任意邊界下有限差分算法及在斷裂力學中的應用.pdf

1、有限差分算法是計算數(shù)學中解各類偏微分方程的最重要的常用方法之一，以其直觀、公式和計算程序簡單、網(wǎng)格劃分簡單和準備數(shù)據(jù)省時等優(yōu)點成為計算機模擬最早采用的方法。雖然為了解決不規(guī)則邊界問題而產生了更加有效的有限單元法以及有限體積法等，有限差分這一經典算法仍然發(fā)揮著巨大作用。研究者們未曾停止對其進行完善的工作。
　　本課題對任意邊界下的有限差分算法進行了研究并建立了一種不規(guī)則邊界下的有限差分算法，重點在于不規(guī)則邊界處虛網(wǎng)格點的表達方式，采

2、用建立插值多項式并結合邊界條件的方法確定虛網(wǎng)格點的表達式，并代入現(xiàn)有的差分方程中求解。新的插值多項式的建立保證了鄰近邊界的內部網(wǎng)格點的二階偏導數(shù)以及混合偏導數(shù)的差分格式具有二階精度，此法可以繼續(xù)推廣至更高階精度差分方程的建立。
　　在發(fā)展出有效的差分計算方法的基礎上，結合王旭躍與清華大學馮西橋近兩年基于奇異性理論發(fā)展出的高效耦合算法形成一個材料破壞分析軟件，用于斷裂現(xiàn)象、尤其是小尺度破壞構型的處理。工作重點先集中在破壞試驗試件的韌

3、度測量方面。計算結果表明有限差分耦合方法的結果與有限元耦合方法的結果呈現(xiàn)出很好的一致。這表明有限差分算法不僅在計算效率上具有優(yōu)越性，在裂紋尺寸小于構件尺寸的一半時，也具有很好的精度。
　　主要內容為：
　　首先研究解橢圓型微分方程的在二類邊界條件下的有限差分算法，尤其是對邊界的處理方法。建立一種不規(guī)則邊界下滿足Neumann邊界條件的具有二階精度的有限差分算法，并且在此基礎上建立一種具有二階精度的混合偏導數(shù)的差分格式。

4、>　　其次將規(guī)則邊界下的有限差分算法應用于斷裂力學中，針對含有一個中心裂紋的矩形板，求解標準算例中裂紋尖端的無量綱應力強度因子，并與手冊對照比較相對誤差，證明有限差分算法在斷裂力學中的應用的有效性與精確性。
　　最后將建立的不規(guī)則邊界下的有限差分算法應用于斷裂力學中，針對含有一個偏心裂紋的梯形板，求解裂紋尖端的無量綱應力強度因子，并與劉東瀅論文中應用有限元耦合方法計算所得的裂紋尖端的無量綱應力強度因子對照比較相對誤差，證明所建立的