測(cè)度鏈上的動(dòng)力方程邊值問題.pdf

1、邊值問題由于其在科學(xué)、工程和技術(shù)的幾乎所有領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用而成為測(cè)度鏈上動(dòng)力方程的一個(gè)重要分支。通過研究測(cè)度鏈上的動(dòng)力方程邊值問題不但可以統(tǒng)一微分方程和差分方程理論、更好地洞察二者之間的本質(zhì)差異，而且還可以為那些有時(shí)在連續(xù)時(shí)間出現(xiàn)而有時(shí)在離散時(shí)間出現(xiàn)的現(xiàn)象提供精確的信息。同時(shí)，在考慮測(cè)度鏈上的動(dòng)力方程邊值問題時(shí)人們面臨許多困難。例如，微積分中的基本工具諸如Fermat定理、Rolle定理以及介值定理不再成立，一些基本的概念諸如鏈?zhǔn)椒?/p>

2、則、乘積公式以及某些光滑性都需要做適當(dāng)?shù)男拚?本文首先研究了測(cè)度鏈T上的一階動(dòng)力方程邊值問題構(gòu)造了相應(yīng)的積分算子并證明了其全連續(xù)性。對(duì)于β=1的情形，通過運(yùn)用Schaefer、Guo-Krasnoselskii、Schauder、Leggett-Williams不動(dòng)點(diǎn)定理以及不動(dòng)點(diǎn)指數(shù)理論獲得了其解和正解的存在性與多重性結(jié)果。對(duì)于0<β<1的情形，通過運(yùn)用Avery-Henderson兩不動(dòng)點(diǎn)定理獲得了其至少兩個(gè)正解的存在性準(zhǔn)

3、則。 其次，研究了測(cè)度鏈T上的二階動(dòng)力方程邊值問題，包括Dirichlet邊值問題和Focal邊值問題。對(duì)于Dirichlet邊值問題，在局部和全局條件下分別建立了其至少n個(gè)解或正解以及至少一個(gè)正解的存在性準(zhǔn)則，所用工具為Guo-Krasnoselskii不動(dòng)點(diǎn)定理和不動(dòng)點(diǎn)指數(shù)理論。與現(xiàn)有工作相比，我們對(duì)于非線性項(xiàng)的要求是半正的。對(duì)于Focal邊值問題，首先考慮了Right-Focal邊值問題，通過運(yùn)用Krasnoselskii

4、-Zabreiko不動(dòng)點(diǎn)定理獲得了其存在性結(jié)果。我們施加于非線性項(xiàng)的條件非常容易驗(yàn)證。然后考慮了Left-Focal邊值問題系統(tǒng)，與現(xiàn)有工作在本質(zhì)上不同的是，所考慮問題的解所在的定義區(qū)間的右端點(diǎn)σ<'2>(T)是變化的。在次線性情形，研究了σ<'2>(T)對(duì)于該系統(tǒng)正解的存在性和不存在性的影響，主要工具是不動(dòng)點(diǎn)指數(shù)理論。 最后，運(yùn)用Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理討論了測(cè)度鏈T上的一類三階動(dòng)力方程邊值問題解和正解的存在性。需要指出的是