主動(dòng)標(biāo)量方程及其相關(guān)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)研究.pdf_第1頁(yè)
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1、由湍流輸運(yùn)的主動(dòng)標(biāo)量場(chǎng)出現(xiàn)在大氣海洋物理,燃燒理論和天體物理等的各種自然現(xiàn)象與工程問(wèn)題中,是流體動(dòng)力學(xué)研究的重要內(nèi)容.這里,所謂的“主動(dòng)標(biāo)量”是指在輸運(yùn)過(guò)程中能夠以某種方式影響到速度場(chǎng)的標(biāo)量場(chǎng).
  主動(dòng)標(biāo)量方程在本性上是非線性的,從而導(dǎo)致對(duì)其的研究在很多情形下是很困難的.本論文就是致力于從數(shù)學(xué)的角度對(duì)主動(dòng)標(biāo)量方程及其相關(guān)的系統(tǒng)加以研究.
  經(jīng)典的主動(dòng)標(biāo)量方程的例子是渦量形式的二維不可壓Euler方程,Burgers方程和

2、二維準(zhǔn)地轉(zhuǎn)方程;這里,二維準(zhǔn)地轉(zhuǎn)方程是來(lái)源于高速旋轉(zhuǎn)流體的地轉(zhuǎn)研究的重要的物理模型,與三維不可壓Euler/Navier-Stokes系統(tǒng)具有形式上的可類比之處.到目前為止,從數(shù)學(xué)適定性研究的角度上,二維不可壓Euler方程,Burgers方程及次臨界與臨界二維準(zhǔn)地轉(zhuǎn)方程的研究是比較透徹的,而對(duì)于超臨界二維準(zhǔn)地轉(zhuǎn)方程,解整體適定或者在有限時(shí)刻爆破仍然是很大的公開(kāi)問(wèn)題.需要指出的是,對(duì)于臨界二維準(zhǔn)地轉(zhuǎn)方程,整體正則性問(wèn)題也只是在近年才得以

3、解決,并且現(xiàn)有的四種證法都是很精微的;其中,Kiselev-Nazarov-Volberg開(kāi)發(fā)的原創(chuàng)性方法“非局部極值原理方法”是很引入注目的方法.
  本論文主要關(guān)注的模型包括一大類推廣的二維準(zhǔn)地轉(zhuǎn)方程及帶有色散項(xiàng)的超臨界二維準(zhǔn)地轉(zhuǎn)方程,還有一類來(lái)源于位錯(cuò)理論的非局部與非線性的二維系統(tǒng),它是由兩個(gè)主動(dòng)標(biāo)量構(gòu)成的耦合系統(tǒng);此外,這里也研究一些包含主動(dòng)標(biāo)量場(chǎng)的二維耦合系統(tǒng).我們分別陳述主要結(jié)果如下.
  在第三章中,我們考慮一

4、大類推廣的二維準(zhǔn)地轉(zhuǎn)方程,這種方程具有與臨界、超臨界二維準(zhǔn)地轉(zhuǎn)方程相同的耗散項(xiàng).而速度場(chǎng)是更一般的準(zhǔn)地轉(zhuǎn)類型的向量場(chǎng).通過(guò)利用非局部極值原理方法,我們證明了對(duì)數(shù)型超臨界二維準(zhǔn)地轉(zhuǎn)方程的光滑解的整體適定性,還對(duì)于具有奇異速度場(chǎng)的情形證明了整體弱解的最終正則性.這里的一個(gè)重要?jiǎng)?chuàng)新點(diǎn)是,相應(yīng)于所考慮的準(zhǔn)地轉(zhuǎn)類型的方程,得到了應(yīng)用非局部極值原理方法的改進(jìn)性的準(zhǔn)則;正是基于此,使得我們能夠在很大程度上改進(jìn)前人的工作.
  在第四章中,我們考

5、慮一類來(lái)源于位錯(cuò)理論的非局部且非線性的二維系統(tǒng).這個(gè)系統(tǒng)有兩個(gè)彼此緊密聯(lián)系的物理量:塑性形變和位錯(cuò)密度,其中位錯(cuò)密度是正值的.我們從一種新的角度來(lái)考察局部適定性問(wèn)題,不是僅考慮由塑性形變滿足的系統(tǒng),而是先考慮由位錯(cuò)密度所滿足的系統(tǒng),得到光滑解的局部適定性.進(jìn)而通過(guò)研究解的進(jìn)一步的性質(zhì),再得到塑性形變?cè)诮?jīng)典意義下滿足其相應(yīng)的系統(tǒng).然后,對(duì)于具有臨界與次臨界分?jǐn)?shù)次耗散的系統(tǒng),我們通過(guò)巧妙地利用非局部極值原理方法得到光滑解的整體適定性.

6、>  在第五章中,我們考慮帶有色散項(xiàng)的超臨界二維準(zhǔn)地轉(zhuǎn)方程,主要考察具有大波幅系數(shù)的情形.通過(guò)深入分析,我們得到相應(yīng)線性方程解的基本的色散估計(jì),進(jìn)而得到重要的Strichartz-型估計(jì);基于此,我們證明了當(dāng)波幅系數(shù)足夠大時(shí)方程強(qiáng)解的整體適定性,還證明了當(dāng)波幅系數(shù)趨于無(wú)窮時(shí)方程弱解在強(qiáng)拓?fù)湎碌氖諗啃越Y(jié)果.
  在第六章中,我們考慮一些包含主動(dòng)標(biāo)量場(chǎng)的二維耦合系統(tǒng).通過(guò)深入開(kāi)發(fā)耦合系統(tǒng)的內(nèi)在結(jié)構(gòu),我們得到了推廣的二維Boussine

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