Sturm-Liouville特征值的逆問題的研究.pdf

1、本文主要研究了三類特征值逆問題:第一類是正則的Sturm-Liouville特征值的逆問題.針對此問題，我們提出了修正Numerov方法并給出了一個相應(yīng)的收斂性定理.此外，針對文獻(xiàn)[3]中提出的重構(gòu)Sturm-Liouville勢函數(shù)的邊值方法，我們給出了收斂性分析.第二類是阻抗形式的Sturm-Liouville特征值的逆問題.針對此問題，我們提出了下降流方法和有限差分方法.第三類是Helmholtz方程特征值的逆問題.針對此問題，我

2、們提出了一個新的方法，即通過利用最速下降法求解一個最小二乘問題來得到未知密度函數(shù)的分片常數(shù)逼近.
　　我們首先討論正則的Sturm-Liouville方程特征值的逆問題.基于文獻(xiàn)[13]中的Numerov方法，我們提出了一種修正Numerov方法并給出了一個收斂性定理.修正Numerov方法是利用插值方法使得即使在不結(jié)合特征值的修正方法的情況下，僅通過加密網(wǎng)格也可以改進(jìn)Sturm-Liouville方程的數(shù)值特征值的精度.修正Nu

3、merov方法克服了文獻(xiàn)[13]中Numerov方法的一個局限，即網(wǎng)格步長由給定特征值的個數(shù)確定且如文獻(xiàn)[13，16]中所指出的那樣不能任意加密.此外，針對文獻(xiàn)[3]中提出的重構(gòu)Sturm-Liouville勢函數(shù)的邊值方法，我們給出了收斂性分析.在文獻(xiàn)[3]中，作者首先構(gòu)造了一個相關(guān)的非線性方程組，然后利用擬牛頓方法進(jìn)行求解從而得到了未知勢函數(shù)在某有限維函數(shù)空間中的近似.對此，我們需考慮兩個收斂性問題:一個是擬牛頓方法的收斂性.針對問

4、題，我們給出了一個收斂性定理.另一個收斂性問題是非線性方程組的精確解對應(yīng)的連續(xù)逼近函數(shù)是否收斂到逆問題的精確解.針對此問題，我們給出了一個相應(yīng)的的收斂性定理.為了進(jìn)一步研究邊值方法的性質(zhì)，我們還引入了一些其他函數(shù)空間.通過數(shù)值例子驗證了所得的收斂性質(zhì)及修正Numerov方法和邊值方法的穩(wěn)定性和有效性.
　　其次，我們討論阻抗形式的Sturm-Liouville方程特征值的逆問題.針對該問題，我們分別基于文獻(xiàn)[26]和文獻(xiàn)[72]提

5、出了兩種算法.第一種是下降流方法.通過利用有限差分方法離散Sturm-Liouville算子并用某給定函數(shù)空間內(nèi)的一個連續(xù)函數(shù)去逼近阻抗函數(shù)，我們得到了一個廣義矩陣特征值問題.基于正則的Sturm-Liouville方程特征值的修正方法，我們討論了阻抗形式Sturm-Liouville方程特征值的修正方法.此時，通過求解一個最小二乘問題，我們得到了阻抗函數(shù)的一個近似.此外，我們對通過求解矩陣特征值逆問題來重構(gòu)阻抗函數(shù)的這類數(shù)值解法也十分

6、感興趣，因此，在已知阻抗函數(shù)關(guān)于區(qū)間中線對稱的情況下，我們提出了第二種算法，即有限差分方法.結(jié)合阻抗形式Sturm-Liouville方程特征值的修正方法，我們將矩陣特征值逆問題轉(zhuǎn)化成非線性方程組的求解問題，利用修正牛頓方法得到阻抗函數(shù)的一個近似.同時,我們也給出了算法的收斂性證明.數(shù)值試驗結(jié)果表明上述兩種算法都是穩(wěn)定有效的.
　　最后，我們討論了二維Helmholtz方程特征值的逆問題.針對對稱密度函數(shù)的重構(gòu)問題，基于文獻(xiàn)[65