若干非線性Schrodinger方程及其相關(guān)問題的數(shù)值研究.pdf

1、對(duì)微分方程數(shù)值解法的研究不僅是計(jì)算數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，而且在其它學(xué)科領(lǐng)域也具有廣泛應(yīng)用，如計(jì)算物理、化學(xué)、生物等。在現(xiàn)實(shí)世界中，絕大部分問題所對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)模型是非線性微分方程，其中之一就是非線性Schrodinger(NLS)方程。NLS方程在物理學(xué)的很多領(lǐng)域都發(fā)揮著重要作用。所以，本文圍繞NLS方程及其相關(guān)問題用數(shù)值方法進(jìn)行求解和研究。本文主要采用的數(shù)值方法有正交樣條配置(OSC)方法、有限差分法和分裂步方法等。
　　 本文首先為帶

2、波動(dòng)算子的NLS方程和耦合非線性Klein-Gordon-Schrodinger方程構(gòu)造了時(shí)間離散OSC方法。從理論上嚴(yán)格證明了格式的守恒性、收斂性和穩(wěn)定性，并用數(shù)值實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)了理論結(jié)果。
　　 分裂步方法能與有限差分法、譜方法、有限元方法等相結(jié)合形成有效的數(shù)值方法，但是分裂步方法與OSC方法相結(jié)合的工作卻沒有找到。所以，本文將這兩種方法結(jié)合起來形成新的數(shù)值方法，稱為分裂步OSC(SSOSC)方法。將此方法用于數(shù)值求解一維耦合NL

3、S方程，并與其它三種時(shí)間離散OSC格式相比較，發(fā)現(xiàn)SSOSC方法最有效。如此，分裂步方法與OSC方法的結(jié)合是可行的。
　　 鑒于SSOSC方法的可信性和有效性，此方法又被推廣到求解多維NLS方程上。經(jīng)大量數(shù)值實(shí)驗(yàn)的檢測，本次推廣也是成功的。由于用OSC方法求解三維問題的研究工作還沒有發(fā)現(xiàn)，本文的這部分工作也算是振奮人心的。另外，考慮到NLS方程中依賴于時(shí)間的勢函數(shù)有時(shí)候是不能關(guān)于時(shí)間變量精確積分的，這樣就減弱了分裂步方法的優(yōu)勢。

4、本文用數(shù)值積分方法解決了這個(gè)問題，而且沒有降低原方法的精度階數(shù)。值得一提的是，本文采用的數(shù)值積分方法不僅對(duì)SSOSC方法有效，對(duì)分裂步有限差分方法和分裂步Fourier譜方法也同樣有效。
　　 Ginzburg-Landau(GL)方程是比NLS方程更復(fù)雜的模型，其方程系數(shù)都是復(fù)數(shù)類型的。Kuramoto-Tsuzuki方程從形式來看是一個(gè)一維三次GL方程，本文用有限差分法來數(shù)值求解該方程，從理論上論證了非線性差分格式與線性化差

5、分格式的關(guān)系，并通過數(shù)值算例進(jìn)行驗(yàn)證。對(duì)二維三次GL方程，本文構(gòu)造了一個(gè)分裂步有限差分格式和一個(gè)分裂步交替方向隱式格式，分析了兩個(gè)格式之間的關(guān)系，用方程的平面波解來研究格式的性質(zhì)，并用線性化分析方法討論格式的穩(wěn)定性。數(shù)值實(shí)驗(yàn)檢測了格式的數(shù)值性能。對(duì)多維三次-五次GL(CQ GL)方程，本文用分裂步緊有限差分(SSCFD)方法來數(shù)值求解。首先，將CQ GL方程分裂成兩個(gè)非線性子問題和一個(gè)或多個(gè)線性子問題，用緊有限差分格式求解線性子問題。由