a(n)(n≤x)=c1x+O(x1/2).
　　Kendall,Rankin證得：
　　∑a(n)(n≤x)=c1x+c2x1/2+O(x1/3logx).
　　H.-E.Richert證得：
　　∑a(n)(n≤x)=c1x+c2x1/2+c3x1/3+O(x3/10log9/10x).
　　我們令△(x):=∑a(n)(n≤x)-c1x-c2x1/2-c3x1/3，以下是近期的研究成果

3、：
　　△(x)《x20/69log21/23x,W.Schwarz；
　　△(x)《x7/27log2x,P.G.Schmidt；
　　△(x)《x97/381log35x,G.Kolesnik；
　　△(x)《x40/159+ε,H.Q.Liu；
　　△(x)《x50/199+ε,H.Q.Liu；
　　△(x)《x55/219log7x,Sargos and Wu；
　　△(x)《x1/4+

4、ε,Robert and Sargos.
　　本文將研究a(n)在k-full數(shù)集中的均值.設(shè)k≥2為一固定正整數(shù),n>1的標(biāo)準(zhǔn)分解式為n=p1α1…psαs,若αj≥k(j=1,…,s),則稱n為k-full數(shù).令δk(n)表示k-full數(shù)的特征函數(shù),我們有下面兩個(gè)定理：
　　定理1我們有漸近公式
　　∑a(n)δ3(n)(n≤x)=x1/3P1(logx)+x1/3P2(logx)+O(x1/4+ε),其中Pj(

5、t)(j=1,2)是t的j次多項(xiàng)式.
　　定理2我們有漸近公式
　　∑a(n)δ3(n)(n≤x)=x1/3Q2(logx)+x1/4Q4(logx)+x1/5Q6(logx)+O(x0.1876+ε),其中Qj(t)(j=2,4,6)是t的j次多項(xiàng)式.
　　下面我們證明一個(gè)假設(shè)性結(jié)果：
　　定理3若Riemann-zeta函數(shù)的Lindelof假設(shè)成立,則
　　∑a(n)δk(n)(n≤x)=∑[x1/j