非標(biāo)準(zhǔn)混合元方法分析及數(shù)值模擬.pdf

1、混合有限元方法在微分方程數(shù)值解法中扮演著重要的角色.本文主要圍繞分裂正定混合有限元方法和H1-Galerkin混合有限元方法這兩個(gè)方面開展研究工作.
　　 羊丹平于2001年針對(duì)多孔介質(zhì)中可壓縮驅(qū)動(dòng)問題的非線性拋物型壓力方程提出新的分裂正定混合有限元方法.該方法具有如下優(yōu)點(diǎn):形成混合有限元系統(tǒng)的系數(shù)矩陣是對(duì)稱正定的；流函數(shù)方程不依賴于壓力方程,進(jìn)而易于求得流函數(shù)的近似解.在這里,我們利用分裂正定混合元方法研究了一些發(fā)展方程,取得

2、的主要結(jié)果如下:
　　 ●研究一類二階偽雙曲方程的分裂正定混合有限元方法,依照不同的物理量,提出兩種分裂混合格式.在所提出的程序中,輔助變量σ=a(x)()u或σ=a(x)(()ut+()u)的逼近解能夠不依賴于未知純量函數(shù)u的逼近解而獨(dú)立求解,不需要求解方程組的耦合系統(tǒng).證明了半離散混合有限元解的存在唯一性,并得到了空間半離散和全離散格式的誤差估計(jì).
　　 ●通過引入兩個(gè)變換q=ut和σ=a(x)()u+b(x)()u

3、t,并求解關(guān)于()u的常微分方程,進(jìn)而提出了粘彈性波動(dòng)方程的一個(gè)新的分裂正定混合有限元方法.與傳統(tǒng)的混合有限元相比有如下優(yōu)勢:所提出的格式能夠?qū)⒆兞喀要?dú)立于u和q而求解；含有σ的方程的系數(shù)矩陣是對(duì)稱正定的,易于程序?qū)崿F(xiàn).證明了半離散和全離散格式誤差估計(jì),并證明了半離散混合元解的存在唯一性.最后,數(shù)值結(jié)果表明所提出的格式是可行的.我們不難發(fā)現(xiàn)該格式具有普遍性,可以用來求解如Sobolev方程和偽雙曲方程等重要的發(fā)展方程.
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4、998年P(guān)ani針對(duì)拋物型偏微分方程提出了H1-Galerkin混合有限元方法,該方法較傳統(tǒng)的混合有限元方法有如下優(yōu)勢:避免了LBB相容性條件的限制；混合有限元空間Vh和Wh的選取比較自由,空間中的多項(xiàng)式次數(shù)可以不同；再者,對(duì)流量的L2模估計(jì)可以得到較好的階數(shù).本文中,我們將應(yīng)用H1-Galerkin混合元方法求解一些重要的發(fā)展方程,同時(shí)基于H1-Galerkin混合元方法提出一些新的數(shù)值格式,獲得以下一些結(jié)果:
　　 ●利用H

5、1-Galerkin混合有限元方法研究三類非線性發(fā)展方程(RLW—Burgers方程,Burgers-Huxley方程,SRLW方程).針對(duì)RLW-Burgers方程給出了完善的半離散和全離散格式的誤差分析,證明了混合有限元解的存在唯一性.最后,一些數(shù)值結(jié)果表明H1-Galerkin混合有限元方法對(duì)于這三類非線性發(fā)展方程都是行之有效的.
　　 ●引入時(shí)空輔助變量q-()ut,提出半線性強(qiáng)阻尼波動(dòng)方程的新型H1-Galerkin混

6、合有限元數(shù)值格式.該方法能夠?qū)⒃匠淘跁r(shí)空兩個(gè)方向同時(shí)降階,得到一階積分一微分混合系統(tǒng).證明了一維情況下半離散格式和全離散格式的最優(yōu)收斂階誤差估計(jì),并將該數(shù)值格式推廣應(yīng)用到了多維情形.
　　 ●到目前為止,H1-Galerkin混合有限元方法研究的問題僅局限于二階發(fā)展方程問題.然而對(duì)于高階發(fā)展方程,特別是重要的四階發(fā)展方程問題的研究卻沒有出現(xiàn).本文首次提出四階發(fā)展方程的H1-Galerkin混合有限元方法,為了給出理論分析的需要

7、,我們考慮四階拋物型發(fā)展方程.通過引進(jìn)三個(gè)適當(dāng)?shù)闹虚g輔助變量,形成四個(gè)一階方程組成的方程組系統(tǒng),提出四階拋物型方程的H1-Galerkin混合有限元方法.得到了一維情形下的半離散和全離散格式的最優(yōu)收斂階誤差估計(jì)和多維情形的半離散格式誤差估計(jì),并采用迭代方法證明了全離散格式的穩(wěn)定性.最后,通過數(shù)值例子驗(yàn)證了提出算法的可行性.在一維情況下我們能夠同時(shí)得到未知純量函數(shù)、一階導(dǎo)數(shù)、二階導(dǎo)數(shù)和三階導(dǎo)數(shù)的最優(yōu)逼近解,這一點(diǎn)是以往混合元方法所不能得到

8、的,并且該算法可以應(yīng)用于四階雙曲方程等高階發(fā)展方程問題.
　　 ●引入兩個(gè)新的輔助變量,提出偽雙曲方程的基于H1-Galerkin混合有限元方法的新的數(shù)值格式.所提出的格式能夠形成三個(gè)微分子格式,不需要求解方程組的耦合系統(tǒng).給出了一維情況下半離散和Crank-Nicolson-Galerkin全離散格式最優(yōu)收斂階誤差估計(jì).并且該格式對(duì)LBB相容性條件不作要求.最后,通過數(shù)值算例驗(yàn)證了所提出算法的有效性.
　　 ●利用擴(kuò)展

9、混合有限元方法和H1-Galerkin混合有限元方法相結(jié)合的技巧,研究一維RLW-Burgers方程的H1-Galerkin擴(kuò)展混合有限元方法.該方法同時(shí)保持了擴(kuò)展混合元方法和H1-Galerkin混合元方法的優(yōu)點(diǎn).證明了半離散混合有限元解的存在唯一性和格式的穩(wěn)定性,并得到了未知純量函數(shù)、梯度和流量的半離散和全離散格式最優(yōu)收斂階誤差估計(jì),最后,一些數(shù)值結(jié)果表明了算法的可行性.
　　 本文結(jié)構(gòu)安排如下:第一章簡述了混合有限元方法發(fā)

10、展?fàn)顩r和本文的主要結(jié)果；第二章我們研究了偽雙曲方程的兩類分裂正定混合元方法；第三章提出粘彈性波動(dòng)方程的新型分裂正定混合有限元方法；第四章給出三類非線性發(fā)展方程(RLW-Burgers方程,Burgers-Huxley方程,SRLW方程)的一些H1-Galerkin混合元程序的數(shù)值結(jié)果；第五章通過引入一個(gè)新的輔助變量,研究四階半線性強(qiáng)阻尼波方程的新型H1-Galerkin混合有限元方法；第六章我們首次提出四階發(fā)展方程的H1-Galerki