數(shù)學建模實驗三lorenz模型與食餌模型

1、數(shù)學建模實驗三Lenz模型與食餌模型一、實驗?zāi)康?、學習用Mathematica求常微分方程的解析解和數(shù)值解，并進行定性分析；2、學習用MATLAB求常微分方程的解析解和數(shù)值解，并進行定性分析。二、實驗材料2.12.1問題問題圖3.3.1是著名的洛侖茲(E.N.Lenz)混沌吸引子，洛侖茲吸引子已成為混沌理論的徽標，好比行星軌道圖代表著哥白尼、開普勒理論一樣。洛侖茲是學數(shù)學出身的，1948年起在美國麻省理工學院（MIT）作動力氣象學博士

2、后工作，1963年他在《大氣科學雜志》上發(fā)表的論文《確定性非周期流》是混沌研究史上光輝的著作。以前科學家們不自覺地認為微分方程的解只有那么幾類：1)發(fā)散軌道；2)不動點；3)極限環(huán)；4)極限環(huán)面。除此以外，大概沒有新的運動類型了，這是人們的一種主觀猜測，誰也沒有給出證明。事實上這種想法是非常錯誤的。1963年美國麻省理工學院氣象科學家洛侖茲給出一個具體模型，就是著名的Lenz模型，清楚地展示了一種新型運動體制：混沌運動，軌道既不收斂到極

3、限環(huán)上也不跑掉。而今Lenz模型在科學與工程計算中經(jīng)常運用的問題。例如，數(shù)據(jù)加密中。我們能否繪制出洛侖茲吸引子呢？圖3.3.1洛侖茲(E.N.Lenz)混沌吸引子假設(shè)狐貍和兔子共同生活在同一個有限區(qū)域內(nèi)，有足夠多的食物供兔子享用，而狐貍僅以兔子為食物.x為兔子數(shù)量y表狐貍數(shù)量。假定在沒有狐貍的情況下，兔子增長率為400％。如果沒有兔子，狐貍將被餓死，死亡率為90％。狐貍與兔子相互作用的關(guān)系是，狐貍的存在使兔子受到威脅，且狐貍越多兔子增長

4、受到阻礙越大，設(shè)增長的減小與狐貍總數(shù)成正比，比例系數(shù)為0.02。而兔子的存在又為狐貍提供食物，設(shè)狐貍在單位時間的死亡率的減少與兔子的數(shù)量成正比，設(shè)比例系數(shù)為0.001。建立數(shù)學模型，并說明這個簡單的生態(tài)系統(tǒng)是如何變化的。2.22.2預(yù)備知識預(yù)備知識1、求解常微分方程的Euler折線法求初值問題（12.1）??????00)()(yxyyxfy若令且初值為，?為一個小常，，，382810??????????)0(0)0()0(321xxx

5、，數(shù)，假設(shè)。求微分方程的數(shù)值解，并繪制出時間曲線與相空間曲線。1010???問題（2）是著名的食餌模型，數(shù)學模型為??????????xyyyxyxx001.09.002.042.42.4練習題練習題1、求解微分方程的通解。22xxexyy????求解的Mathematica命令為：DSolve[y[x]2xy[x]==xE^(x^2)yx]或者DSolve[D[y[x]x]2xy[x]==xE^(x^2)yx]2、求微分方程在初始條件

6、下的特解。0????xeyyxeyx21??應(yīng)給出的命令為：DSolve[xy[x]y[x]E^x==0y[1]==2Eyx]3、求在初始條件下的特解，并畫出解的圖形。要0cos2)1(2????xxydxdyx1)0(?y求分別求解析解與數(shù)值解并作比較。清除要涉及變量的命令為：Clear[xy]求解析解的命令為：sc=DSolve[(x^21)y[x]2xy[x]Cos[x]==0y[0]==1yx]畫解析解圖像的命令為：y=y.sc

7、[[1]]g1=Plot[y[x]x01PlotStyleRGBCol[100]]注：也可將畫圖范圍變?yōu)镻lot[y[x]x04]求數(shù)值解的命令為：sn=NDSolve[(x^21)y[x]2xy[x]Cos[x]==0y[0]==1yx01]畫數(shù)值解圖像的命令為：y=y.sn[[1]]g2=Plot[y[x]x01]比較解析解圖像與數(shù)值解圖像的命令為：Show[g1g2]4、求微分方程組???????????035yxdtdyeyxd

8、tdxt在初始條件下的解，并畫出解函數(shù)的圖形。1)0(?x0)0(?y)(xyy?求解微分方程組的命令為：Clear[xyt]xy=DSolve[x[t]5x[t]y[t==E^ty[t]x[t]3y[t]==0x[0]==1y[0]==0xyt]畫解的相位圖的命令為：y=y.xy[[1]]x=x.xy[[1]]ParametricPlot[x[t]y[t]t03PlotRange10205]注：圖中反應(yīng)出y隨x的變化關(guān)系。三、實驗準備