旋轉(zhuǎn)Rayleigh-Benard問題的Lorenz模型及數(shù)值模擬.pdf

1、本文導(dǎo)出旋轉(zhuǎn)的Rayleigh—Bénard問題的四維Lorenz模型并對(duì)該模型進(jìn)行數(shù)值求解,分析系統(tǒng)參數(shù)對(duì)Lorenz吸引子的影響。Rayleigh-Bénard問題是一個(gè)描寫存在溫度差的兩平板之間流體流動(dòng)的無窮維的動(dòng)力系統(tǒng),它由Navier-Stokes方程和熱傳導(dǎo)方程組成,由于無窮維的非線性系統(tǒng)研究的復(fù)雜性,常選取有限維的截?cái)嘈问饺シ治鱿到y(tǒng)的穩(wěn)定性特征。Lorenz在1963年選取傅里葉展開中的低維截?cái)喾椒▽ayleigh—Bé

2、nard偏微分方程模型轉(zhuǎn)化為一個(gè)三維的常微分方程模型,通過數(shù)值求解常微分方程探索Rayleigh—Bénard問題的動(dòng)力學(xué)特征,并首次發(fā)現(xiàn)了混沌吸引子(Lorenz吸引子)。
　　 旋轉(zhuǎn)的Rayleigh-Bénard問題是考慮將模型放在一個(gè)旋轉(zhuǎn)的平臺(tái)上,此問題包含三個(gè)系統(tǒng)參數(shù),分別是反映流體物理性質(zhì)的Prandtl數(shù)(Pr),反映粘性和浮力之比的Rayleigh數(shù)(R)和反映旋轉(zhuǎn)大小的Taylor數(shù)(T)。本文利用Lorenz

3、提出的截譜方法選取了有效的截?cái)嘈问綄⑿D(zhuǎn)的Rayleigh—Bénard問題轉(zhuǎn)化為四維的Lorenz方程,在Pr>1時(shí)估計(jì)出Lorenz方程參數(shù)的取值范圍,利用Matlab數(shù)值模擬討論三個(gè)系統(tǒng)參數(shù)對(duì)Lorenz吸引子的影響。主要結(jié)論如下:
　　 (1)四維的Lorenz系統(tǒng)方程:
　　 X(t)=Pr(-X(t)+Y(t)+τG(t))
　　 G(t)=-Pr(G(t)+τX(t))
　　 Y(t)=-Y

4、(t)+rX(t)-X(t)Z(t)
　　 X(t)=X(t)Y(t)-bZ(t)
　　 (2)四維Lorenz系統(tǒng)和Rayleigh—Bénard系統(tǒng)的參數(shù)之間存在如下聯(lián)系:
　　 τ=πT／(a2+π2)3／2,r=a2cR／(a2+π2)3,b=4π2／a2c+π2
　　 其中a2表示擾動(dòng)波數(shù)。當(dāng)Pr>1時(shí),四階的Lorenz系統(tǒng)的參數(shù)取值范圍為
　　 τ∈[0,√2],r∈(0,∞),b∈

5、[0,8／3]
　　 經(jīng)典的三階模型中參數(shù)b=8／3是對(duì)應(yīng)四階Lorenz模型中旋轉(zhuǎn)為零時(shí)的情形。
　　 (3)通過數(shù)值求解觀察系統(tǒng)參數(shù)對(duì)Lorenz吸引子的影響,結(jié)論反映出與偏微分方程理論分析結(jié)果相似的動(dòng)力學(xué)特征。
　　 大Prandt1數(shù)的情形:旋轉(zhuǎn)的加入增加了系統(tǒng)的穩(wěn)定性；沒有旋轉(zhuǎn)時(shí),失穩(wěn)發(fā)生后首先出現(xiàn)定常對(duì)流。
　　 小Prandt1數(shù)的情形:在小Pr的情況下,尋找到一個(gè)Pr*≈0.6,當(dāng)Pr>P